Applications algébriques de la cohomologie des groupes. II

Séminaire Henri Cartan
J-P. S ERRE
Applications algébriques de la cohomologie des groupes.
II : théorie des algèbres simples
Séminaire Henri Cartan, tome 3 (1950-1951), exp. no 6, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1950-1951__3__A6_0>
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6-01
Séminaire H. CARTAN
1950/51 . Topologie algébrique.
APPLICATIONS ALGÉBRIQUES DE LA COHOMOLOGIE
0
o
THÉORIE
(1er exposé
DES
ALGÈBRES
de J-P.
DES GROUPES. II :
SIMPLES.
~n ~ 0195~’~ ~
le
SERRE,
BIBLIOGRAPHIE :ù
Berlin, Springer, 19350
Algebren (Ergebnisse der Mathematik
ARTIN-NESBITT-THRALL - Rings with minimum condition. - Ann Arbor, Univo of
Michigan Press, 1948.
DEURING -
Notations.
unité,
noté 10 Le corps de base
unité. Si
k) ,
.
E
algèbres considérées
Toutes les
E
sera
est
un
supposé
espace de
sera
par la suite auront
identifié
représentation
de dimension finie
sur
aux
de
k ,
multiples de
l’algèbre
A
et l’élément
élément
un
cet élément
(sur
le corps
l ç A
définira
l’automorphisme identique de E e E sera dit représentation irréductible de
A , si E ~ 0 , et si tout sous-espace stable de E est identique à 0 ou
E ; E sera dit complètement réductible s’il est somme directe de sous-espaces
stables pour A et irréductibles. Un tel espace peut être considéré comme un
groupe semi-simple (à opêrateurset on peut, par exemple~ utiliser les résultats démontrés dans Bourbakiy Alg.I~ paragraphe 6, numéro 15 .
’
1.- Le théorèmde Wedderburn.
Rappelons qu’une algèbre est
bilatères qu’elle même et 0 .
Théorème 1.- Soit
simple
si elle n’a pas d’autres idéaux
A
une algèbre de dimension finie sur un corps commuk 9 simple, et possédant un élément unité. Alors A est isomorphe à
tatif
une
dite
algèbre de matrices
et est fini
sur
sur un corps
gauche quicontient
k
dans
son
centre9 ~
k .
représentation irréductible de ~A ~ une telle représentation
existe : il n’y a qu’à prendre un idéal minimal à gauche de A 9 par exemple
Soit L(E) l’algèbre des endomorphismes du k-espace vectoriel
E 9 et soit
K l’ensemble des endomorphismes f L(E) qui commutent avec les opérateurs de
Soit
E
une
0
A e On
a :
Lemme1
-
K
est un corps gauche.
Soit
o
au.x
=
et,
en
supposé
comme on a
L(E) 1
ble dans
effet,
ne
contient pas
reparquons d’abord que la
donc.
1,
Soit alors
B
B;
fait
en
nous
bau
=
u, b
(considéré
espace vectoriel à
A
opposé
K°
corps
isomorphe à
est
de
Soit
E
algèbre A 9 soit
.
de
K
dans
tel que
admet
teur de
A
qui.
K
L(E) ,
dans
u ~
c’est-à-dire l’ensemble
K . Il est évident que
gauche
une
algèbre
=
B . C’est
K)9
le corps
sur
et il
résul-
en
de matrices à coefficients dans le
A
du lemme
l’objet
plus général sui-
.
K
A
le commutant de
dans
L(E) ,
B
le commutant
A ~ B .
x ; E
et
b
Nous allons montrer
existe
A
a
ax = bx .
Soit
V
idéal bilatère de
un
une représentation complètement réductible et fidèle
L(E) .
