Fiche 4 : Corps finis

M1 – Th´eorie de Galois Fiche 4
4. Corps finis
Exercice 4.1 (Rappel de cours) Soit Kun corps fini `a q´el´ements.
1. Montrer qu’il existe un nombre premier pet un entier n≥1 tels que q=pn.
2. Montrer que :
Xq−X=Y
x∈K
(X−x).
En d´eduire que Kest un corps de d´ecomposition de Xq−Xsur Fp.
3. Soit σl’automorphisme de Frobenius sur K,i.e. σ(x) = xppour tout x∈K. Montrer que
Khσi=Fp
En d´eduire que Kest une extension galoisienne de Fpet que Gal(K/Fp) = hσi.
Exercice 4.2 Soit Kun corps fini `a q´el´ements de caract´eristique pimpair.
1. Montrer que l’application
ϕ:K×→K×
x7→ x2
est un morphisme de groupes et que Imϕest d’indice 2 dans K×.
2. Soit x∈K×; montrer que xest un carr´e dans Ksi et seulement si x(q−1)/2= 1.
3. Montrer que −1 est un carr´e dans Ksi et seulement si q≡1 (mod 4).
4. a) Soit Lun corps contenant Ksur lequel X4+ 1 admet une racine α. V´erifier que :
α+α−12= 2.
b) En d´eduire que 2 est un carr´e dans Ksi et seulement si q≡ ±1 (mod 8).
Exercice 4.3
1. Factoriser X4+ 1 sur Fp(avec pnombre premier). Distinguer les cas : p= 2, p≡1 (mod 8),
p≡ −3 (mod 8), p≡ −1 ou 3 (mod 8) et on utilisera l’exercice 4.2.
2. Montrer que X4+ 1 est irr´eductible sur Q.
Exercice 4.4 On consid`ere le polynˆome de Z[X] suivant :
Q(X) = X9+ 9X8−X3+ 3X2−3X+ 11.
Soit pun nombre premier, on notera par la suite Qpla r´eduction de Qmodulo p.
1. Montrer que X3−X−1 est irr´eductible dans F3[X].
2. D´ecomposer Q3en produit de polynˆomes irr´eductibles de F3[X].
3. Soit α∈¯ F2une racine de X4+X+ 1 o`u ¯ F2d´esigne une clˆoture alg´ebrique de F2. D´ecrire
l’orbite
{Fi(α), i ≥0}
o`u Fd´esigne l’automorphisme de Frobenius de ¯ F2/F2. En d´eduire que X4+X+ 1 est
irr´eductible sur F2.

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4. D´ecomposer Q2en produit de facteurs irr´eductibles de F2[X].
5. Montrer que Qest irr´eductible sur Q.
Exercice 4.5 Soient pun nombre premier et ¯ Fpune clˆoture alg´ebrique de Fp. Soit nun entier non
divisible par p.
1. Montrer que les racines n-i`emes de l’unit´e forment un sous-groupe cyclique Und’ordre ndu
groupe multiplicatif ¯ F∗
p.
2. Montrer que si ξest une racine primitive n-i`eme de l’unit´e (c’est-`a-dire un g´en´erateur de Un
alors les racines primtives n-i`eme de l’unit´e sont les ξrpour 1 ≤r≤net rpremier avec n.
Notons U∗
nl’ensemble des racines primitives n-i`emes de l’unit´e.
3. On appelle polynˆome cyclotomique d’indice nsur Fple polynˆome unitaire
Φn,Fp=Y
ξ∈U∗
n
(Xξ).
Montrer que
Xn−1 = Y
d|n
Φd,Fp.
4. Soit πla projection de Zsur Fp. Montrer par r´ecurrence que
Φn,Fp=π(Φn,Q)
.
5. Montrer que Φn,Fpest r´eductible sur Fpsi et seulement s’il existe m≤φ(n)/2 tel que Φn,Fp
ait une racine dans Fpm.
6. En d´eduire que Φn,Fpest irr´eductible sur Fpsi et seulement si ¯pest d’ordre φ(n) dans (Z/nZ)∗.
7. Montrer que pour tout p6= 2, Φ8,Fpest r´eductible sur Fp.
Exercice 4.6 Soit pun nombre premier et Kun corps fini de caract´eristique diff´erente de p.
1. Soit Pun facteur irr´eductible dans K[X] du polynˆome
Φp(X) = Xp−1+Xp−2+· · · + 1.
Consid´erons le corps L=K[X]/(P) et soit α=Xla classe de Xdans L.
Montrer que αest d’ordre pdans L×et en d´eduire que :
card(K)d≡1 (mod p)
o`u d= deg P.
2. On suppose que card(K) engendre le groupe F×
p. Montrer que Φpest irr´eductible sur K.
3. En d´eduire que si qest un nombre premier tel que qengendre F×
p, alors Φpest irr´eductible sur
Fq.
4. Soient pet qdeux nombres premiers. On suppose que q6= 2, p≡ −1 (mod 3) et que qengendre
F×
p. Montrer que Xp+1 −X+qest irr´eductible sur Q. (Indication : r´eduire modulo qet modulo
2 et utiliser la question pr´ec´edente.)
Application : Montrer que X18 −X+ 3 est irr´eductible sur Q.