Chap n°7 : Division

Chap n°7 : Division
I ] Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur)
différent de zéro, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste tels que :
dividende = diviseur ×
××
× quotient + reste avec reste < diviseur.
dividende diviseur
reste quotient
Remarque : On ne peut pas diviser par zéro.
exemples :
1) Division euclidienne de 4 589 par 87
Détermination du nombre de chiffres au quotient :
87 × 10 < 4 589 < 87 × 100
10 < quotient < 100
Le quotient a donc 2 chiffres.
4 589 = 87 × 52 + 65
65 < 87
2) Division euclidienne de 1 833 par 39
Détermination du nombre de chiffres au quotient :
39 × 10 < 1 833 < 39 × 100
10 < quotient < 100
Le quotient a donc 2 chiffres.
1 833 = 47 × 39
Le reste de la division de 1 833 par 47 est 0 donc on dit :
1 833 est divisible par 47
47 est un diviseur de 1 833
1 833 est un multiple de 47.
II ] Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 6 lorsque il est à la fois divisible par 2 et par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
exemples :
3 214 est divisible par 2.
4 325 est divisible par 5.
320 est divisible par 10.
3 225 est divisible par 3. ( 3+2+2+5 = 12 et 12 est divisible par 3)
6 327 est divisible par 3 et par 9. ( 6+3+2+7 = 18 et 18 est divisible par 3 et par 9)
1 484 est divisible par 4. (84 est divisible par 4)
3 546 est divisible par 2 et par 3 donc il est aussi divisible par 6.
9 8 5 4 7 8
2 5
5 3 4 - 9 3 2 4 7 1 - 5 6
3 3 8 1 7 4
9 3
1 4 1 - 3 2 4 3 2 4 - 0

III ] Division décimale
a) Définition
Soient a et b deux nombres, b non nul.
Le quotient de a par b est le nombre qu’il faut multiplier par b pour obtenir a.
Si l’on nomme q le quotient de a par b, par définition on a : b × q = a
Le quotient de a par b se note a : b ou a
b .
On a donc : b × a
b = a
exemple n°1 :
Le quotient de 13 par 7 est le nombre q par lequel il faut multiplier 7 pour obtenir 13.
7 × q = 13 alors q = 13
7 et on a donc 7 × 13 7 = 13.
exemple n°2 :
3 × 2,4 = 7,2 2,4 est le quotient de la division décimale de 7,2 par 3.
On écrit 2,4 = 7,2 : 3 ou 2,4 = 7,2
3
exemple n°3 :
Le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal
( cas où la division ne s’arrête jamais)
b) Propriété
On ne change pas le quotient de deux nombres si on multiplie ces deux nombres par un même nombre non
nul, en particulier par 10, 100, 1000 ….
exemples :
57,6
3,6 = 57,6×10
3,6×10 = 576
36
38
0,44 = 38×100
0,44×100 = 3800
44
c) Diviser par 0,1, par 0,01 ou par 0,001
Diviser un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001 revient à le multiplier par 10, par 100 ou par 1 000.
exemples :
A = 4,32 : 0,1 B = 1,872 : 0,01 C = 82
0,001
A = 4,32 × 10 B = 1,872 × 100 C = 82 × 1 000
A = 43,2 B = 187,2 C = 82 000
0 0 0 0, 1 3
3 3 3 3,
9 - 0 1 9 - 0 1 9 - 0 1 9 - 1