Mecanique des fluides - chapitre 2

- 2.1 -
CHAPITRE 2
CINEMATIQUE DES FLUIDES
Tout comme en mécanique générale, la cinématique est l'étude du
mouvement (ici des fluides) indépendamment des forces qui le produisent. Le mouvement d T u n fluide est appelé Q.c,Ou,t<iïï\(Lnt.. Il sera
toujours défini dans ce qui suit par rapport à un repère orthonorme (Ûx1,X2,xs par exemple).
2. 1 - DEFINITIONS :
Le mouvement d'un fluide résultant de celui des particules, ou
points matériels, qui le composent, il s'introduit naturellement
les notions suivantes de :
" OL^ÂS-Otoi.^ ai uM^PJ&tâLtuJ--^ té^dL°Le_
La trajectoire d'une particule fluide est le lieu géométrique de
ses positions successives dans le temps.
Si x. sont les coordonnées au temps
trouve au point de coordonnées
x! au temps t' , sa trajectoire
pourra être définie paramétriquement par le système de 3 relat ions
Xj:
= f£ (xj, x£, xj, t', t)
(3.1.)
où xï,x' xl et t' sont à considérer comme des constantes et
t
comme un paramètre.
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t
de la particule que l'on
- 2.2 Ces relati ons que nous noterons sous forme condensée
x = f (x' , t ! , t)
(2.2)
ne sont pas arbitraires puisqu 1 évidemment, le point x f (sous entendi
le point de coordonnées x!) pouvant être choisi pour un temps t f
quelconq ue, nous devons
avoir
x - f(x,
(2.3)
t, t)
et si x" est une position de La particule au temps t" c'est-à-dire
si
x" = f (x', t 1 , t") alors
x
= f(xn, t", t)
(2.4)
A noter que dans 2*1 en faisant varier x' , t étant constant, on
obtient toutes les trajectoires.
Remarqua :
Si les fonctions f définies ci-dessus se prêtent bien par leurs
généralités à la description formelle des écoulements elles sont
par contre très difficiles à obtenir en raison des propriétés particulières qu'imposent les relations 2 - 3 et 2 4 (propriété de
groupe).
Aussi, bien souvent, se limite-t-on à définir l'équation des trajectoires pour des positions x' - x'
correspondant à un ffl&me.
instant initial t' = t'Q (x = f(x^ , t^ , t) = g(x^ , t)) ce qui
élimine les difficultés signalées.
- L*.gKie_ d^_&ïïû.&_A'Lo_vi_
La ligne d'émission d'un point x' au temps t est le lieu des
positions à cet instant des particules qui sont passées ou
passeront par x ! .
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- 2.3 -
Or la position x au temps t
de la particule qui à un
instant quelconque t ' « T
est passé en x f est donnée
par la relation 2.1 d'où
l'équation paramétrique des
lignes démission
x
i
s f
i
fvf
vf
Y*
T
fï
1 * 2' 3 '
où les xî et t seront consii
dérés comme des Constantes
et T comme un paramètre.
- champ_ de,&_ v±te.A_6 e4_ e.^_c(^_acc J.££'ui^-to 104^
A chaque instant t la vitesse u des particules fluides est en tout
point x du fluide un vecteur de composantes u. tel que si dx représente le déplacement pendant l'intervalle de temps (t, t+dt) de la
particule qui se trouve en x au temps t on ait,
dxt
U
i
(x t}
'
""
(2
'5)
dT"
compte tenu de la définition de la trajectoire on a également
quelque soit x', t' ,
9f.(x',t',t)
"i
'
-i-ît
(2
'6)
On retrouve à partir de cette relation l'expression (2.5) de u^
en fonction de x et de t en remarquant que compte tenu de
1
(2.3)
a^Cx ,t*,t)
u.(x,t)
-
§r-
x
- x
t' = t
L'ensemble des vecteurs vitesse constitue un ck&wp \mc,toH4.(lt
appelé champ dej u/tte^e* .
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- 2.4 -
L ' é c o u l e m e n t est dit Atat4,onna£si<ï ou. p&timan&nt si le champ
desvitesses est indépendant du temps.
A4.o0c.xce au. ckamp d&A v*,te.AAe.A on dl^nÀ,t d& même en chaque, poLnt
x. du fitu-ide. un ckamp de<6 acce.ilnation4
Y
i
(x>t) =
dUi
dt~
=
32f.
—~
8t
x
* = x
tf - t
(2-7)
~ ^SJl^^i. ^Oti^^Ji^
Ce sont à un instant donné les -C^giae^ de C.foamp4 du champ vectoriel
des vitesses à cet instant c'est-à-dire les lignes qui en chaque
point sont tangentes au vecteur vitesse en ce point.
On dé duit de cette définition l'équation différentielle des lignes
de courant
dx.
L
. =
Uj(Xj,x 2 ,x 3 > t)
où
t
dxZ9
_
=
u2(xj,x2,x3,t)
dx q
±(2.8)
u3(xj,x2,x3,t)
a une valeur fixée.
Si l'écoulement est stationnaire ligne de courant, trajectoire et
ligne d'émission sont confondues.
" Ti1^ JÎ& ^ojL'L&nt.
On appelle tube de courant l'ensemble
des lignes de courant qui s'appuient
sur un contour fermé.
