Changements de bases en algèbre linéaire

Changements de bases en algèbre linéaire - Applications
CHANGEMENTS DE BASES EN ALGEBRE LINEAIRE
APPLICATIONS
E et f désignent des K espaces vectoriels de dimension finies
1) Matrices de passage - changement de base pour les vecteurs
définition
Soient e = (e1 ,..., en ) et e' = (e'1 ,..., e'n ) deux bases de E. La matrice P = ( pi j )1≤i≤ n définie par :
1≤ j ≤ n
∀i, j ∈ N n , pi j = e (e' j ) est appelée matrice de passage de e à e'.
*
i
n
∀j ∈ N n , ∃!(ak j )1≤ k ≤n ∈ K n , e' j = ∑ ak j ek (car e est une base de E).
k =1


donc ∀i, j ∈ N n , pi j = ei*  ∑ ak j ek 
 k =1

n
n
= ∑ a k j ei* (ek )
k =1
n
= ∑ ak j δ i k
k =1
= ai j
n
conséquence : ∀j ∈ N n , e' j = ∑ ak j ek donc P = mat (id E ; e' , e) et p est inversible (car id E est
k =1
bijective).
proposition
Soient e = (e1 ,..., en ) et e' = (e'1 ,..., e'n ) deux bases de E. Si P est la matrice de passage de e à e',
alors P −1 est la matrice de passage de e' à e.
démonstration
P = mat (id E ; e' , e) .
Soit Q la matrice de passage de e' à e. Q = mat (id E ; e, e' ) .
mat (id E ; e, e) = I n et mat (id E ; e' , e' ) = I n , I n désignant la matrice identité d'ordre n.
Or, mat (v o u; e, g ) = mat (v; f , g ) × mat (u; e, f )
Donc mat (id E ; e, e) = mat (id E ; e' , e) × mat (id E ; e, e' ) et
mat (id E ; e' , e' ) = mat (id E ; e, e' ) × mat (id E ; e' , e) , c'est-à-dire, sachant que mat (id E ; e, e) = I n
mat (id E ; e' , e' ) = I n , I n = PQ et I n = QP .
et
P est donc inversible (on le savait déjà) et Q = P −1 .
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proposition
Soient e = (e1 ,..., en ) et e' = (e'1 ,..., e'n ) deux bases de E. Soient
X ' = mat ( x; e' ) et p la matrice de passage de e à e'. Alors X = PX ' .
x∈E ,
X = mat ( x; e) ,
démonstration
 x1 
 
∃!( xi )1≤i≤ n ∈ K , x = ∑ xi ei , X =  M  .
i =1
x 
 n
n
n
 x'1 
 
∃!( x'i )1≤i≤ n ∈ K , x' = ∑ x'i e'i , X ' =  M  .
i =1
 x' 
 n
n
n
n
Notons P = ( pi j )1≤i≤ n . D'après ce qui précède, on a : ∀j ∈ N n , e' j = ∑ pk j ek .
1≤ j ≤ n
k =1
n
x = ∑ x 'i e 'i
i =1
n
 n