Soit d’abord
est fidèle :
E
K 0
Reste donc à voir que
vant :
Lemme 2 -
K.
allons montrer que A ~ B . Quand ceci sera fait, on
n’est autre que l’ensemble des K-endomorphismes de E
A
.tera que
représentation
est
A 9
est inversi-
u
inverse est dans
pour tout
pourra dire que
comme
on a :
qui est réduit à 0 .
le commutant de
tels que
des
d’où le fait que
son
représentation
si
est stable pour
V
montre que
qui
u ~ 0 9 V = 0,
que
le noyau de cette
en
A c’..
ce
il est alors évident que
démontrée
Ceci
V = u~~ o p °
U E K . Posons
pour tout
ua, x
=
u~o ~
effet
en
effet
V
le sous-espace stable de
un
supplémentaire
E
sur
conclut :
Ce résultat
(Bourbaki~
stable
=
bx ~ V
bx , d’où
partiel établie
nous
défini par V
soit
p 9 étant
V. Le projecteur
pbx = bpx
E
A-l,inéaire9
=
Ax
o
projec-
un
p
est $ K . On
en
,
allons pouvoir démontrer le lemme 2 . Il
résultera tout de suite du suivant
Lemme 3 ~
Dans les conditions du
lemme Z 9 soient x , .o .
tel pue ax~ ~. a e 9
bx .
b ~ B , Il
Soit
F
La
de
A
A
x.
~. E
et
=
l’espace
peut considérer
lesquels
g
somme
F
comme
opère
par la
directe de
n
fois la
formé des éléments
.0. ,
représentation E .
o e . , y )
(yi ~ E)
yn) = (ay1 ,
.0. ,
On
sur
ay ) .
représentation F est encore complètement réductible. Le commutant
dans L(F) est formé des matrices
K , et il en résulte
opérer
que. si l’on fait
B
par la formule 1
F
sur
L(F) ainsi définis seront encore dans le commutant du commuA (le "bicommutant")e En appliquant alors au point
à b ~ B le résultat démontré après l’énoncé du
... , x ) ~ F , et
les éléments de
tant de
x
=(x ~
lemme
2 ,
obtient bien le lemme
on
Nous écrirons
sur
le corps
K =
2.-
K n l’algèbre
kn ~ K ,
comme on
Représentations
contient
K
K. Si
3,
qui achève
ce
des matrices à
k
dans
son
la démonstration.
lignes et
centre, on a ô
n
n
colonnes
aisément.
le voit
algèbres simples.
des
,
opérer A sur elle-même par les translations ~~ gauche. On obtient ainsi une représentation linéaire de A qui est
dite représentation régulière gauche. Si A est une algèbre de matrices K~
de base canonique (c.. ) g les éléments e.. où j est fixé, engendrent un
1J
~.J
A
Soit
une
algèbre
s ous-espace vectoriel
à gauche
minimal,
différents
et faisons
de
N. J
et que les
sont toutes
N. J
régulière gauche
de
Kn
A 9
on
vérifie aisément
représentations linéaires
isomorphes.
est la
0
somme
est
que N. J
de A
n
idéal
fournies par les
En d’autres termes ? la
de
un
représentation.
représentations irréductibles
isomorphes. Plus généralement:
Théorème 2.- Toute représentation d’une al,gèbre simple A est isomorphe
.à une somme directe de représentations irréductibles toutes isomorphes.
Soit
générateurs
E
une
de
E
A , (e. ) un système
(1 ~ i ~ p) . Considérons l’application de AP
représentation linéaire
de
fini de
sur
E
définie par :.
application permet d’identifier E à un quotient de A" (A" étant
considéré comme la somme directe de p fois la représentation régulière
il est donc’
gauche de A ). Comme le théorème 2 a été vérifié pour
démontré pour E (Bourbaki ~ l cit.).
Cette
Corollaire 1 - Toute représentation de
A
est complètement réductible.
Corollaire 2 - Deux
A
qui ont même dimension
sont isomorphes.
représentations
de
sur
k
3.- Produits tensoriels
Donnons d’abord
unité. Soient
C
C’
et,
B
leurs
t
dans
A
Soient
Lemme 4 -
lemme :
un
Al
et
deux
algèbres sur k . ayant un élément
est identique à
et A’. Alors
A
dans
commutants,
A’ . Tout
6 A
x
Si l’on écrit que
dire
autre que
B ~ B’
ce
b ~ 1 ,
avec
on
sous
obtient :
a~
à
/~
résulte par exemple
lemme
la forme :
a.b
c’est-à-
=
1
(de rang fini) : A k
désignant le centre de
(A g;C’)
=
C’ ~C’
résulte
B ~
c.qofod.