~ UJUt^lu^d^
Un filet fluide est un tube de courant
dont la section est infiniment petite.
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- 2.5 -
" tl-5Jl^/_^a^^L9-(L.c'li J^'M-yi2- JH&JïS^ê/
On appelle ligne, surface ou domaine matériel une ligne, une
surface ou un domaine du fluide constitués à tout instant des mêmes
particules fluides (ou points matériels)
&
2 .2 - VISUALISATION
DES ECOULEMENTS
On peut mettre en évidence les différentes figures de l'écoulement
en marq^uant certains petits domaines de façon à pouvoir les suivre
dans leur mouvement.
Ainsi si 1 f o n introduit dans un fluide des petites particules ayant
une masse volumique voisine de celle du fluide (poudre d'aluminium
par exemple) on pourra admettre que leur mouvement est sensiblement
celui du petit domaine fluide auquel elles sont substituées.
Si l'on éclaire fortement ces particules qui sont très réfléchissantes et que l'on photographie l'écoulement avec un temps de pose
At très
court, chaque particule donnera sur le cliché un petit
trait brillant (vecteur Ax = u At) image du champ des vitesses à
l'instant de la prise de vue. On pourra, assez facilement si
l'écoulement est plan, en déduire les lignes de courant
(enveloppe
des petits traits).
Réciproquement la même photographie effectuée avec un temps de pose
At très long nous donnera l'image des trajectoires pendant cet intervalle de temps.
Enfin si l'on marque par un colorant (injection de fluorescéine,
rhodamine, permanganate de potassium ou dépôt d'un grain de ces
colorants) les particules fluides qui passent en un point donné P
on aura par photographie instantanée à un instant
t
l'image de
la ligne d'émission du point P à cet instant t.
Comme en écoulement permanent, trajectoires, lignes de courant et
lignes d'émission sont confondues, ce dernier procédé est une méthode très pratique de visualisation des lignes de courant ou trajectoires en régime stationnaire.
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- 2.6 -
2 . 3 ~ D E S C R I P T I O N S D U M O U V E M E N T - POINT D E V U E D E LAGRANGE E T D ! E U L E R
Le mouvement
d ' u n f l u i d e peut être d é f i n i de 2 façons d i f f é r e n t e s
:
" selon L a g r a n g e en se d o n n a n t , à p a r t i r d ' u n e c o n f i g u r a t i o n
initiale fixée,
fluide,
la p o s i t i o n
au cours du temps de chaque p a r t i c u l e
c'est-à-dire les trajectoires
~ s e l o n E u l e r en se d o n n a n t , à t o u t i n s t a n t en c h a q u e p o i n t de
l'écoulement la vitesse de la particule qui s'y trouve,
l e champ
c'est-à-dire
des v i t e s s e s .
On peut dire encore que la description Lagrangienne du mouvement rapporte la
configuration actuelle a une configuration de référence
qui, bien que pouvant
être quelconque, est habituellement celle existant à un instant initial t « 0
alors que la description eulêrienne ne s'attache q u ' à la configuration actuelle.
2 , 3 . 1 - Variables de Lagrange
Si nous considérons l ' e n s e m b l e des t r a j e c t o i r e s d é f i n i e s
des p o s i t i o n s xï = a.
t' - 0
des p a r t i c u l e s f l u i d e s
à partir
à un m ê m e ^inétant
l e u r é q u a t i o n d e v i e n t comme n o u s l ' a v o n s d é j à n o t é
x.
=
f£
( a , , a 2 , a3, t)
(2.9)
a , a ? , a,, et t constituent 4 paramètres indépendants que l'on
appelle vcLtiiabitA dd LcLQ^iang^.
Les inconnue.* sont ici les 3 fonctions f i (ou xi) positions de la
particule fluide au temps t.
Lorsque l'on rattache les grandeurs caractéristiques de l'écoulement
(vitesse, contrainte, masse volumique...) à la particule fluide, ou
point matériel, que l'on suit dans son mouvement, on dit que l'on
se place du point do. vue da LagianQd.
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- 2.7 -
Les grandeurs en question sont alors des fonctions des a.
et du
1
->
->
temps t ( u = u(aj ,a2 »a3,t) ; p = p(aj_ ,a2 ,a3, t). . . )
Les variables
de Lagrange sont peu utilisées en mécanique
des
fluides où les déformations sont importantes et les positions initiales sans intérêt particulier. Toutefois dans les phénomènes
d*ondes où l'on veut rattacher une configuration actuelle à une
configuration antérieure
pour, par exemple, suivre l'évolution de
surfaces d'ondes entre 2 instants, leur emploi peut être
En mécanique
la
avantageux.
du solide par contre où l'on considère presque toujours
déformation par rapport à un état initial leur emploi est de
règle.
2.3.2. - Variables d'Euler
Nous avons vu que le champ des vitesses à Un instant t donné est
défini en chaque point de coordonnées x , -x.^, x^ par le vecteur
u (Xj,x2,x3,t)
x., x«, x«, t constituent 4 paramètres indépendants appelés
va/ii.ab&&*
d1 Eu£ei.
