Algèbres non-associatives et applications à la génétique

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ONIQUE B ERTRAND
Algèbres non-associatives et applications à la génétique
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 16, no 2 (1962-1963), exp. no 18,
p. 1-18
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18-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
16e année, ~96~/63, n° 18
1er et 8
mars
1963
ALGÈBRES NON-ASSOCIATIVES ET APPLICATIONS À LA GÉNÉTIQUE
Monique BERTRAND
par Mme
Ao
des théories
quelques aspects
particulier, ceux qui permettent
Nous allons voir
en
En
effet,
génétiques,
les
applications principales
un
dans cet
définissons,
Si
A
et
ensemble
E
ensemble,
l individu produit de l’union de
la notation
de
ces
A
x
B
désignera
algèbres
associatives, et,
génétique.
non
sont
ces
loi de
une
A
composition,
B . Si
leur ensemble :
on
A
ou
se
reproduire,
produit.
P==A
E ~ Isolément
et
applications
pourquoi :
d’individus capables de s’ unir et de
sont deux éléments de
B
d’ algèbres
application à la
une
et il n’est pas difficile de voir
Considérons
et
non-as,sociatives.
Algèbres
et
B
est
ont
plusieurs enfants,
voit que cette loi n’est pas
associative.
Ecrivons :
on
voit bien
qu’en général :
I. Notions
Soit
un
ensemble
Nous allons donner
E
muni d’une loi
sur
les "formes".
non-associative, notée multiplicativement.
quelques définitions qui
nous
serviront par la suite.
Les produits non-associatifs sont classés selon leur
selon la manière dont les facteurs sont associés
Ainsi, si la loi n’est pas commutative,
férents~ mais ils ont m~me forme~ tandis
P ~
que
sans
et
s’inquiéter
P~ ==
de leur identité.
sont difest de forme différente.
Nous allons définir
degré
le
~
F
d’une forme. C’est le nombre d’éléments de
ô
qui figurent
dans
l’écriture du produit.
Par
~.
b ~ 4 .
exemple :
l’altitude
d’une forme. C’est le nombre de
a
"générations"
donnant naissance
°
produit.
au
Exemple :
II. Rappels et résultats valables dans
une
algèbre non-associative.
1. Axiomes de définition.
un
-
est
un
ensemble muni d’une loi d’ addition
groupe
rapport à 1.’ addition. La commutativité
tion par
pas
h1
abélien, et dt une loi de multiplication qui en
supposant, de plus, la distributivité à droite et à gauche
fait
en
un agneau
anneau
-
supposée
au
algèbre A. :
A
est
La
est de
ciatif,
Nous
une
nous
groupoïde,
de la
multiplica,multiplication n’est
algèbre L
est définie de la
façon suivante :
non-associatif ;
B
B-module
unitaire,
et unitaire, on a les propriétés
pour tout a ~ ~3
un
commutatif
pour tout
un
en
départ.
un anneau
plus
de la loi de
fait
qui
bornerons dans toute la suite
rappelle la définition :
aux
étant
un anneau asso-
suivantes : pour tout
algèbres
de
degré .fini,
dont
x E
on
l‘~ ~
On
a
trouver,
pu
dans
A,
n
éléments
e1,
e
... ,
formant
une
base, c’ est-
à-dire :
-
il
pour tout
i
pour tout
D’autre
il résulte des axiomes de définition
part,
~s.~n
ainsi écrit
On
a
2.
Algèbre ay
a.
ant
la.
base de
x
sont
de
eu les
de
x .
unité e . -
L.
Soit donc
e, ; e , e2 ,
i
ristique. or
R
x
et
L
x
A tout
(par rapport
à la base
choisie) ,
une
définies par :
respectivement les matrices de multiplication à droite et à
Considérons
Inéquation caractéristique
de
R
polynômes homogènes, en ~~ ~ ... ~ S coordonnées de x ~
au plus, et cela, d’ après la définition même de l’équation caractéx=?ex==eRx
~
x
tout cet
exposé
la notation
pour
x E
~~ t signifie [(x
fois ; il est nécessaire de le préciser, la non-associativité
multiplication rendant l’écritl.lre " xp " ambiguës)
Donc si
puisque
en
associons les transforma,-
x ~ A,
p
bre de
... ,
sont des
t.
degré
(Dans
élément
un
Equations caractéristiques...
et Lx
gauche
tels que
table de multiplication de
une
existe des éléments
qu’il
o
tions de matrices
R
tels que
o
avec
xjk
éléments de B
existe ~~ s ~ .. ~
cd(x)
polynôme
l’équation caractéristique! ~,
Rx
désigne
est racine de
le
son
obtenu
par
en
x ~
remplaçant,
on a :
équation caractéristique.
x
x) x]
x ...
de la loi de
dans le
premier
mem-
le résultat :
L’élément
base
général
finie
De même à
x E
sur un anneau
étant
A~ A~
B’
est racine de
son
non-associative
ayant
une
équation caractéristique
à droite
qui précède qu’il
une
gauche.