= ∑ x'i  ∑ pk i ei 
i =1
 k =1

n
n


= ∑  ∑ x'i pk i ei
i =1  k =1

(distributivité, associativité de l'addition)
n
Or la décomposition de x dans la base e est unique donc : ∀i ∈ N n , xi = ∑ x'i pk i .
Donc X = PX ' .
k =1
2) Changement de base d'une application linéaire
On considère E de dimension p et F de dimension n.
proposition
Soient e = (e1 ,..., e p ) et e' = (e'1 ,..., e' p ) deux bases de E, f = ( f1 ,..., f n ) et f ' = ( f '1 ,..., f 'n ) deux
bases de F. Soient u une application linéaire de E dans F, A = mat (u; e, f ) et A' = mat (u; e' , f ' ) .
Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'. Alors A' = Q −1 AP .
démonstration
Soit x ∈ E . Soient X = mat ( x; e) et X ' = mat ( x; e' ) . On a X = PX ' .
Soit y = u (x) . y ∈ F . Soient Y = mat ( y; f ) et Y ' = mat ( y; f ' ) . On a Y = QY ' .
Or y = u (x) donc Y = AX et Y ' = A' X ' .
Y = AX donc QY ' = A' PX ' . Q étant inversible, on a : Y ' = Q −1 A' PX ' . Comme Y ' = A' X ' et que la
matrice de u relativement aux bases e' et f' est unique, il en résulte que A' = Q −1 AP .
théorème et définition
On définit sur M n p (K ) une relation binaire par :
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∀A, B ∈ M n p ( K ), A ℜ B ⇔ ∃P ∈ GL p ( K ), ∃Q ∈ GLn ( K ), B = Q −1 AP .
ℜ
est
une
relation
d'équivalence. Si Aℜ B , on dit que A et B sont des matrices équivalentes.
démonstration
• ∀A ∈ M n p ( K ), A = I n−1 AI p donc Aℜ A ;
•
Soient A, B, C ∈ M n p ( K ) telles que Aℜ B et Bℜ C .
∃P ∈ GL p ( K ), ∃Q ∈ GLn ( K ), B = Q −1 AP .
∃R ∈ GL p ( K ), ∃S ∈ GLn ( K ), C = S −1 BR .
Donc C = S −1 (Q −1 AP) R
= ( S −1Q −1 ) A( PR) (associativité qu produit matriciel)
= (QS ) −1 A( PR) avec QS ∈ GLn (K ) et PR ∈ GL p (K ) .
Donc Aℜ C .
• Soient A, B ∈ M n p ( K ) telles que Aℜ B .
∃P ∈ GL p ( K ), ∃Q ∈ GLn ( K ), B = Q −1 AP . Donc A = QBP −1 = (Q −1 ) −1 BP −1 , avec Q −1 ∈ GLn ( K ) et
P −1 ∈ GL p ( K ) .
Donc Bℜ A .
lemme
Soit u une application linéaire de E dans F, de rang r. Alors il existe une base e de E et une base f de
F telle que:
0 LL 0 
1


M
M
 O


1

 (matrice à n lignes, p colonnes, il y a r fois le chiffre 1). Notons
mat (u; e, f ) =
M
0 L 0 M
M
M M
M 

 0 L 0 0 LL0 


cette matrice J n , p ,r .
démonstration
D'après le théorème du rang, dim( Ker (u )) = n − r
Soit (er +1 ,..., e p ) une base de Ker (u ) . D'après le théorème de la base incomplète, il existe tels que
(e1 ,..., e p ) soit une base de E. Montrons qu'alors (u (e1 ),..., u (er )) est une base de Im(u ) :
•
Soit y ∈ Im(u ). ∃x ∈ E , y = u ( x)
p
∃ ( xi )1≤i≤ p ∈ K p , x = ∑ xi ei .
i =1


y = u  ∑ xi ei 
 i =1

p
p
= ∑ xi u (ei )
i =1
r
= ∑ xi u (ei ) (car ∀j ∈ N , r + 1 ≤ j ≤ p, u (e j ) = 0 )
i =1
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donc (u (e1 ),..., u (er )) est une famille génératrice de Im(u ) .
Soit ( xi )1≤i≤r ∈ K r tel que
•
 r