Les <tttc0nxiue<6 sont ici les 3 fonctions u. composantes du vecteur
vitesse. De même que précédemment on dit, d'une manière générale,
que l'on se place du posent de. vue. d1 Eu£eA lorsqu'on rattache les
grandeurs caractéristiques de l'écoulement au po^int g&ome,tfiiqiJi&
(fixe dans un système d'axes donné) de coordonnées x^ et au temps t.
Les grandeurs en question sont alors des fonctions de ces variables,
u - uCx.^, t), à = CJ(xi, t) ... et définissent un champ des
vitesses, des contraintes...
Dans tout ce qui suit c'est le point de vue d'Euler qui sera adopté.
Remarque :
II est
facile de voir que les 2 descriptions du mouveiœnt, lagran-
gienne et eulérienne, sont équivalentes et que l'on passe de l'une
à l'autre par intégration (Ui •*• fi) ou par dérivation (f. ->• u.)
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- 2 .8 -
2.4 - VARIATION AU COURS DU TEMPS D'UNE GRANDEUR ATTACHEE A UN
POINT OU A UN DOMAINE FLUIDE - DERIVEE PARTICULAIRE -
Nous aurons souvent à considérer l'évolution dans le temps d'une
grandeur cj) attachée à un point ou a un domaineD quelconque lorsque
l'on
Att<Lt ce point ou ce domaine dans &on mouv&mznt p/tople.
'Pour exprimer cette variation de <J> qui apparaît dès lors comme une
fonction du -te.mp-6 -6£u.£, il convient d'en calculer la dérivée
totale £-£
cas où
dite ctél/cvêe. en Au^vant £e mouvement, d'une part dans le
cf) est une
fonction de point, d'autre part lorsque (j) repré-
sente une intégrale de volume sur D.
2.4.1 - Fonction de point
Soit
(|>(x.. ,x 2> x 3 , t) une grandeur quelconque, masse volumique (cj)=p) ,
vitesse ($= u) . . . fonction des coordonnées x. d'un point M et du
temps t.
Si le point M est mobile, ses coordonnées x. sont des fonctions du
temps t : x^ = x^t). On a alors <J> (xj(t), x 2 (t) ,x3 (t) , t) qui est
bien une fonction de t seulement.
- déi'tvëe -FT
__
Q £
La dérivée -r~- en suivant le mouvement s'obtient immédiatement en
appliquant la règle de dérivation des fonctions
Ai _ li
ôt " 3t
Comme
ii
composées.
dXjl
9x i dt
dx.
_± représente la composante de la vitesse w^ suivant oxi ,
du point M, il vient
£* . 24_ + M- w.
ôt
9t
3x. i
ou |
i = |
i + (grad 4») . W*
3t
dt
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- 2.9 -.
~ dJL*^uJr £_Pj*^t£u£ o^U. e.
Si w est à chaque instant la vitesse u du fluide au point M considéré ou, ce qui revient au même, si 1 f o n considère le point M comme
attaché à une particule fluide alors
|
i = |
1 + (grad 40 . u
0t
dt
est a p p e l é e dénuée pa^<t/ccu.^a^/ie ou dénuée ma;téi<te££e de <j>.
Afin de distinguer ce type particulier de dérivation du cas général
où w ^ u, nous le noterons —
(il est souvent noté aussi —).
La dérivée particulaire représente le taux de variation d*une quantité cj) attachée à une particule que l f o n suit dans son mouvement.
2.4.2 - Intégrale de volume
Soit un point M (x. , x _ , x,,) du fluide et soit dT un élément de
volume infiniment petit entourant
le point M. Si dl représente une
quantité quelconque proportionnelle au volume dT considéré, nous
pouvons introduire une quantité cj) telle que dl = (J)dT.
§ est alors
une fonction de point au sens ci-dessus représentant une densité
volumique (densité volumique de masse, d T énergie...)
Par exemple, si dl est la masse d f u n élément de volume dT de fluide,
alors (}) est ce que nous avons appelé la masse
volumique.
La quantité totale I contenue dans un domaine D à un instant t est
évidemment
I =
(|>dT î par exemple, si <j> = p , I représente la masse
)D
de fluide contenue dans D.
De même que précédemment, la variation de I au cours du temps
ft T
s'obtient à partir de la dérivée -pr en suivant D dans son mouvement,
*Si (j> est un vecteur (grad <f>) . w représente le produit contracté
du tenseur du second ordre grad $ par le vecteurï^.
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- 2.10 -
mouve ment défini par le déplacement de sa frontière. I, de même
que (j), apparaissent alors comme des fonctions du temps seul.
- —
Pê^Uvëe
— —
|
i
ot
->
Soit w(x ,x2,x3,t) la vitesse de
chacun des points de la surface
frontière S. Celle-ci étant mobile, elle se trouve :
- au temps t en S
- au temps t + ôt en S f
(voir croquis ci-contre)
La variation ôl de I pendant le temps ôt peut être décomposée en
trois ^parties.
1) Ventilation ôl
dan* la patitld commune (1)
On a (J) (xj , x2 ,x3, t) , mais ici la variation de (j) n'est due qu'à la
variation de t, puisque les valeurs de x. intervenant dans ({) sont
les mêmes qu'au temps t initial.