,
que
1
produit tensoriel est
à une algèbre simple
de A est k ~ C , C
appliquant
ceci
voit que le centre
=
K ~
Le centre d’une
Corollaire -
en
n’est
que le centre d’un
des centres. En
produit tensoriel
base
une
à l’intersection des commutants de
égal
est
1 ~B’ ~ c’est-à-dire
De
le
commute
cela, soit
pour tout
le commutant de
et
B -~ 1 . Pour
i . On voit ainsi que le commutant de
et.. Il
C ~A’. De même~ celui de 1 ~ B’t
est
6 C
a.
le
s’écrit d’une seule façon
~A’
x
respectivement,
commutant de B ~ B’
C ~ C’ .
Cherchons d’abord le commutant de
de
A’t
A
B’
et
algèbre simple, finie
sur
est
k ~
un corps
’
~
s’intéressera particulièrement par la suite
On
Une telle
algèbre
l’une est centrale.
de centre
=
n
Alors, le produit tensoriel
phe à
une
algèbre
K"
=
k
K"
~
mn.
D
Théorème ~..un corps gauche de
=
Soit
A
centre
K"mn
mn
de matrices pour
tement . Reste donc à voir que
suivant :
A
.
~ A’
L’algèbre
laquelle
A ~ K’
est
la
est
simple.
algèbre
k .
Tout idéal bilatère
sur
-
une algèbre simple.
A’t
sera
le centre
est
et
donc isomor.
simplicité
une
c
dont
deux algèbres simples, finies sur k ,
A’
K’
soit centrale, autrement dit que
Supposons que A’ =
du corps gauche K’ soit réduit à k. Il suffira de voir q.Le A
A ~K~ =
une algèbre simple. En effet, si ceci est démontrée
k
A ~ A’
k.
dite centrale.
sera
Théorème 3.- Soient A ,
.
algèbres
aux
Cela
k ~ ayant
N
un
se
vérifie immédia-
résulte du théorème
élément unité, et
de A ~
K’
K’
est entendre
(en
tant
qu’espace
A ~f 1 , (Ni
A
vectoriel à
K’
ni
gauche
sont
ne
On notera d’abord que l’on
K’ ) , par son intersection avec
sur
supposés
finis
k ) .
sur
peut faire opérer
à
K’
gauche
A
sur
pars
idéal de l’algèbre A
espace vectoriel à gauche de A ~ K’ .
Si
N
est
c’est
un
particulier
en
K’-sous-
un
o
Soit
ment
de
une
N
base de A
une
a~
base du
par
et d’autre
Soit
K’ -espace vectoriel
rapport à cette base (Bourbaki, Alg.II,
(m ~ K!~ ~
xm
~x~ 1
a.
forment
égale-
élément primordial
paragraphe 5) s
A
Considérons l’élément
Il
k ~ les éléments
sur
N
on a
un
x
~r~~
est
bilatère) ,
idéal
un
part 1
résulte alors des propriétés des éléments primordiaux que l’on
Comme l’un des
égal
est
k.
signifie simplement que
On peut alors écrire s x
î~
on a
commute
k!
=
à
a ~
1,
m
n , et
tout
m
~
posant :
a
=
avec
en
=
montré que tout élément primordial x est dans
résulte aussitôt puisque tout espace vectoriel est
a ~
l’égalité précédente
k
que
03A3 k! a..
o
On a donc
1 ; le théorème
engendré
par
ses
en
éléments
primordiaux.
Corollaire î et finies sur
k
est du
Corollaire 2 - Soit
[A : k]
=
n .o
Si
A
Ao
=
k
tensoriel de deux algèbres
Le produit
même type.