Il résulte de
Equation principaleo
équation à droite :
bo
telle que
équation
ce
existe
soit minimum~
p
C’est Inéquation minima à droite de x ~
ou
algèbre
une
rang à droite de
au
p
équation principale à
degré à droite de A r
ou
est le
droite de
A~
De m~me à
gauche.
S’ il existe
Remarque
une
autre
équation principale,
son
degré
est néces-
s aireraent p .
Soit donc
déduit
on
p
étant
ou
encore, si 0394
minimum,
on a
-
coefficients des
Remarque
Si
B
est
2 0 ~.
-
et
Ô’
désignent
équations,
Remplaçons
d’intégrité,
les vecteurs dont les composantes sont les
éventuellement changés de signe, on a :
x
par
utilisant
Àx
~’x ~ ~ ~x
~t
on a
Supposons maintenant
prendre 0394x = 1 .
B
d’intégrité,
et supposons de
plus que l’on puisse
Alors les remarques précédentes montrent que
xq
et que les coefficients des
ou
q
sont
Cas ou
est
un
F . - C’est a fortiori
corps
définit l’équation principale
le premier coefficient est
rationnelles
coefficients sont
en
est
unique
de
degré
nuls.
identiquement
B
sont des
l’équation principale
polynômes homogènes en ~.
comme
1
1° équation
un
domaine
d’intégrité,
et l’ on y
plus petit degré à droite,
de
dont
et dont les autres coefficients sont des fractions
lemme de Gauss permet alors de montrer que ces
fait des polynômes. Et on montre aussi que le polyn$me prin-
cipal divise le polynôme caractéristiqueo
3,.
Algèbre
sans
l’algèbre A+ ,
complète
on
élémentunité*
la base et
écrit
comme
sa
loi de
fait,
On
se
ramène
au cas
Algèbre p
a.
dans cette
~ :
F
il existe
où
d’ici,
B
ajoutant e = e 0 élément neutre
multiplication avec
équation~ ~~ =
ceux
0,
on
trouve que
x , y ~ A, 03B1 ~ F .
est
un
x
satisfait à
du 2°~
corps
génétiques.
F.
ondérée.
Définition. - A
A
considérant
e n
III. Axiomatisation des algèbres
1.
en
x~~
de
Donc résultats analogues à
A partir
précédent
au. 2° :
équation caractéristique
Si l’ on
A
déduite de
-
est dite
pondérée
sur
F ~ s’il
tel que :
xo
E
F
tel que
0
03C9 est la fonction
poids.
existe
un
homomorphisme
On
Il
OE OE
N
=
résulte que
en
U[à]
Xo
F :
(n
est
lA.)
OE
=
q
U
ù£n)
À;
OE
=
homomorphisme de
un
Donc si
0) ,
N
à - 11
à
sur
de
À,
(c . )
toute base
"
est de même dimension que
telle que, si
1
soit
effet,
W , CI est-à-dire :
est le noyau de
b. Autre définition. - Parmi toutes les bases de
tique
F . En
À,
l
c . c .
1
J
=
dans
F,
k
F,
on
c’ est-à-dire
1 .
appelle base généon
03B3ijkiJck ,
ait
~i
,
THEOREME. - Pour que
c.
À
,
possède
une
base
A
soit
pondérée
il faut et il suffit que
génétique.
Démonstration.
..
Supposons qu’ il
fonction
existe
une
base
génétique ~c.i } ~
alors
nous
disons que la
c~ ’ définie par
convient.
En effet
ceci de
"’
Soit
=
l;
de
plus w est
un
homomorphisme :
façon évidente.
Réciproquement,
N
tel que
Formons
d’autre part,
supposons
et soit
qu’ il
b~ ~
existe
...~
b
03C9 , fonction poids de
une
base de
A
N. Il existe
1 .
base
définie par
c, = b, c.= b+b..
sur
F .
beA
et {c. J. }
génétique.
est base
Nous allons maintenant supposer le produit commutatif.