On en déduit que :
Ô l , - ~ I (j) -dT
1
9t
<î)
ôt = f !•*• dT
<D3t
ôt
2) Vasii.at4.on 6l2 (pa/tt^e ® de P au temp* t + 6^;)
Cette variation est due à l'incorporation à D des quantités attachées à la partie notée (2) sur la figure du domaine D au temps
t + ôt.
Or, l'élément de volume de (2) est le petit cylindre de
base dS dont le volume est
à cet
w.n dS ôt, d'où la quantité I attachée
élément de volume : (j) w.n dS ôt et pour tout le volume de (2
ÔI9 =
(j) w.n
JS
dS ôt
2
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- 2.11 -
3) Variation
ôl 3 (patitto. (j) da V au tamp* t)
On a ici, de même que pour la partie (2) , une variation
ôl~ =
<J) w .n dS 6t
Js
3
due à la "perte" des quantités I attachées à la partie
(D de D
au temps t. Finalement, la variation totale de I pendant l'intervalle de temps t, t + ôt sera
01 = 61
+ 6I9 + 61. - [ |
| dT Ôt + (<J> w.n dS ôt
J
J
J
D dt
S 2 +S 3 =S
d ! où le taux de variation
|
| = { ffdT + f * 5.Î as
D
(2.10)
S
Nous voyons que seule intervient dans la variation de I la composanté normale w
->• ->•
= w.n de la vitesse de la frontière.
wn qui répré-
sente la vitesse de déplacement de S suivant sa normale est ce que,
par définition, on appelle la vitesse de S. Cette vitesse peut être
quelconque et l'on peut citer, comme exemple de domaine limité par
une surface S se déplaçant avec une vitesse différente de celle du
fluide et ayant une réalité physique, les surfaces d'ondes (par
exemple, onde de choc sphérique produite par une explosion ponctuelle) .
CCLA_ $^^£\JiUiW._-^£^\rfLjL_ ^ÛLA^Ca^^Le,
1) ^_=J
Dans ce cas, la vitesse de la frontière est à chaque instant égale
à celle des particules fluides qui la composent. C'est une -ôuA^Ciee.
ma-tc^-te-^-Ce et ce sont toujours les mêmes particules fluides qui sont
à l'intérieur. On dit alors que D est un
domaine. matê.ti<Le.t. La déri-
vée -s— , que nous noterons alors -r~- pour la distinguer du cas gêné-
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- 2.12 -
rai où w ^ u , représente alors la dérivée particulaire ou matérielle de I, c'est-à-dire la dérivée de I lorsque l'on suit le volume de
fluide même dans son mouvement.
On a ainsi
-
dt
=
f |
f dT +
J
D
3t
<2'">
f *S.S dS
J
S
ou, en utilisant la formule d'Ostrogradsky pour transformer l'intégrale de surface en intégrale de volume,
«
. f (M
+ div
4, £)
(2.,2)
dT
A titre d'exemple, considérons le cas où (j) - p, alors I = M masse
du fluide contenu dans D ; comme celle-ci ne peut, d'après le principe de conservation de la masse, que rester constante au cours du
déplacement de D, il vient -r— = 0, quel que soit t, d'où
f (
|
£ + div pu") dT = 0
(2.13)
•'D
et, comme cette relation est valable quel que soit D, il vient
|£ + div p u - 0
(2 .U)
ot
C'est l'équation de continuité ou de conservation de la masse.
o\
2.) "*"
w = •*"
u - +
v
II est parfois intéressant d'introduire la vitesse relative v du
fluide par rapport au domaine D considéré. La relation 2*10 s'écrit
alors
|
1
ôt
. f|f dT +
JD"
f $î.n dS -
U
Js
Js
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î.£ dS
- 2.13 -
|
I
= JI
-
1^ î.î
(2.15)
ds
mettant en évidence le flux de '<J> à travers S du au déplacement
relatif de vitesse v du fluide par rapport au domaine.
3) Dérivée particulaire avec conservation de la masse
Le plus souvent, les quantités (f> (quant i tés de mouvement, énergie...)
ne sont pas en fait liées au volume de l'élément, mais à sa masse
dm = p dT , si bien que les quantités à considérer sont de la forme
I =
I <J> dm
D
» I 4>p d.T .
D
ce qui, compte-tenu de la conservation de la masse exprimée par la
relation 2. 13, conduit à
S -' (%dm= [„&'*"
(2 16)
-
ce que l'on peut également obtenir immédiatement en remarquant que
l'élément différentiel dans
(J>dm étant la masse élémentaire dm, le
domaine d'intégration est la masse M de D, ce qui, en vertu de la
conservation de la masse, correspond à un domaine d'intégration fixe.
Remarques
- Les relations 2.10 et 2.11 impliquent que <j>
et ses dérivées soient
continus sur D et sa frontière S et que la composante normale
/"*"
~*"\ de
j "*"
(w.nj
w sur S y soit continue du moins par morceaux, S étant une
surface à plan tangent également continu par morceaux,
- La relation 2.12 suppose que <(> et u soient continus et à dérivées
continues et bornées sur D.
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- 2.14 -
Si le domaine D comporte des surfaces de discontinuités pour <f>, on applique
les relations ci-dessus aux parties que ces surfaces délimitent dans D. Aux
expressions ci-dessus, s'ajoute alors un terme faisant intervenir les sauts
subis par <J> à la traversée de ces surfaces de discontinuités. La relation
2.15 est par contre toujours valable.
