Enoncé et corrigé pdf
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Liban 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats) Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Les probabilités seront arrondies au dix millième. Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus. Partie A L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99, 4 % des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5 % des cas. On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l’événement « l’élève se rend au lycée à vélo », B l’événement « l’élève se rend au lycée en bus » et R l’événement « l’élève arrive en retard au lycée ». 1) Traduire la situation par un arbre de probabilités. 2) Déterminer la probabilité de l’événement V ∩ R. 3) Démontrer que la probabilité de l’événement R est 0, 0192. 4) Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus ? Partie B : le vélo On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance µ = 17 et d’écart-type σ = 1, 2. 1) Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. 2) Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée ? 3) L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de 0, 9 ? Arrondir le résultat à la minute près. Partie C : le bus Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T ′ qui suit la loi normale d’espérance µ ′ = 15 et d’écart-type σ ′ . On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0, 05. T ′ − 15 . σ′ 1) Quelle loi la variable aléatoire Z ′ suit-elle ? On note Z ′ la variable aléatoire égale à 2) Déterminer une valeur approchée à 0, 01 près de l’écart-type σ ′ de la variable aléatoire T ′ . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ Liban 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 1 : corrigé Partie A 1) Représentons la situation par un arbre de probabilités. 0, 006 R 0, 994 R 0, 05 R 0, 95 R V 0, 7 0, 3 B ! ! "" 2) p(V ∩ R) = p(V) × pV (R) = p(V) × 1 − pV R = 0, 7 × (1 − 0, 994) = 0, 0042. p(V ∩ R) = 0, 0042. 3) D’après la formule des probabilités totales, ! ! "" p(R) = p(V ∩ R) + p(B ∩ R) = p(V) × 1 − pV R + (1 − p(V)) × pB (R) = 0, 0042 + (1 − 0, 7) × 0, 05 = 0, 0042 + 0, 015 = 0, 0192. p(R) = 0, 0192. 4) La probabilité demandée est pR (B). pR (B) = p(B) × pB (R) 0, 3 × 0, 05 p(B ∩ R) = = = 0, 78125. p(R) p(R) 0, 0192 pR (B) = 0, 7812 arrondi au dix millième. Partie B : le vélo 1) La probabilité demandée est p(15 ! T ! 20). La calculatrice fournit p(15 ! T ! 20) = 0, 946 arrondi au dix millième. 2) La probabilité demandée est p(T > 20) qui est aussi p(T " 20). La calculatrice fournit p(T > 20) = 0, 0062 arrondi au dix millième. 3) On cherche d’abord le réel t tel que p(T ! t) = 0, 9. La calculatrice fournit t = 18, 5 . . . minutes. En arrondissant à la minute de manière à être sûr de ne pas être en retard, on obtient une durée de 19 min. L’élève doit donc partir à 8 h 00 moins 19 min ou encore l’élève doit partir à 7 h 41 au plus tard. Partie C : le bus 1) On sait que la variable aléatoire Z ′ suit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝ 2) Tout d’abord, T ′ ! 20 ⇔ T ′ − 15 ! 5 ⇔ ⇔ Z′ ! 5 T ′ − 15 ! ′ ′ σ σ 5 , σ′ puis $ # 5 p(T ′ " 20) = 0, 05 ⇔ p(T ′ ! 20) = 0, 95 ⇔ p Z ′ ! ′ = 0, 95. σ Soit a est le réel tel que p(Z ′ ! a) = 0, 95. Alors, # $ 5 5 5 ′ p Z ! ′ = 0, 95 ⇔ ′ = a ⇔ σ ′ = . σ σ a La calculatrice fournit σ ′ = 3, 04 à 0, 01 près. http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. ⃝
