Chapitre 2 Continuité

Chapitre 2
Continuité
2.1 Caractérisations de la continuité
Définition 2.1.1
Soient (X, d),(Y, D)deux espaces métriques. Une application f:X→Yest continue au point
a∈Xsi, pour tout  > 0,il existe un δ > 0tel que D(f(x), f(a)) <  dès que d(x, a)< δ.
On dit aussi que aest un point de continuité de f. f est continue si fest continue en tout point
de X. L’ensemble des fonctions continues de (X, d)vers (Y, D)est noté C((X, d),(Y, D)) ou
tout simplement C(X, Y ).
La notion de continuité n’ayant un sens que pour une application agissant entre deux espaces mé-
triques, on écrit, par abus de notation et lorsqu’il s’agit d’étudier la continuité, f: (X, d)→(Y, D).
Il est clair que le caractère continu d’une fonction ne change pas si on remplace dou Dpar des
distances équivalentes.
Définition 2.1.2
f: (X, d)→(Y, D)est k-lipschitzienne si D(f(x), f(y)) ≤kd(x, y),∀x, y ∈X. f est
lipschitzienne s’il existe un k > 0tel que fsoit k-lipschitzienne.
Une fonction lipschitzienne est continue. En effet, étant donnés un a∈Xet un  > 0,on peut
prendre δ=/K.
Exemple 15
Soit (E, kk)un espace normé. Alors x7→ kxkest 1-lipschitzienne de Evers R.En effet, on a :
−kx−yk ≤ kxk−kyk ≤ kx−yk,
et donc
|kxk−kyk| ≤ kx−yk.
De même, si a∈X, alors x7→ d(x, a):(X, d)→Rest 1-lipschitzienne.
Proposition 2.1.1
a) fest continue en a⇔pour toute suite (xn)⊂Xtelle que xn→aon a f(xn)→f(a).
b) fest continue ⇔pour toute suite convergente (xn)⊂X, lim
n→∞ f(xn) = f( lim n→∞ xn).
c) fest continue ⇔pour tout ouvert Ude Y, f−1(U)est un ouvert de X.
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2.1 Caractérisations de la continuité Chapitre 2
d) fest continue ⇔pour tout fermé Fde Y, f−1(F)est un fermé de X.
Preuve
a) ”⇒”Soit  > 0.Pour le δcorrespondant, il existe un n0tel que d(xn, a)< δ, n ≥n0.
Alors D(f(xn), f(a)) < , n ≥n0;d’où f(xn)→f(a).
”⇐”Par l’absurde : si fn’est pas continue en a, il existe un  > 0tel que, pour tout
δ > 0,il existe un xtel que d(x, a)< δ mais D(f(x), f(a)) ≥”.Pour δ= 1/(n+ 1),on
trouve un xntel que d(xn, a)<1/(n+ 1) et D(f(xn), f(a)) ≥. On a donc xn→amais
f(xn)6→ f(a),contradiction.
b) Conséquence immédiate de a).
c) ”⇒”Soit Uun ouvert de Yet soit a∈f−1(U).Comme f(a)∈U, il existe un  > 0tel
que B(f(a), )⊂U. Avec le δcorrespondant dans la définition de la continuité en a, on a
d(x, a)< δ ⇐D(f(x), f(a)) <  ⇐f(x)∈U⇐x∈f−1(U),
et donc B(a, δ)⊂f−1(U).
”⇐”Soient a∈Xet  > 0.Alors f−1(B(f(a), )) est un ouvert contenant a;il existe
donc un δ > 0tel que B(a, δ)⊂f−1(B(f(a), )),ce qui se traduit par
d(x, a)< δ ⇐x∈f−1(B(f(a), )) ⇐f(x)∈B(f(a), )⇐D(f(x), f(a)) < .
d) Par passage au complémentaire de c).
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Exemple 16
Si f:R→R,on retrouve la définition usuelle de la continuité. Ainsi, toutes les fonctions
"usuelles" sont continues.
Proposition 2.1.2
Soient (E, kkE),(F, kkF)deux espaces normés. Pour une application linéaire f: (E, kkE)→
(F, kkF),les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) fcontinue ;
b) fcontinue en 0;
c) il existe un C > 0tel que kf(x)kF≤CkxkE,∀x∈E.
