Sur les groupes topologiques localement compacts

THÈSES DE L’ENTRE-DEUX-GUERRES
JEAN BRACONNIER
Sur les groupes topologiques localement compacts
Thèses de l’entre-deux-guerres, 1945, p
<http://www.numdam.org/item?id=THESE_1945__280__R1_0>
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mm ma OROTPÏS TOTOLOÖIQUSS LOCAIJBOW COHPICTS.
Ihéa* i.rénentêe devant l'Unireraité de JUÏCT
psr ü. Jean Braconnier, en rue de 1*obtention dm gaule de.
Çooteur es Soienoes 14ath«mati<xues
le 'ft Juin 1945.
Jury: . "ii. H. Cartan,,
^ ,
« lâiXaarte, M. fiieudonaé,

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IBTHÖKJCTIOH
L'étude de la theorie générale des groupes topoïique»
a été inaugurée il y a à peine vingt années. Depuis 1926f
de nombreuses monographies ont été publiées à son sujet:
les plus importantes sont celles de L.Pontrjagin et de A.
Weil. Ces travaux ont permis dfélucider dans une certaine
mesure la structure des groupes compacts et des groupes a-
béllens localement compacts. Maist sit parmi ceux-ci, les
groupes connexes sont relativement bien connus maintenantf
les groupes totalement discontinus, et par suite9 les grou-
pes localement compacts les plus généraux, n'ont été l'ob-
jet que de recherches assez fragmentaires, au moins quant
à leura structure de groupe topolégique. Jfai essayé ici d'ap-
porter quelque contribution à ces recherches.
La «(généralisation de certaines propriétés des groupes dis-
crets mfa fourni, d'une part, un procodé d'exploration im-
portant: telles sont l'introduction de la notion de produit
local de groupes topologiques et celle des groupes de nom-
bres p-adiques. D'autre partt la théorie de la dualité dans
les groupes abéliens localement compacts, telle qu'elle a
Aé déroulée dans ees dernières années par L. Pontrjagin
et A. Weil, s'est révélée comme un moyen d'étude très effi-
cace. Sur un plan plus général, les travaux récents de H/
Bourbaki sur les structures fondamentales de l'analyse ma-
thématique* m'ont fourni un moyen d'exposition et de recherche

d'une grande puissance. Conformément aux principes de cet
auteur, j'ai easajé de donner à ce travail une solide ar-
mature logique, par lfemploi de la méthoèe axiomatique, de
la notion de structure, par la présentation des faits sous
forme de définitions, propositions et théorèmes.
Dans le SI du Chapitre I, j'ai rappelé et précisé les ré-
sultats actuels de la théorie des groupes abéliens locale-
ment compacts, AUX *S 2 & 3, j'ai introduit et étudié deux
notions utilisées par la suite: celle de sous-groupe pur
d'un groupe topologique au f $ et celle de produit local et
de produit direct local de groupes topologiques au *g ; cet-
te dernière notion s'est révélée particulièrement interes-
santé, tant pour la simplification qu'elle apporte dans l'é-
noncé des résultats généraux que par la fabrication d'exem-
ples tératologiques. Enfin, dans le * 4, on trouvera un ex-
posé rapide de certaines propriétés des groupes abéliens com-
pacts connéexes.
Dans le chapitre II se trouve exposée la notion de grou-
pe topologique primaire (associé à un entier premier p) »
Dans les 45 S,3 A 4, sont étudiés plus particulièrement les
groupes abéliens localement compacts primaires à l'aide des
groupes de nombres p-adiques. Cette étude est justifiée par
le rôle qu'elle joue dans le chapitre III.
Dans ce chapitre sont examinées certaines propriétés des
groupes abéliens localement compacts. Au I I, j'ai déterminé