2.5 - DEFORMATION DANS UN FLUIDE - TENSEUR DES TAUX DE DEFORMATION
La déformation d'un milieu continu est caractérisée par le déplacement relatif
des divers points matériels constituant ce milieu. Or, comme nous l'avons déjà
indiqué (1.1) et ainsi que nous le verrons de façon plus précise par la suite
(3.2), dans un fluide à l'inverse de ce qui se passe pour un solide, le paramètre important n'est pas la déformation proprement dite du milieu, mais la
vitesse à laquelle cette déformation intervient.
Pour préciser cette notion de vitesse de déformation, considérons un point matériel P lié au fluide et dans un voisinage de P un point P' quelconque également lié au fluide.
La vitesse de déformation locale en P,
pour la direction PP f , au temps t (ou
si l'on veut de la particule fluide à
laquelle sont attachés les points P
et P 1 ) sera évidemment liée à la vitesse de variation des positions relatives de ces deux points caractérisés par le vecteur PP*, soit
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- 2.15 -
dPP'
__
d'où
. u•*.
.
->
-
u
le f a i t évident que la v i t e s s e de v a r i a t i o n de la
position
1
de P par rapport à P est simplement égale à sa vitesse relative par rapport à P,
ce qui ramène l'étude des vitesses de déformation en P à celle du champ des vitesses en ce point.
I l n ' y aura c e p e n d a n t d é f o r m a t i o n q u e s i l a d i s t a n c e P P f
varie.
" Ç^^^^J^L ^^^-j^^^yA^^A *ê
Pour étudier le champ des vitesses dans un voisinage de P posons :
PP' « ÔP
de composantes ôx. et u' = u + Ou
Nous pouvons écrire à un infiniment petit du second ordre près
u' .
-
i
soit
u'
«
U.
i
u
+
+
3u.
8Xj
Ô* .
-r—-
j
grad
u. ÔP
en introduisant l'opérateur linéaire appelé gradient de u qui au petit
déplacement ÔP fait correspondre l'accroissement 6u de Ja fonction
u ; gradu est un tenseur du second ordre de composantes TT
gradient
appelé
du champ des vitesses en P.
Décomposant
grad u en sa partie symétrique
e et antisymétrique Œ
respectivement de composantes
.
3u.
. du.
8u.
ij = "2 (^7 + ^ et
£
il vient u 1 - ïï + S.6P
+
du.
ij = 2("8xT " 3^}
Q
e.ô?
(2.18)
Si l'on remarque que les Çl^. sont les composantes du pseudo-vecteur
3 = Y rot u, on peut écrire
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- 2.16 -
-V
->
]
-
>
_
>
.
.
-
*
=s
-*
u ' = u + Y r o t u A ô P + e . ô P
u1 = u +
ôu_
K.
+
(2.19)
<5u_.
L)
Comparant cette relation à celle donnant la vitesse en un point B
d'un solide indéformable par rapport à la vitesse en un point A
•>
V
B
=
V
-»•
—>
+ ^ A AB
->
A
->
ou a) est le vecteur rotation instantané
nous voyons que la vitesse
du fluide dans un voisinage de P correspond à celle d f u n solide
indéformable auquel s'ajoute la vitesse ou = C.ÔP caractérisant la
\J4,t&t>t>Q do, d&ûotimat4,on pomti ta. cUiec^on PP' .
On appelle
fi
: le
t e n s e u r des tanK de, fiotatsion
ë
: le t e n s e u r des taux. d& d^^on,mat^ion ou des Vsit&AA&A do.
de-^o^imcit-ion
a) = yro t u : le v e c t e u r tou.sib<Ltton (ou v e c t e u r taux do. tLOtat^ion) .
e é t a n t s y m é t r i q u e sa m a t r i c e ( e . ^ . ) p e u t toujours, par un changement d'axes,
ê t r e m i s e sous f o r m e d i a g o n a l e t e l l e q u e
i e,
&\
^
-
<\
6
où
6u
et
"D j
-
»
\ °
0
0
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°
^3
ôx. sont les composantes de ou
veau système d'axes
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2
\ 5 ^3 /
et
ÔP dans ce nou-
- 2.17 Dès lors si l'on considère les points P et P 1 comme attachés à la
particule fluide on peut dire que
Théorème de Helmholtz :
de temps
Le mouvement d'une particule fluide pendant un intervalle/dt est
la somme d'un mouvement de translation, de rotation et de dilataj^ion linéaire suivant 3 axes orthogonaux.
On peut schématiser cela comme indiqué sur les figures ci-dessous
qui montrent l'évolution d'un petit domaine entourant le point P
pendant l'intervalle de temps
t, t + dt. Les états 1, 2, 3, ont
été séparés pour des raisons de clarté du dessin mais sur ces 3
figure les points P. doivent être considérés comme confondus.
