Enoncé et corrigé pdf

Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)
Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.
Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pourcela,ilutilise,selonlesjours,deuxmoyensde
transport : le vélo ou le bus.
Partie A
L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.
Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99, 4 %descasetlorsqu’ilprendlebus,ilarriveenretarddans
5%descas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note Vl’événement « l’élève se rend au lycée à vélo », B
l’événement « l’élève se rend au lycée en bus » et Rl’événement « l’élève arrive en retard au lycée ».
1) Traduire la situation par un arbre de probabilités.
2) Déterminer la probabilité de l’événement V∩R.
3) Démontrer que la probabilité de l’événement Rest 0, 0192.
4) Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus ?
Partie B : le vélo
On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours,expriméenminutes,entresondomicileetsonlycéepar
une variable aléatoire Tqui suit la loi normale d’espérance µ=17 et d’écart-type σ=1, 2.
1) Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
2) Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilitéqu’ilsoitenretardaulycée?
3) L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de 0, 9 ?
Arrondir le résultat à la minute près.
Partie C : le bus
Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée
par une variable aléatoire T′qui suit la loi normale d’espérance µ′ =15 et d’écart-type σ′.
On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0, 05.
On note Z′la variable aléatoire égale à T′
−15
σ′.
1) Quelle loi la variable aléatoire Z′suit-elle ?
2) Déterminer une valeur approchée à 0, 01 près de l’écart-type σ′de la variable aléatoire T′.
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Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 1 : corrigé
Partie A
1) Représentons la situation par un arbre de probabilités.
V
B
R
R
R
R
0, 7
0, 3
0, 994
0, 006
0, 95
0, 05
2) p(V∩R)=p(V)×pV(R)=p(V)×!1−pV!R""=0, 7 ×(1−0, 994)=0, 0042.
p(V∩R)=0, 0042.
3) D’après la formule des probabilités totales,
p(R)=p(V∩R)+p(B∩R)=p(V)×!1−pV!R""+(1−p(V)) ×pB(R)
=0, 0042 +(1−0, 7)×0, 05 =0, 0042 +0, 015 =0, 0192.
p(R)=0, 0192.
4) La probabilité demandée est pR(B).
pR(B)=p(B∩R)
p(R)=p(B)×pB(R) p(R)=0, 3 ×0, 05 0, 0192 =0, 78125.
pR(B)=0, 7812 arrondi au dix millième.
Partie B : le vélo
1) La probabilité demandée est p(15 !T!20).Lacalculatricefournit
p(15 !T!20)=0, 946 arrondi au dix millième.
2) La probabilité demandée est p(T>20)qui est aussi p(T"20).Lacalculatricefournit
p(T>20)=0, 0062 arrondi au dix millième.
3) On cherche d’abord le réel ttel que p(T!t)=0, 9.Lacalculatricefournitt=18, 5 . . . minutes. En arrondissant
àlaminutedemanièreàêtresûrdenepasêtreenretard,onobtient une durée de 19 min. L’élève doit donc partir à
8h00moins19minouencorel’élèvedoitpartirà7h41auplustard.
Partie C : le bus
1) On sait que la variable aléatoire Z′suit la loi normale centrée réduite c’est-à-dire la loi normale de moyenne 0et
d’écart-type 1.
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2) Tout d’abord,
T′!20 ⇔T′−15 !5⇔T′−15
σ′!5 σ′
⇔Z′!5
σ′,
puis
p(T′"20)=0, 05 ⇔p(T′!20)=0, 95 ⇔p#Z′!5
σ′$=0, 95.
Soit aest le réel tel que p(Z′!a)=0, 95.Alors,
p#Z′!5
σ′$=0, 95 ⇔5 σ′=a⇔σ′=5 a.
La calculatrice fournit
σ′=3, 04 à0, 01 près.
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