’
A
simple,
désigne l’algèbre opposée,
2 . (algèbre
par
On peut faire
l’algèbre
opérer A sur
E
sur
considérée
A
E
comme
l’algèbre L(E)
des
k ~ et telle Que
on a :
no
et
n~
espace vectoriel
sur
lignes
k)
le corps
par les translations à
translations à droite. Cela revient à identifier
bres de
de centre
des matrices à
colonnes,
Désignons
simples, centrales
A
k-endomorphismesde E.
et
gauche
A~
ou
à des
Comme les
k.
par les
sous-algèalgèbres A et
AO
A
AO
un
peut définir un homomorphisme canonique de
dans L(E) qui prolonge les isomorphismes s A ~ L(E) et
étant simple (th.3) ~ cet homomorphisme est
..~..~: L(E) . L’algèbre A
isomorphisme~ comme en outre ?
commutent dans
cet
L(E) ,
on
A
isomorphisme applique
.~A~
L(E)
sur
=
Remarque : Si aucune des deux algèbres A et A’ du théorème 3 n’est
pas simple en général.. Toutefois, si le
centrale 3, l’algèbre A
centre de A 9 par exemple9 est une extension aloisienne de k 9 on montre
est un produit direct d’algèbres simples
que A ;~ A’
a
40-
Groupe de
Soit
Brauer. Définition.
A
une
algèbre simple
théorème de Wedderburn,
le
sur
on a :
A =
centrale et finie
k 9
où
kn
k , fini sur k 0 Le corps gauche
k-isomorphisme près. En effet, on peut
centre
est bien
K
k 0
D’après
gauche de
déterminé par A 9 à
est
K
sur
un
caractériser
corps
l’opposé du
commutant de A dans une représentation irréductible quelconque de A (et
on sait que deux telles représentations sont semblables). Nous pouvons donc
parler du corps gauche associé à une algèbre A .
un
Nous dirons que deux
algèbres
le
centrales
sur
k ,
A
comme
sont
et
sembla-
bles lorsque les corps gauches associés à À et A’ sont les mêmes- (à un
k-isomorphisme près). Cette relation de similitude partage les algèbres centrales sur k en classes, qui correspondent biunivoquement aux corps gauches
de centre
k
et finis
sur
k .
Nous allons munir cet ensemble de classes d’une loi de groupe s
B et B’
sont deux classes, et n 9 A’ des éléments de ces classes,
Si
voit tout de suite que les
on
une
même classe, que
nous
algèbres
A
;~: A’
sont toutes contenues dans
appelerons le produit des classes
B
et
B’ .
qui contient l’algèbre A k est évidemment l’élément neutre
de cette loi de produit ; c’est la classe formée de toutes les algèbres de maLa classe
trices
sur
=
k .
Le produit des classes est
à
A’
.~A ~°
Si
classe
A
B°
on
montre de
commutatif, puisque
même qu’il est
est
k-isomorphe
ass ociatif .
parcourt une classe B ~ les algèbres opposées A° parcourent une
2 au th. 4). En résumé 1
qui n’est autre que l’inverse de B
k ~
Théorème 5.munies de la loi de
lien. Ce groupe est
composition du produit tensoriel. forment un groupe abéappelé groupe de Brauer de k , et nous le noterons G, .
5. - Groupe de Brauer. Exemples.
a.-
k
algébriquement clos.
est
effet
K
devons montrer que
K
Soit
en
engendré
corps
par
x
un
Q
b.- k
corps des réels.
On connaît
un
Alors
0
k
est
un
corps
d.- k
est
un
corps
c.-
Voir
e -
k =
somme
Q
G.
Q.
=
Alors
Z2
+
Q/Z
Q/Z
+
+
...
+
G.
Q/Z +
exposé) .
o
Q/Z ("rationnels
paragraphe 2).
est
un
k
qui est absurde.
réduit à
2eme
==
VII -
G
corps des rationnels Alors
le
en
ce
non
(Voir
0 .
(puisque
C
suivant que c’est le seul. Il
R ~
Alors
k . Soit
K
de centre
l’exposé
nous
R ? le corps
k ~
=
~o ~
GR
Deuring (Algebren - Chap.
directe :
mod
’
certain sous-groupe de la
...
S.Wangp Annals 1950.