On pourra montrer à titre d'exercice que d'une façon générale les
composantes £.. représentent un taux de dilatation linéaire alors
que les composantes e. . où i ^ j correspondent à un taux de déforma"
tion angulaire et l'on pourra en déduire que le taux de dilatation
volumique de la particule (variation relative de volume par unité
de temps) est donné par la trace e.^ = div u invariant de i. Si le
fluide est incompressible on aura évidemment div u - 0
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- 2.18 -
A partir de ce résultat on pourra également retrouver, en considérant l'invariance delà masse élémentaire dm = pdx contenue dans le petit volume di d'une
particule fluide, l'équation de continuité déjà citée :
^ + p div u = 0
dt
2.6 - ECOULEMENTS
PARTICULIERS
Indiquons tout d'abord qu'un écoulement est dit :
- stati-onnai-re ou permanent lorsque le champ des vitesses est indépendant du temps u = u(xi,X2,X3).
Dans ce cas, trajectoires, lignes de courant et lignes d'émission sont
confondues. Pour un écoulement turbulent, on dit écoulement permanent en
moyenne.
— uni, ou bidimensionnel lorsque le champ des vitesses ne dépend
que de une ou deux variables d'espace u = u(x},t), u = u(x},X2,t).
- plan lorsque, en chaque point, le vecteur vitesse a une composante constamment nulle dans une même direction donnée , trajectoires, lignes de courant et d f émission étant toutes situées dans des plans parallèles,
- unidireoti -nnel lorsque le vecteur vitesse est de direction
fixe u = |u e, trajectoires, lignes de courant et lignes d'émission sont
alors des droites confondues (|e| = 1).
- à direction permanente lorsque, en chaque point, le vecteur
vitesse a toujours la même direction. Ici également lignes de courant,
trajectoires et lignes d'émission sont confondues.
2.6.1 - 3ECOULEMENTmLAMINAIRE_=_ECOULEMENT_TURBULENT
L'expérience montre que, sous certaines conditions (présence de parois,
jets,..), la vitesse du fluide en un point présente, lorsque sa valeur dépasse
un certain seuil, des fluctuationsà caractère aléatoire aussi bien en grandeur
qu'en direction. La fréquence de ces fluctuationspeut-être très élevée (^200 kHz)
On dit alors que l'écoulement est turbulent.
Par opposition, lorsque les couches fluides glissent régulièrement
les unes sur les autres à la manière d'un jeu de cartes ou de lames qu'on
étale, on dit que l'écoulement est laminaire.
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- 2.19 -
Nous reviendrons au chapitre 6 sur les écoulements turbulents qui
sont les plus fréquents car la vitesse à laquelle les fluides circulent dans
la plupart des installations conduit à ce type d'écoulement.
Indiquons cependant, dès maintenant, que l'on définit dans ce cas
la vitesse u comme la somme de 2 vecteurs, l'un représentant une valeur
moyenne de la vitesse sur un intervalle de temps At assez grand pour que cette
valeur moyenne ait un sens, l'autre une vitesse de fluctuation u',c'est à dire
que 1'on a :
->
+
->,
u = u + uf
avec
—
^
1
u = —
rt + At
•*• ,
u dt
't
On définit de même pour tous les autres paramètres: p, T, p, ..
une valeur moyenne et une valeur fluctuante, par exemple : p - p + p'
Les écoulements turbulents sont des écoulements non permanents,
toutefois lorsque la vitesse moyenne est indépendante du temps on dit alors
que l'écoulement est permanent en moyenne» C'est le cas de la plupart des
écoulement que l'on a habituellement à considérer dans la pratique industrielle courante.
2.6.2 - ECOULEMENT^A_POTENTIEL__DES__ACCELERATIONS
Par définition, ce sont les écoulements où
->
du
-*
Y = jj- - - grad n
ïï étant une fonction scalaire des coordonnées du point considéré et du temps.
Nous verrons que l'on a de tels écoulements lorsque la viscosité
du fluide est négligeable (fluide parfait), que sa masse volumique ne dépend
que de la pression (fluide barotrope) et que les forces voJumiques appliquées
dérivent d'un potentiel (force de pesanteur). Ces écoulements seront étudiés
plus en détail au paragraphe 2.6.2 suivant dans le cas particulier des écoulements plans irrotationnels stationnaires. Nous donnerons ici quelques-unes
de leurs propriétés dans le cas général.
1. Théorème de Thomson
La circulation T du vecteur vitesse le long d'une 1i ^ne ma t é r i e11e
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- 2.20 -
fermée tracée dans le fluide et ne coupant aucune surface de discontinuité,
est constante dans le temps.
r = I î.ôî
J
c
dr f Y-> ô£++ fu ->6 u ->
dT* c'
'
c
;
d(u.ô£) du
puisque -J--—= —
J
-t
->
d .->
->
-*•->•
•>
. 0<$£ 4- u . -^ 6£ = y - 6£ + u . 6u
Comme y dérive d'un potentiel implicitement supposé uniforme
y.ô£ - 0 et comme u est continue et que
u.6 u = -r6 u2 la seconde in*c
Jc
Jc
tëgrale est également nulle, donc
F - constante.
2. Théorème de Lagvange
Si l'écoulement est irrotationnel à un instant donné, il le demeurera indéfiniment.
Comme le flux de rot u à travers toute surface fermée s'appuyant
sur C est égal à F (théorème de Stokes), si rot u est nul à un instant t,
la circulation sera nulle à cet instant le long de toute courbe C et
d'après le théorème précédent le restera indéfiniment.
