Exercices sur les probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercices sur les probabilités conditionnelles et loi binomiale
1 Exercice Un garagiste choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de
pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de
dix pneus. On sait que la probabilité pour qu’un pneu pris au hasard ait un défaut est 0,065.
On considère la variable aléatoire X qui donne le nombre de pneus de ce prélèvement qui présentent
un défaut.
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Pour les questions suivantes on arrondira à 10−4 près.
(b) Calculer la probabilité que le prélèvement comporte exactement 3 pneus avec un défaut.
(c) Calculer la probabilité qu’aucun pneu de ce prélèvement n’ait un défaut.
(d) Calculer la probabilité qu’au plus deux des pneus choisis présentent un défaut.
(e) Calculer la probabilité qu’au moins un des pneus choisis présente un défaut.
1 Solution
(a) On prélève un pneu, il y a 2 issues
• On appelle succès l’événement «le pneu est défectueux». p = 0, 065
• On appelle échec l’événement «le pneu n’est pas défectueux» q = 1 − 0, 065 = 0, 935
On répète 10 fois l’expérience de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise).
Donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètre
n = 10 et p = 0, 065
10
(b) p(X = 3) =
0, 0653 × 0, 9357 = 0, 0206
3
10
(c) p(X = 0) =
0, 0650 × 0, 93510 = 0, 93510 , p(X = 0) = 0, 5106 à 10−4 près
0
p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)
10
10
1
9
10
0, 0652 × 0, 9358
0, 065 × 0, 935 +
= 0, 935 +
2
1
(d) On a :
= 0, 93510 + 10 × 0, 065 × 0, 9359 + 45 × 0, 0652 × 0, 9358
= 0, 9767
(e) p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 5106 = 0, 4894
1
2 Exercice
(a) Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles. On sait également que 35 %
des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?
1
(b) Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et .
5
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2.
Donner une valeur approchée du résultat à 10−3 .
(c) Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement
« l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0, 02 et
que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0, 069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le
défaut F ?
(d) On considère l’algorithme :
A et C sont des entiers naturels,
C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
Si A > 5 alors C prend
la valeur de C + 1
Fin Si
Fin répéter
Afficher C.
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
2 Solution
(a) Notons :
– F l’évènement « l’élève choisi est une fille » ;
– C l’évènement « l’élève choisi déjeune à la cantine ».
D’après l’énoncé :
p(F ) = 0,55
pF (C) = 0,35
On peut dresser l’arbre suivant :
0, 55
F
pF (C) = 0,30.
0, 35
b
C
b
0, 65
0, 30
b
0, 45
2
C
b
b
C
b
F
0, 70
b
C
On a alors :
p C = 1 − p(C) = 1 − (0,55 × 0,35 + 0,45 × 0,30) = 0,672 5.
(b) Y suit la loi B 20 ,
1
5
, donc :
p(Y > 2) = 1 − p Y < 2
= 1 − [p(Y = 0) + p(Y = 1)]
" 1 19 #
0
20
1
20
1
4
4
20
= 1−
+
0
1
5
5
5
5
20
4 + 20 × 419
= 1−
520
' 0,931 à 10−3 près
(c) L’évènement « l’appareil présente au moins l’un des deux défauts » est l’évènement A ∪ F .
On a : p(A ∪ F ) = p(A) + p(F ) − p(A ∩ F ), et comme A et F sont indépendants, cela donne :
p(A ∪ F ) = p(A) + p(F ) − p(A)p(F ) d’où l’équation :
0,069 = 0,02 + p(F ) − 0,02p(F ) ⇐⇒ 0,049 = 0,98p(F )
0,049
⇐⇒ p(F ) =
0,98
⇐⇒ p(F ) = 0,05.
(d) L’algorithme affiche le nombre de fois où le tirage aléatoire d’un numéro entre 1 et 7 donne
un résultat strictement supérieur à 5 lors de 9 tirages. On peut assimiler ces 9 tirages indépendants à un schéma de Bernoulli où l’évènement « succès » est « le numéro obtenu est
strictement supérieur à 5 », alors la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres
2
n = 9 et p = (probabilité qu’un nombre entier entre 1 et 7 soit strictement supérieur à 5).
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C Gerlein
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