2. Algèbre
Définition. - Une
a.
génétique
Soit
T
élément de
l’algèbre
identité, xj2 ~ A ,
T
pour tout
dans la
F~
sur
sera
dite
plus haut Rx la matrice de multiplication à droite de
un
I
F,
algèbre A ~ commutative, pondérée
si elle satisfait à la définition suivante :
comme
Soit
a E
génétique.
de cette
où ils
mesure
A
des transformations de
f
polynôme. Alors
s’il existe
03C9
telle que,
forme, les coefficients du polynôme caractéristique
dépendent des x.1 s ne dépendent que des 03C9(xj)
, A
l
de
T,
est
algèbre génétique.
.
...
b. THEOREME. - Soient A
alors
T~’ ~
l’algèbre génétique
et
N
noyau de
w .
Si
on a
0 .
En effet
avec
et
tj
polynômes
dont les termes constants sont
D’ abord,
t.
En
si l’on fait
=
~0
effet,
jBI-T}
=
X
D’autre part A
¿
Donc
0, V j .
p
n. =
puisque
étant
~(n.)=
0~
1
tj0.
0,
T=0 ~
génétique,
et de plus
l’équation caractéristique
donc
t.
les
t.
t.’’0 =0~
de
0 . V j.
=
~0
T
est
ne
dépendent
comme
)ÂI-.TJ== X~.
donc
03BBn
que des
=
0,
donc
Tn
=
0 .
Cette notion
d’algèbre génétique
par ETHERINGTON de "train
est
une
généralisation
de la notion introduite
algebra".
3. ’~Train al ebra".
a.
Définition. - Une
quand les
(x = 1 §i
algèbre cominutative pondérée sera dite "train algebra"
coefficients de l’équation principale dépendront seulement des LJ(~.) ~
tels que Inéquation
ei) , c’ est-à-dire qu’il existe
principale s’écrive
d’après
ceci
l’ étude de
b.
En
Une
effet,
En faisant
soit ~
une
l’équation principale
algèbre génétique
génétique
4.
A
extension finie de
est une train
F
sur
et soit
au
§
II.
est train
algebra
sur
F.
T = R .
x
Inéquation principale. D’ après II,
et
F
sur
faite
F
elle divise
~Cp~~,~ ~
ls on peut écrire
algebra.
"Spécial train
Définition. - Une algèbre pondérée commutative est dite "spécial train
algebra" lorsque :
a.
-
N
est
quelconques
nilpotent d~ altitude
de
A ) d’altitude
N~N ~...~N~~
duits d’altitude
-
k
b.
]
a
cf est-à-dire : tous les pm duits
(d’éléments
sont nuls.
[ N~=
ensemble des combinaisons linéaires des pro-
sont des idéaux.
Décomposition canonique. - Exploitons
les
hypothèses
de définition.
A
pondérée. - Choisissons une base de A ,
a
de poids 1 .
noyau de
et,
-
N
telle que
eN,
Alors
désignant
en
N
-
avec
(e)
par
une
combinaison linéaire
nilpotent d’altitude
l’inclusion
a. -
On
N
en
des
a
stricte, puisque f = (0)
tition de la base de
quelconque
Nous pouvons donc réaliser
o
E0-éléments , E1-éléments ,
... ,
une
Ek-éléments,
par...
ainsi définis:
les-
E0-éléments
~’
non ~~’
°°° ’
ments à
appartenant à
N
les
celui de deux
-N1 , N2, -N03B1-1
Ek-éléments
combinaison linéaire de
ensemble
E,
~
est
une
à
les
et
non
Ni
à
.* ~ les
%
(par défi-
Ni
appartient à
et
à
Alors,
comme
matrice carrée et
rg
a
Ek-élément
Par
Considérons maintenant chaque
formant
...
multiplié
un
vecteur dont les
sont des matrices
composantes
rectangulaires
général.
Une
transformation linéaire
de
A
sur
les
soit
~= ~(F,) .
Si
E1-éléments
à
E0-éléments
°* ?
d’éléments de la base,
Sont les éléments de
E, :
en
~~*
Sont des idéaux. -
donne
?Q
non
Alors le produit de deux
nition),
où
et
H
est la matrice
fait pour
chaque E0 ,
H~
donne
F
=
qui transforme p03B8 en matrice diagonale et si cela
À a été ramenée à sa forme
canonique.