Donc rot u sera également toujours nul.
Or, on sait que, si le rotationnel d'un vecteur est nul, ce vecteur dérive d'un potentiel. On a donc :
u = grad (j>
(j> est appelé le potentiel des vitesses , il est défini à une constante près.
Ce cas particulier, qui représente une classe importante d'écoulé*ment, sera étudiée au paragraphe suivant dans l'hypothèse des écoulements
plan de fluide incompressible (p = este)
On doit noter que cette dénomination, traditionnelle en mécanique des
fluides, n'est pas conforme à la définition habituelle d'un potentiel
qui voudrait que l'on écrive u = - §ra-d §•
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- 2.21 Remarque
A un instant t, les vecteurs rot u forment un champ de vecteurs
pour lesquels on peut définir (tout comme pour le champ des vitesses on a
défini les lignes de courant) des lignes tangentes en chacun de leur point
à ces vecteurs.
Ces lignes sont appelées lignes tourbillon
et l'on définit de même des tubes et des filets
tourbillon.
Le flux du vecteur tourbillon étant nul à
travers la surface latérale d'un tube tourbillon,
la circulation F est la même le long de tout contot
du tube. La valeur de T est appelée intensité du
tourbillon.
Cette constante de F le long du tube impli
que qu'un tube tourbillon ne peut se fermer que sur lui-même (anneau de
fumée) ou à l'infini.
Si la section du tube tourbillon diminue, la "densité" tourbillonnaire croît.
D'après le théorème de Thomson, la conservation de la circulation
implique également que, dans un écoulement, l'intensité tourbillonnaire se
conserve.
On exprime cela en disant que, dans un fluide parfait, on ne peut
créer les tourbillons que par paire, chacun d'eux "tournant" en sens
contraire et se neutralisant (exemple de la tasse de café d'Helmholtz).
Une illustration de cela peut également être obtenue en considérant
l'écoulement créé lors de la mise en mouvement rapide d'un corps dans un
fluide au repos.
Ainsi dans le cas d'un profil d'aile on observe, à l'aval, la formation d'un tourbillon d'axe parallèle au bord de fuite. Comme lorsque u - 0
la circulation F, le long d'une ligne matérielle C entourant la profil, est
nulle la conservation de cette circulation implique, le long des contours Cj
et C2, l'existence d'une circulation Fj et F 2 telle que Fj + F 2 « 0.
Au cours du temps le tourbillon qui induit la circulation F2,
s'éloigne du profil et se dissipe du fait de la viscosité du fluide mais la
circulation F x autour du profil demeure. C'est cette circulation qui, par la
dissymêtrie du champ de pression engendré, induit, par unité d'envergure du
profil, une force fz> normale à l'écoulement, appelée portance. On a f ^-plulr
et, pour l'aile entière d'envergure L : F
z
= -p|u|/ F(y)dy.
L
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- 2.22-
2.6.3 - ECOULEMENT^PERMANENT^ P L AN±_ IRROTATIONNEL D'UN__FLUIDE
INCOMPRESSIBLE
Cela se traduit par
• '' \ ' . v
/
\
n
c'est-à-dire un vecteur vitesse indépendant
de t et une composante sur Oz nulle.
. -*•
-*•
en notant ici u = V ; u^ = u ; U2 = v ; X]_ = x ; X2
=
y«
b)
rot V = 0
écoulement irrotationnel
c)
div V = 0
fluide incompressible (équation de conservation de la masse).
En raison de la conservation de la circulation dans un fluide non
visqueux, ces hypothèses correspondent à de nombreux écoulements plans d'un
tel fluide autour d'obstacles (profil d'aile, grille d'aubes, ...^, écoulements pour lesquels la vitesse à 1'infini amont est uniforme (V = VQ, d'où
rot V = 0).
- POTENTIEL DES VITESSES
De rot V = 0, c'est-à-dire de ~ - -~ = 0, on déduit qu'il existe
une fonction <f>, telle que :
u
= li
9
(4.37)
*
8à
v=
c'est-à-dire
V - ^3 $ ,
puisque -*LjL = -*L±
3y 9x
3x 9y
^
4) est appelé le potentiel des vïtesses.
~ FONCTION DE COURANT
De div V = 0, c'est-à-dire — + — = 0, on déduit pareillement
l'existence d ' u n e fonction ^> telle que
= ii
y
(4.38)
v =
c'est-à-dire
V = - k A grad ip , puisque -—^- « -^~~L
'xoy
_|i
9x
vj; est
-*•-*•-»'
oy<ix
appelée la fonction de courant.
' - > • - >
*0n note i, j , k une base orthonomée, telle que i, j soient les vecteurs
unitaires p r i s selon les axes Ox, Oy du plan de l ' é c o u l e m e n t .
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- 2.23 -
- PROPRIETES PARTICULIERES DES FONCTIONS <j> ET J>
1. Chacune des grandeurs scalaires <j> et
champ des vitesses.
41 définit entièrement le
2. Les lignes ^ = este sont des lignes de courant.
Comme V --k A grad ^, il
vient
V . grad 4> - 0, d ' o ù , puisque grad ip est porté par la
normale n à la ligne ip = este considérée, V est
gé suivant la tangente à cette ligne.
ip est
diri-
donc bien une ligne de courant.