Si, de plus, Eest de dimension finie, alors toute application linéaire f: (E, kkE)→(F, kkF)
est continue.
Preuve ”a)⇒b)” Évident.
”b)⇒c)” Il existe un δ > 0tel que kx−0kE< δ ⇒ kf(x)−f(0)kF<1.Si x∈E\{0},
on a kykE< δ, où y=δ
2kxkEx. Donc kf(x)kF=2kxkE δkf(y)kF≤2 δkxkE.Cette égalité étant
clairement vérifiée si x= 0,on retrouve c) avec C=2
δ.
”c)⇒a)” On a kf(x)−f(y)kF=kf(x−y)kF≤Ckx−ykE;fest C-lipschitzienne, donc
continue. Pour la dernière propriété, on fixe une base e1, . . . , ende E. Si x=x1e1+. . . xnen,
on vérifie aisément que x→ kxk1=|x1|+. . . |xn|est une norme sur E. Il suffit de vérifier la
continuité par rapport à cette norme. On a
kf(x)kF=kf(x1e1+. . . xnen)kF≤ |x|1kf(e1)kF+. . . |xn|kf(en)kF≤Ckxk1,
où C= max kf(e1)kF, . . . , kf(en)kF.2
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2.1 Caractérisations de la continuité Chapitre 2
Proposition 2.1.3
Si f: (E, kkE)→(F, kkF)est linéaire et continue, alors il existe une plus petite constante
C≥0telle que kf(x)kF≤CkxkE,∀x∈E. De plus, on a
C= sup{kf(x)kF;kxkE≤1}= sup{kf(x)kF;kxkE= 1}= sup{kf(x)kF
kxkE
;x∈E\{0}}.
Preuve Posons d’abord :
A1={kf(x)kF;kxkE≤1}
A2={kf(x)kF;kxkE= 1}
A3={kf(x)kF
kxkE
;x∈E\{0}}.
Soit F={K≥0; kf(x)kF≤KkxkE,∀x∈E}.Clairement, Fest non vide, fermé (on le vé-
rifie aisément avec des suites) et minoré par 0. Par conséquent, C= inf F∈F. Il est immédiat que
cette constante Cest la constante désirée. On a A2⊂A1,et donc sup A2≤sup A1.Si kxkE≤1,
alors x=λy pour un λ∈[0,1] et un ytel que kykE= 1 (si x6= 0,prendre λ=kxkEet y=1
kxkEx;
si x= 0, λ = 0 et n’importe quel yconviennent). On a donc kf(x)kF=λkf(y)kF≤sup A2.
Par passage au sup, on trouve sup A1≤sup A2;d’où sup A2= sup A1.Par ailleurs, si x6= 0,
alors kykE= 1,où y=1
kxkEx. Comme kf(x)kF kxkE=kf(y)kF kykE,on a A3⊂A2.Comme on a aussi
A2⊂A3,on trouve que A2=A3.Il s’ensuit que sup A1= sup A2= sup A3.Si x6= 0,on
akf(xkF=kxkEkf(x)kF
kxkE≤sup A3kxkE;cette inégalité est encore valable si x= 0.On ob-
tient C≤supA3.Par ailleurs, on a kf(x)kF≤Csi kxkE= 1; par passage au sup, on trouve
sup A2≤C. Finalement, C= sup Aj, j = 1,2,3.2
Définition 2.1.3
Soient (E, kkE),(F, kkF)deux espaces normés. On note
L(E, F ) = {f:E→F;flinéaire et continue }.
Si f∈ L(E, F ),la constante Cde la proposition précédente est notée kfkL(E,F ),ou tout
simplement kfk.Dans le cas particulier où F=Rmuni de la distance usuelle, on écrit E0au
lieu de L(E, R); E0est le dual de E. Si f∈E0,on appelle fune forme linéaire continue sur
R.
Le résultat suivant est immédiat :
Proposition 2.1.4
L(E, F )est un e. v. réel et f7→ kfkest une norme sur L(E, F ).
Les résultats suivants sont des généralisations faciles des résultats précédents. Les preuves sont
laissées comme exercice.
Proposition 2.1.5
Soient (Ej,kkj), j = 1, . . . , k, (F, kkF)des espaces normés et soit f:E=E1×E2×· · ·×Ek!F
une application k-linéaire. On munit Ede l’une des normes produit. Les propriétés suivantes
sont équivalentes :
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