Chap n°7 : Division

Chap n°7 : Division
I ] Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur)
différent de zéro, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste tels que :
dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur.
dividende diviseur
reste
quotient
Remarque : On ne peut pas diviser par zéro.
exemples :
1) Division euclidienne de 4 589 par 87
Détermination du nombre de chiffres au quotient :
87 × 10 < 4 589 < 87 × 100
10 < quotient < 100
Le quotient a donc 2 chiffres.
4 5 8 9
8 7
- 4 3 5
4 589 = 87 × 52 + 65
2 3 9
5 2
65
< 87
- 1 7 4
6 5
2) Division euclidienne de 1 833 par 39
Détermination du nombre de chiffres au quotient :
39 × 10 < 1 833 < 39 × 100
10 < quotient < 100
Le quotient a donc 2 chiffres.
1 8 3 3
- 1 4 1
4 2 3
- 4 2 3
0
4 7
3 9
1 833 = 47 × 39
Le reste de la division de 1 833 par 47 est 0 donc on dit :
1 833 est divisible par 47
47 est un diviseur de 1 833
1 833 est un multiple de 47.
II ] Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 6 lorsque il est à la fois divisible par 2 et par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
exemples :
3 214 est divisible par 2.
4 325 est divisible par 5.
320 est divisible par 10.
3 225 est divisible par 3. ( 3+2+2+5 = 12 et 12 est divisible par 3)
6 327 est divisible par 3 et par 9. ( 6+3+2+7 = 18 et 18 est divisible par 3 et par 9)
1 484 est divisible par 4. (84 est divisible par 4)
3 546 est divisible par 2 et par 3 donc il est aussi divisible par 6.
III ] Division décimale
a) Définition
Soient a et b deux nombres, b non nul.
Le quotient de a par b est le nombre qu’il faut multiplier par b pour obtenir a.
Si l’on nomme q le quotient de a par b, par définition on a : b × q = a
a
Le quotient de a par b se note a : b ou .
b
a
On a donc : b × = a
b
exemple n°1 :
Le quotient de 13 par 7 est le nombre q par lequel il faut multiplier 7 pour obtenir 13.
13
13
et on a donc 7 ×
= 13.
7 × q = 13 alors q =
7
7
exemple n°2 :
3 × 2,4 = 7,2 2,4 est le quotient de la division décimale de 7,2 par 3.
7,2
On écrit 2,4 = 7,2 : 3 ou 2,4 =
3
exemple n°3 :
Le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal
( cas où la division ne s’arrête jamais)
1 0, 0 0 0
3
9
1 0
3, 3 3 3
9
1 0
9
1 0
9
1
b) Propriété
On ne change pas le quotient de deux nombres si on multiplie ces deux nombres par un même nombre non
nul, en particulier par 10, 100, 1000 ….
exemples :
57,6 57,6×10 576
=
=
3,6
36
3,6×10
38
38×100 3800
=
=
0,44 0,44×100
44
c) Diviser par 0,1, par 0,01 ou par 0,001
Diviser un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001 revient à le multiplier par 10, par 100 ou par 1 000.
exemples :
A = 4,32 : 0,1
B = 1,872 : 0,01
A = 4,32 × 10
A = 43,2
B = 1,872 × 100
B = 187,2
82
0,001
C = 82 × 1 000
C = 82 000
C=