3. Les équipotentielles $ - este et les lignes de courant fy = este forment un réseau curviligne
orthogonal.
En e f f e t , grad <j> . grad i | / ~ V . k A V « 0 , donc
grad <j> et grad ^ sont
ces vecteurs sont, en
vant les normales aux
croisent, ces courbes
des vecteurs orthogonaux. Comme
tout point,
dirigés suilignes <j> et t|; * este qui s ' y
sont orthogonales.
4. Si l'on suppose une épaisseur de fluide
unité, i^i - ij;0 représente le débit Q qui s'écoule "entre"les deux lignes de
courant ip = I|JQ et i[> - ^ i *
Le débit Q à travers toute sui lace, ae trace
AB orthogonale au plan de l'écoulement est par définition
Q =
V . n . 1 . dl
J
ÂB
l . d l représente l'élément de surface de
hauteur unité et de normale n.
Or,
V = - k A grad i|;
d'où
Q=
ou encore
Q =
t =* k A n
- le A grad ip . tî dl
grad ty . k A n dl =
-fe
où
JAB
grad ^ . t dl
^SB
est la tangente unitaire en un point courant de AB.
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- 2.24 -
Or,
grad ip . t dl - dij;
r^i
donc, on a bien
Q =
dij; = ty\ ~ ^Q
J
^0
5. (f>2. ~ <J>i représente la circulation du vecteur vitesse le long
d'une ligne quelconque joignant 2 points pris sur ces équipotentielles.
, __J— h
En e f f e t , on a :
JHT~ ~X
r
r
/ - > • - >
|
•'oB
•'cTe
V. dM -
>-
C$9
<^
->
f
grad <|>.dM =
•'(j)!
-^fê/
yf^
A ^ '_———
de)) = (j)2 - $\
J^^—
À
0
-^r
6. <j) et ip sont des fonctions harmoniques oonju^
guêes.
On vérifie immédiatement que A<f> = 0, Aip = 0 et,
comme grad <j> . grad ^ = 0, on a
bien les propriétés qui servent de définition à ce type de fonction.
POTENTIEL COMPLEXE
On considère souvent la fonction complexe f = 4> + ii|/ que l'on appelle le potentiel complexe de l'écoulement.
On vérifie aisément que, <j> et ty étant des fonctions harmoniques
conjuguées, f s a t i s f a i t aux conditions de Cauchy et, par là même, est une
fonction holomorphe de la variable complexe z = x + iy.
Vi te s se complexe
^
°n
a
df
dI
=
3f
-^
=
3<j>
^+
. ^
^=
L
U
~
1V
W = u - iv est appelé vitesse complexe de l'écoulement et
|v| = |r .
TRAN SFORMATION CONFORME
Considérons l'application X : z -> Z qui, à un point d ' a f f i x e z du
plan oxy de l'écoulement, fait correspondre un point d ' a f f i x e Z du plan OXY.
Si l'on note A = g + i h e t Z = X + iY, on voit que la fonction
Z = X ( z ) définit une transformation ponctuelle
X = g (x,y)
et
Y = h (x,
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y)
- 2.25 -
qui sera biunivoque si son Jacobien J = % \ est différent de zéro.
On en déduit que :
Si la fonction A(z) est holomorphe et a dérivée A'(z) î6 0 dans un
domaine D du plan Oxy, la transformation Z = X(z) qu'elle définit est dans
ce domaine*.
a) Biunivoque
En effet, on a, en raison des conditions de monogéïté de Cauchy
3
2
2
2
T - il
ii 1s
i= fia]
+ fii]
= i^-i
3x ' 3y
8y Ix*
[SxJ
^xj
|dz|
qui, par hypothèse, est bien différent de zéro.
Comme, par ailleurs, J > 0, l'orientation du plan est
b) Conforme,
conservée.
c'est-à-dire q u ' e l l e conserve les angles.
Soit
dz} et dZ2 deux
déplacements élémentaires pris à
partir d ' u n point de D défini par
z0.
Il leur correspond deux
déplacements d Z ^ et dZ^ à partir
d ' u n point ZQ - f C z g ) et :el que,
dZj = f'(z0) dzi
dZ ?
f
d
dZ 2 = f ' ( z 0 ) dz 2
°U
dZi
=
dz 2
dz!
ou encore en écrivant les rapports des nombres complexes ci-dessus
forme polaire :
dR^
dR^
e
i(8 2 -0i)
=
dr 2
dri
sçus
i(6 2 -e 1 )
On déduit de ceipte égalité de nombres complexes que dans cette
transformation :
- l'angle A6 = 6 j - 6 2 ,
- le rapport des longueurs
d r j et d r 2 ,
ont été conservés.
La transformation est donc bien conforme et de plus c'est, localement, une similitude.
Il en résulte que
- le réseau transformé des équipotentielles et des lignes de courant est également un réseau orthogonal.
- les potentiels complexes des deux écoulements et, par suite, <j>
et ty ont, en des points homologues, même valeur.
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- 2,26 -
- la vitesse complexe W
Z
dans OXY est telle que
Wz = W z A'(z)
- la circulation le long de deux arcs homologues et les débits à
travers deux arcs homologues sont conservés.
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