H(Rj
a
été
Pour la
suite, il suffira que chaque p03B8 ait été réduite à sa forme jacobienne
c’est-à-dire qui elle ait ses valeurs propres sur la diagonale
principale et des
0
en
dessous.
Alors
en
notant
X,
1
si
les valeurs propres des matrices
p03B8
(il
y
a
nX
1
en
tout)
,
/
THEOREME. - Une "special train
c.
Soit
...
xl
avec
ni
est
xP
T e Alors
+
d’après
une
algèbre génétique
la forme de
F.
sur
R
x
B
*~ ~ ~p B~ ~
que des
une
est
/
~2
=
dépendent
A
1~ ~n
algebra"
puisqu’ils
ne
donc les coefficients de
dépendent
que
des 11
=
j~I - T)
ne
et des
B.
algèbre génétique.
Nous allons voir maintenant
en
génétique,
et tout
quelques exemples particuliers d’algèbres utilisées
d’abord nous allons rappeler quelques notions sur l’hérédité
mendélienne.
Bc
I.
Si
nous
nous
ditaire
2n
espèce quelconque
n
déterminée
par
plus,
ailes, etc.,
se
espèce relativement
exemple chez l’homme la couleur
déterminée~ par
et de
les cellules
reproductrices,
elles
paires de chromosomes.
classons les individus de cette
trouvent
paires,
une
chromosomes,
mouches la forme des
se
Notions sur l’hérédité mendélienne.
considérons chez
contiennent
Si
Algèbres utilisées en génétique.
il
se
à
un
caractère héré-
des yeux, chez certaines
trouve que les modalités de
ce
caractère
paire bien définie de chromosomes parmi les n
trouvent localisées à un endroit bien déterminé sur
chaque
une
chromosome de la paire en question ? cet endroit est appelé "locus".
Donc, à chaque
locus de cette paire se trouve "quelque
qui déterminera la modalité du
chose~
caractère chez l’individu
en
question. Ce "quelque chose" s’appelle
un
gène.
Considérons donc
fixer
un
individu
I!
relativement à
un
caractère
C . Prenons pour
idées
l’exemple classique des belles de nuits, et le caractère : couleur. Des deux gènes qui déterminent la couleur, l’un vient du père et l’autre
de la mère. Supposons que l’un des parents de I soit une belle de nuit rouge :
il a transmis à I le gène R 9 et que l’autre soit une bolle de nuit blanche :
il a transmis à I le gène B o I se trouve avoir pour formule RB . L’un de
ses deux chromosomes porte
R ~ l’autre B . On représente le "parent rouge" par
RR , le blanc par BB o I e st rosé = RB o
ces
Si maintenant
nous
croisons deux individus
RR
en
RB
RB
ensemble,
ils donneront :
BB
proportion : 1 4
Pour justifier le symbolisme qui va suivre~ et qui est
la notion de gène dominant et gène récessif.
Soient
D
et
R
classique,
les deux modalités d’un caractère. Dans certains
introduisons
cas
trouve que
est apparemment
c’est-à-dire l’.individu ayant pour formule
identique à l’ individu . DD . Le gène D domine alors le
qui est dit récessifo
Nous pouvons alors maintenant introduire
IL,
1.
Algèbres g
nos
il
se
DR ,
gène & ~
premiers exemples.
amétiques et zygotiques de l’hérédité mendélienne simple.
Algèbre gamétique.
Considérons
une
Ces individus sont capables de fournir
taine proportion. C’est ce que va exprimer la
Considérons
l’algèbre engendrée
sur
D~ ~~
DR ~ RR (ou R )
D et R , dans une cerdéfinition de l’algèbre gamétique.
population formée d’individus
DD
( ou
le corps des réels par
(D , R) ;
la loi
d’addition signalant simplement la présence des deux gamètes P= aD +
6R
signifie que, dans une population P 9 on peut trouver le gamète D avec la
portion a ~ le gamète R avec la proportion (3
a + j3 = 1 )~ la loi
multiplication rendant compte des lois de l’hérédité :
En effet les indivudus
DD
libèrent le gamète
égale
et
RR
de
D
et de
R,
le
gamète
R.
