Mecanique des fluides - chapitre 2

- 2.1 -
CHAPITRE 2
CINEMATIQUE DES FLUIDES
Tout comme en mécanique générale, la cinématique est l'étude du
mouvement (ici des fluides) indépendamment des forces qui le pro-
duisent. Le mouvement dTun fluide est appelé Q.c,Ou,t<iïï\(Lnt.. Il sera
toujours défini dans ce qui suit par rapport à un repère ortho-
norme (Ûx1,X2,xs par exemple).
2. 1 - DEFINITIONS :
Le mouvement d'un fluide résultant de celui des particules, ou
points matériels, qui le composent, il s'introduit naturellement
les notions suivantes de :
" OL^ÂS-Otoi.^ ai uM^PJ&tâLtuJ--^ té^dL°Le_
La trajectoire d'une particule fluide est le lieu géométrique de
ses positions successives dans le temps.
Si x. sont les coordonnées au temps t de la particule que l'on
trouve au point de coordonnées
x! au temps t' , sa trajectoire
pourra être définie paramétri-
quement par le système de 3 rela-
t ions
Xj:
= f£ (xj, x£, xj, t', t) (3.1.)
où xï,x' xl et t' sont à considé-
rer comme des constantes et t
comme un paramètre.
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- 2.2 -
Ces relati ons que nous noterons sous forme condensée
x = f (x' , t! , t) (2.2)
ne sont pas arbitraires puisqu1évidemment, le point xf (sous entendi
le point de coordonnées x!) pouvant être choisi pour un temps tf
quelconq ue, nous devons avoir
x - f(x, t, t) (2.3)
et si x" est une position de La particule au temps t" c'est-à-dire
si x" = f (x', t1, t") alors
x = f(xn, t", t) (2.4)
A noter que dans 2*1 en faisant varier x' , t étant constant, on
obtient toutes les trajectoires.
Remarqua :
Si les fonctions f définies ci-dessus se prêtent bien par leurs
généralités à la description formelle des écoulements elles sont
par contre très difficiles à obtenir en raison des propriétés par-
ticulières qu'imposent les relations 2-3 et 2 4 (propriété de
groupe).
Aussi, bien souvent, se limite-t-on à définir l'équation des tra-
jectoires pour des positions x' - x' correspondant à un ffl&me.
instant initial t' = t'Q (x = f(x^ , t^ , t) = g(x^ , t)) ce qui
élimine les difficultés signalées.
- L*.gKie_ d^_&ïïû.&_A'Lo_vi_
La ligne d'émission d'un point x' au temps t est le lieu des
positions à cet instant des particules qui sont passées ou
passeront par x!.
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- 2.3 -
Or la position x au temps t
de la particule qui à un
instant quelconque t ' « T
est passé en xf est donnée
par la relation 2.1 d'où
l'équation paramétrique des
lignes démission
x
s f fvf Y* vf T fï
i i 1 * 2 ' 3 '
où les xî et t seront consi-
i
dérés comme des Constantes
et T comme un paramètre.
- champ_ de,&_ v±te.A_6 e4_ e.^_c(^_acc J.££'ui^-to 104^
A chaque instant t la vitesse u des particules fluides est en tout
point x du fluide un vecteur de composantes u. tel que si dx repré-
sente le déplacement pendant l'intervalle de temps (t, t+dt) de la
particule qui se trouve en x au temps t on ait,
dxt
Ui
(x't}
"" dT"
(2'5)
compte tenu de la définition de la trajectoire on a également
quelque soit x', t' ,
9f.(x',t',t)
"i ' -i-ît
(2'6)
On retrouve à partir de cette relation l'expression (2.5) de u^
en fonction de x et de t en remarquant que compte tenu de (2.3)
a^Cx1 ,t*,t)
u.(x,t) -
§r-
x - x
t' = t
L'ensemble des vecteurs vitesse constitue un ck&wp \mc,toH4.(lt
appelé champ dej u/tte^e* .
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- 2.4 -
L'écoulement est dit Atat4,onna£si<ï ou. p&timan&nt si le champ
desvitesses est indépendant du temps.
A4.o0c.xce au. ckamp d&A v*,te.AAe.A on dl^nÀ,t d& même en chaque, poLnt
x. du fitu-ide. un ckamp de<6 acce.ilnation4
dUi 32f.
Yi
(x>t)
=
dt~
=
—~
x* = x
(2-7)
8t
tf - t
~ ^SJl^^i. ^Oti^^Ji^
Ce sont à un instant donné les -C^giae^ de C.foamp4 du champ vectoriel
des vitesses à cet instant c'est-à-dire les lignes qui en chaque
point sont tangentes au vecteur vitesse en ce point.
On dé duit de cette définition l'équation différentielle des lignes
de courant
dx. dx9 dxq
L . = _
Z
= ±- (2.8)
Uj(Xj,x2,x3>t) u2(xj,x2,x3,t) u3(xj,x2,x3,t)
où t a une valeur fixée.
Si l'écoulement est stationnaire ligne de courant, trajectoire et
ligne d'émission sont confondues.
" Ti1^ JÎ& ^ojL'L&nt.
On appelle tube de courant l'ensemble
des lignes de courant qui s'appuient
sur un contour fermé.
~ UJUt^lu^d^
Un filet fluide est un tube de courant
dont la section est infiniment petite.
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- 2.5 -
" tl-5Jl^/_^a^^L9-(L.c'li J^'M-yi2- JH&JïS^ê/
On appelle ligne, surface ou domaine matériel une ligne, une
surface ou un domaine du fluide constitués à tout instant des mêmes
particules fluides (ou points matériels)
&
2 .2 - VISUALISATION DES ECOULEMENTS
On peut mettre en évidence les différentes figures de l'écoulement
en marq^uant certains petits domaines de façon à pouvoir les suivre
dans leur mouvement.
Ainsi si 1fon introduit dans un fluide des petites particules ayant
une masse volumique voisine de celle du fluide (poudre d'aluminium
par exemple) on pourra admettre que leur mouvement est sensiblement
celui du petit domaine fluide auquel elles sont substituées.
Si l'on éclaire fortement ces particules qui sont très réfléchis-
santes et que l'on photographie l'écoulement avec un temps de pose
At très court, chaque particule donnera sur le cliché un petit
trait brillant (vecteur Ax = u At) image du champ des vitesses à
l'instant de la prise de vue. On pourra, assez facilement si
l'écoulement est plan, en déduire les lignes de courant (enveloppe
des petits traits).
Réciproquement la même photographie effectuée avec un temps de pose
At très long nous donnera l'image des trajectoires pendant cet in-
tervalle de temps.
Enfin si l'on marque par un colorant (injection de fluorescéine,
rhodamine, permanganate de potassium ou dépôt d'un grain de ces
colorants) les particules fluides qui passent en un point donné P
on aura par photographie instantanée à un instant t l'image de
la ligne d'émission du point P à cet instant t.
Comme en écoulement permanent, trajectoires, lignes de courant et
lignes d'émission sont confondues, ce dernier procédé est une métho-
de très pratique de visualisation des lignes de courant ou trajec-
toires en régime stationnaire.
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