u  ∑ xi ei  = 0
 i =1

Alors
r
∑ xi ei =
i =1
∑ x u (e ) = 0 .
i =1
i
i
r
donc
∑ x e ∈ Ker (u )
i =1
i i
donc
il
existe
( xi ) r +1≤i≤ p ∈ K p − r
tel
que
p
∑x e
i = r +1
r
Donc
r
i i
∑ xi ei −
i =1
.
p
∑x e
i = r +1
i i
= 0 donc tous les xi sont nuls car e est une base de E donc (u (e1 ),..., u (er ))
est une famille libre de Im(u ) . C'est donc une base de Im(u ) .
•
Soit ( f i )1≤i≤r ∈ F r définie par : ∀j ∈ N r , f j = u (e j ) . On vient de voir que ( f i )1≤i≤r est une
famille libre de F donc, d'après le théorème de la base incomplète, il existe f r +1 ,..., f n ∈ F tels
que ( f1 ,..., f n ) soit une base de F. Alors mat (u; e, f ) est de la forme souhaitée.
théorème
Deux matrices de M n p (K ) sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
démonstration
• Soient A, B ∈ M n p ( K ) deux matrices équivalentes.
∃ P ∈ GL p ( K ), ∃Q ∈ GLn ( K ), B = Q −1 AP .
rg (Q −1 AP) = rg ( AP) (car Q −1 est inversible : voir chapitre "rang en algèbre linéaire")
= rg ( A) (car P est inversible)
Donc rg ( B) = rg ( A)
•
Soient A, B ∈ M n p ( K ) telles que rg ( B) = rg ( A) .
Soit u l'endomorphisme de K p dans K n canoniquement associé à A. Soient e = (e1 ,..., e p ) la base
canonique de K p et f = ( f1 ,..., f n ) la base canonique de K n . mat (u; e, f ) = A
rg (u ) = r donc, d'après le lemme, il existe une base e' = (e'1 ,..., e' p ) de E et une base
f ' = ( f '1 ,..., f 'n ) de F telles que mat (u; e, f ) = J n , p , r . Soient P la matrice de passage de e à e' et Q la
matrice de passage de f à f'. Alors J n, p , r = Q −1 AP donc A ℜ J n , p , r . De même on montre que
B ℜ J n, p , r . Par transitivité de la relation d'équivalence, on a : Aℜ B . A et B sont donc équivalentes.
3) Changement de base d'un endomorphisme
E désigne dans ce paragraphe un K espace vectoriel de dimension n ( n ∈ N * ).
Les résultats suivants découlent directement du paragraphe 2.
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proposition
Soient e = (e1 ,..., en ) et e' = (e'1 ,..., e'n ) deux bases de E. Soient u un endomorphisme de E,
A = mat (u; e) et A' = mat (u; e' ) . Soit P la matrice de passage de e à e'. Alors A' = P −1 AP .
théorème et définition
On définit sur M n (K ) une relation binaire par :
∀A, B ∈ M n ( K ), A ℜ B ⇔ ∃P ∈ GLn ( K ), B = P −1 AP . ℜ est une relation d'équivalence. Si Aℜ B , on
dit que A et B sont des matrices semblables.
théorème
Deux matrices de M n (K ) sont semblables si et seulement si elles ont le même rang.
Application à la réduction des endomorphismes
Pour ce qui suit, on se reportera aux démonstrations des chapitres "endomorphismes
diagonalisables" et "trigonalisation des endomorphismes".
théorème
Soit u un endomorphisme de E. u est diagonalisable si et seulement si χ u est scindé fans K[X] et
pour toute valeur propre λ , dim( Eu (λ)) = m , m étant la multiplicité de la valeur propre λ .
théorème
Soit u un endomorphisme de E. u est trigonalisable si et seulement si χ u est scindé dans K[X].
application
u 0 , u1 ∈ K
Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : (u n ) définie par : 
.
∀n ≥ 2, u n + 2 = au n +1 + bu n
4) Changement de base d'une forme bilinéaire
proposition
Soient E un K espace vectoriel de dimension n ∈ N * , e et e' deux bases de E. Soient F un K espace
vectoriel de dimension p ∈ N * , f et f' deux bases de F. Soient φ une forme bilinéaire sur E × F ,
A = mat (φ ; e, f ) et A' = mat (φ ; e' , f ' ) . Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'.
Alors A'= t PAQ .
démonstration
Soient x ∈ E , X = mat ( x; e) et X ' = mat ( x; e' ) .
Soient y ∈ E , Y = mat ( y; f ) et Y ' = mat ( y; f ' ) .
X = PX ' et Y = QY '
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φ( x, y )= t XAY et φ( x, y )= t X ' A'Y '
t
XAY = t ( PX ' ) A(QY ' )
=( t X ' tP) A(QY ' ) (propriété de la transposée)
= t X '(t PAQ)Y ' (associativité du produit matriciel)
Donc ∀X '∈ M n1 ( K ), ∀Y '∈ M p1 ( K ), t X ' A'Y '= t X '(t PAQ)Y ' donc A'= t PAQ .
proposition
Soient E un K espace vectoriel de dimension n ∈ N * , e et e' deux bases de E. Soient q une forme
quadratique sur E, A = mat (q ; e) et A' = mat (q ; e' ) . Soit P la matrice de passage de e à e'. Alors
A'= t PAP .
démonstration
C'est un cas particulier du cas précédent avec P = Q , A étant la matrice de la forme bilinéaire
associée à q dans la base e, A' celle de q dans la base e'.
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