D,
les
DR
une
.
proportion
pro-
de
algèbre
Un élément de cette
a +
?
est
une
De
est donc l’élément
façon plus générale, considérons
u~
F ~ l’algèbre commutative
= u~ ~ Il est facile de voir
Un
changement
de
aD
+
pR
Ecrivons.
Rx =1 2 ~ 1 2 §).
est
polynôme f ,
=
~u
coefficients de
)BI - TJ
=
ul’ ~l
A
0 . On voit que
dépendront
A==
donne
2
et,
~b ~ ? ~1 ~ ? ~
est
(u~ z) ~ u ==u.
GJ(x) = ~
On voit que
Quel que soit, dans
ne
u.
avec
+
voit que, parmi
les 0 en première
avec
(D ~ R)
caractéristique /
de
z=u. -u~
convient.
"special train algebra".
T=aI+f(R ... R ) .
la
termes, ne figureront que des
ligne deuxième colonne, donc que les
on
matrices carrées
avec
produit n’est pas associatif :
ce
x=
N2
N
F
corps
(u. ~ u~)
=
que
Alors soit
Le noyau
forme du
A
un
u=20142014~20142014~
base,
z =0.
z ,
2.
=
1 . On voit facilement que, diaprés ces définitions, la base
base génétique, donc que l’algèbre est pondérée*
=
sur
.
P
général
ses
c’est-à-dire des
que des
Algèbre zygotique.
Considérons toujours
une
population formée
de
DD , DR ,
RR
Et appelons
B = DR , C=RR. Considérons l’algèbre engendrée par (A ~ B , C) sur
le corps des réels, avec la même loi d’addition qu’nu §
1~ et la loi de multiplication rendant compte des lois de croisement des
"génotypes~ A ~ B , C .
A~ (DD)(DD) A B~ (DR)(DR)
A +
B +
C
C" (RR)(RR) C
=
BC=
(DR)(RR)
Un élément de
Plus
=~
=
=~B ~~C
l’algèbre
généralement,
est
CA =
considérons
sur
b=~a+~b+~c~
faisons
v
un
=~w ~
et le
N
changement
ces
N ==
deux
P= oA
+
=
pB
est
"special
exemples dl algèbres
facilement l’une de
et le
pelle la
nous
l’ autre,
duplication, ce que
=~A +~B
+
YC
procédé
ne
par
train
.
avec
l’algèbre
=0~ x==~u+~v+E *
(v , w) *
A
=
(DD)(DR)
avec
bc=:~.b+~c~ ca=b~
A==(u~v~w)~
N=0.
On voit que
F
AB
B
=
=
de base pour avoir
uw=vw=w
noyau est
(RR)(DD)
ci-dessus
comme
~.
~.
a~ =
a
u~=a.
On peut prendre
w(x) = ç
algebra".
sont pas
lequel
indépendants,
on
obtient
allons étudier maintenant.
On les déduit
la deuxième
s’ap-
III.
Duplication
des algèbres
commutatives.
1. Définition.
A
Soit
une
A
base de
algèbre
commutative d’ ordre
n
sur
F,
et soit
u1
un
...
une
avec
x
À’
Définissons
F
sur
et
ses
pour loi de
de la
façon
suivante
éléments de base sont
A’
est
A
b. Définition d’un
A’
-~
A2 .
Soit
c
Le
1,
Q
... ,
n ,
avec
.
du choix de la
At
base,
on
car
isomorphe à
pondérée. - En effet,
l’on peut voir
A’ est dite
sillon
a
pu
prendre
peut prendre
homomorphisme
H(v~) = ~u~
de
A*
dans
A .
=~Y~~k= ~ 6
A’ .
homomorphisme de A’
sur
D’où le transforme de l’élément x*
H
i5j, 1,j
=
A .
A’ ~
En fait
est commutative d’ ordre
entraine AI
A1
A’
pondérée entraine
A
voit facilement que dans
H :
v..
,
ij
indépendante
isomorphe à
déduite par duplication de A.
facilement que
on
À’
multiplication
la définition de
a.
=
est
03A9’
un
le noyau de
noyau
03A9’
A2
puisque
les
H .
est tel que
soit
u.
u.
engendrent
H( w’)
comane
Si
nous
A* ~
0,
=
on a
prouvons que
=
prouvé
nous aurons
étant
0 ~ v~
la proposition C’A’
élément quelconque de la base de
un
0 .
=
Or,
2.