Les deux derniers exemples montrent que le groupe de Brauer d’un corps k
peut être assez. compliqué; mais dans les deux cas., on peut remarquer qu’il
est limite inductive de sous-groupes bien plus simples (par exemple, dans le
cas
d.- ~ de sous-groupes cycliques). Ce sont ces sous-groupes que nous
allons étudier dans la suite, et ramener à des groupes de cohomologie.
Voir
.
fini.
C
k ;
x
=
dans
quaternions Nous verrons
résultera bien ~p = ~ .
des
sur
et
corps commutatif
un
donc
k ~
gauche
corps
est
k. C
et
extension finie de
R~
0 .
=
gauche de centre k ~ fini
Sinon, il existerait x ~ K ,
commutent)~
=
Gk
corps
k .
=
Alors
Deuring,
loc. cit.
paragraphe 5 ainsi
que
6.- Extension
Théorème 6.un
corps
A
algèbre simple, centrale et finie sur k ,
de k (finie ou infinie). L’algèbre A
une
commutatif~ extension
L
est
simple.
peut appliquer le théorème 4 s tout idéal
bilatère de A ~ L est engendré par son intersection avec L qui est (0) ou
L , et A ~ L est bien simple
Si
A
est
un
corps
gaucho,
on
a
Si
A
est
A ~ L
quelconque,
=
(K
x
.
on
peut écrire
L)
=
k
x~ K’
A
~a
=
K’
d’où:
k
étant
un
autre corps
gauche.
Il
résulte:
en
d’où le théorème.
Corollaire - Soit A une algèbre simple, centrale
Alors [A : k] est un carré parfait.
Prenons pour
A
~X. L ~
L]
finie sur k .
algébriquement close de
structure d’algèbre sur L 9 et
extension
k .
0
L’algèbre
l’on
a ~
algèbre simple~ centrale sur L , et finie sur L . Il
sur L , et
(5-a-) que c’est une algèbre de matrices
est
une
résulte alors de
[A
une
peut être munie d’une
~ ;~ L
Mais
L
et
est bien
carré parfait.
un
k p soit À ~ faisons
correspondre son produit tensoriel avec L ~ considéré comme algèbre centrale,
simple et finie sur L . Autrement dits étendons le corps de baees de A de
algèbro centrale, simple
A toute
k
à
et finie sur
algèbres
L . Il est clair que deux
semblables resteront semblables ?t
du groupe
application canonique
dans le groupe de Brauer sur L ,
dis
phisme. Cela résulte tout de suite de la formule :
obtient ainsi
où ~ et ~ désignent des produits tensoriels pris
désignerons
vement. Nous
du groupe de Brauer
le noyau
Gk’
le
k
sur
et
C’est
par
sous-groupe formé
est
des cesses
un
k ,
sur
un
L
homomor-
respecti-
sous-groupe
d’algèbres qui
quand on étend le corps de base à L On
sont 3e s algèbres qui admettent L comme corps de décomposi-
algèbres
deviennent des
dit aussi que
de Brauer
une
on
ce
de matrices
o
tion.
algèbre
Toute
A
admet
briquement clos, puisqu’alors
L
pour corps de
GL
(0) .
=
En
décomposition
fait,
si
est
L
algé-
des extensions finies
suffisent :
Théorème 7. - Legroupe G~ est réunion des sous-groupes
parcourt l’ensemble des extEnsions finies de k.
Soit
nous
A
A
une
algèbre
devons montrer qu’il existe
soit
’X) L
on prend
une
algèbre
pour corps
une
(e.)
y
-L
de base
une
de matrices
extension
de table de
extension finie
sur
L
multiplication
L
de
k~
L . On sait que ceci est
algébriquement
close
M
de
~c..
ILJK~ 9
telle que
réalisé si
k . Ceci
6-09
signifie qu’il existe
table de
L
Soit
que
L
des
nr..
1J
r:~ ~~
°.
tels que le s
.~"""
~..E . ~
-’"J J.
E.
~
aient pour
multiplication la table bien connue dans les algèbres de matrices.
= ~k~~~.. ~ le corps obtenu en adjoignant à k les mi . ~ il est clair
J
J
répond à la question.
Remarque ? On peut montrer. qu’il suffit
qui sont galoisiennes sur k .
de
considérer les extensions
L