Soit
T ! ~ az~
de
AQ
Soit
de
A
+
a’
f ~Rt1~ ~
E
soit
... ,
matrice de
une
R’ , )
est
un
p
élément de
multiplication de
l’ algèbre
a~
dans
des transformations
.
e
T = a1
f~Rs’l~ , ., ~ R ~
p
+
tel que
ai =
l’élément de
1’ algèbre
des transformations
H(a’i)
.
Alors
nous
allons prouver le résultat :
Démonstration. - Soient
A’ =Q’
Si l’on écrit
A’
sous
Q’
le noyau de
avec
ordre de
cette
forme,
et
Comme
de
étant des matrices
A’ -Q’
est
isomorphe à
p
x
m
A2 ,
m
son
ordre. On peut écrire
=
0,
la matrice
R’
a
,
,
Na,
et
souvenant que
et
on
multiplication à droite correspondant à
Alors
H,
1) -m ..
se
s’écrit
Ma,
.
p
x
p
respectivement.
peut considérer
dans
A~
N,
comme
la matrice
c’est-à-dire
3. THÉORÈME. - A’
est
une
nons
dans
pour
D’après
des
algèbre déduite par duplication d’une algèbre A génétique
admet comme fonction poids 03C9 , prealgèbre génétique. En effet, si
le lemme
(~(a~) ~
A~
précédent
les coefficients de
c’es-dire des
jBI’ - T’J dépendent
~(H(a?) y
des
génétique.
~(a~) .
seulement
A’
est
On voit facilement que
l’algèbre zygotique étudiée ci-dessus est déduite par
duplication de l’algèbre gamétique. L’algèbre gamétique, étant "special train
algebra" donc a fortiori, algèbre génétique, l’algèbre zygotique est donc génétique d’après le théorème qui précède. Elle est d’ailleurs davantage puisqu’elle
est
"spécial train algebra".
Autre exemple : Considérons
zygotique,
elle est
avec comme
table :
Par changement de
engendrée
base,
l’algèbre déduite
par :
nous aurons
par
duplication de l’algèbre
Cependant A n’est
pas
"special
N
A
Cependant
est
une
train
n’est pas
algebra"
un
n’est pas
car
A.
idéal de
algèbre génétique d’après
le théorème
précédente
IVo
Nous
jusqu’à présent considéré un seul caractère n’ayant que
caractère peut présenter plusieurs modalités? par exemple
avons
tés. Or
un
sanguins chez l’homme (4 modalités). Di autre part
conjointe de deux caractères à la fois, ou plus?
Supposons
p
donc deux caractères
A
et
modalités 0 Supposons de plus que
ces
paire de chromosomes o Un individu
B ~
A
on
deux modali-
les groupes
peut étudier la transmission
ayant
modalités et
m
B
ayant
’
1
caractères sont localisés
possédera
donc
une
sur
la môme
paire de chromosomes ainsi
faite
Théoriquement,
dans le croisement
individu, I devrait transmettre
soit le couple de
gènes Aj Bk , soit le couple j B . Or l’expérience prouve
qu’il n’en est rien« Pendant la durée des phénomènes subis par les cellules repro~.
ductricesr il arrive qu’il y ait comme l’on dit "crossing-over", c’est-à-dire que
l
peut transmettre
w est la
souvent de
Il y
Plus
a
fréquence
façon
mp
Etudions cette
B:
ou
ce
autre
que l’ on
exprime :
de recombinaisonc Elle est souvent
non
faible,
mais intervient
négligeable.
éléments de base
généralement,
1= 1~
li~ B
avec un
soit
l’~
,~~1~
algèbre.
~i. B.
l’algèbre
... y p
sur
avec
F
engendrée
par les
.
B
Pour cela posons :
0 B 0 est un
uj , (m - 1)
élément ahaisi
hasard et définitivement
(m - 1)(p - 1)
et
v.
au
wij ; et
avec
I,
fixé,
il y
a
~p ~ 1~
cela fait:
tous calculs effectués :
voit ainsi que les
on
mp , ils forment
somme
des
une
coordonnées,
Donc le noyau de
D’autre
sont indépendants. Etant au nombre de
u. , v.1 , w..
"*J
J
D’autre part, en prenant pour fonction poids la
base de
I~
part,
A
est
on a
..
-
déisme
Iu.=~v.
J
J
~
u20 = 0 , v2i = 0
D’autre part,
Il
en
résulte que
Nous allons
en
~’~
est
"special train algebra"
déduire 11 équation principale de
avec
l‘~
18-18