Changements de bases en algèbre linéaire

Changements de bases en algèbre linéaire - Applications
S. DUCHET 1/6
CHANGEMENTS DE BASES EN ALGEBRE LINEAIRE
APPLICATIONS
E et f désignent des K espaces vectoriels de dimension finies
1) Matrices de passage - changement de base pour les vecteurs
définition
Soient ),...,( 1n eee = et )',...,'(' 1n eee = deux bases de E. La matrice nj niji pP ≤≤ ≤≤ =1
1
)( définie par :
)'(,, *jijin eepNji =∈∀ est appelée matrice de passage de e à e'.
∑
=
≤≤ =∈∃∈∀ n
kkjkj
n
nkjkn eaeKaNj 1
1',)(!, (car e est une base de E).
donc  =∈∀ ∑
=
n
kkjkijin eaepNji 1
*
,,
∑
=
=n
kkijk eea
1
*)(
∑
=δ= n
kkijk
a
1
ji a=
conséquence : ∑
=
=∈∀ n
kkjkjn eaeNj 1
', donc ),';( eeidmatP E = et p est inversible (car E id est
bijective).
proposition
Soient ),...,( 1n eee = et )',...,'(' 1n eee = deux bases de E. Si P est la matrice de passage de e à e',
alors 1− P est la matrice de passage de e' à e.
démonstration ),';( eeidmatP E
=.
Soit Q la matrice de passage de e' à e. )',;( eeidmatQ E =.
nE Ieeidmat =),;( et nE Ieeidmat =)',';(, n
I désignant la matrice identité d'ordre n.
Or, ),;(),;(),;( feumatgfvmatgeuvmat ×=o
Donc )',;(),';(),;( eeidmateeidmateeidmat EEE ×= et
),';()',;()',';( eeidmateeidmateeidmat EEE ×= , c'est-à-dire, sachant que nE Ieeidmat =),;( et
nE Ieeidmat =)',';(, PQIn= et QPIn=.
P est donc inversible (on le savait déjà) et 1− =PQ .

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S. DUCHET 2/6
proposition
Soient ),...,( 1n eee = et )',...,'(' 1n eee = deux bases de E. Soient Ex∈, );( exmatX =,
)';(' exmatX = et p la matrice de passage de e à e'. Alors 'PXX =.
démonstration
∑
=
≤≤ =∈∃ n
iii
n
nii exxKx 1
1,)(!,
=
n
x
x
XM
1.
∑
=
≤≤ =∈∃ n
iii
n
nii exxKx 1
1''',)'(!, 
=
n
x
x
X
'
'
'1
M.
Notons nj niji pP ≤≤ ≤≤ =1
1
)( . D'après ce qui précède, on a : ∑
=
=∈∀ n
kkjkjn epeNj 1
',.
∑
=
=n
iii exx 1''
∑∑
==
=n
i
n
kiiki epx
11
'
∑∑
== 
=n
ii
n
kiki epx
11
' (distributivité, associativité de l'addition)
Or la décomposition de x dans la base e est unique donc : ∑
=
=∈∀ n
kikiin pxxNi 1',.
Donc 'PXX =.
2) Changement de base d'une application linéaire
On considère E de dimension p et F de dimension n.
proposition
Soient ),...,( 1p eee = et )',...,'(' 1p eee = deux bases de E, ),...,( 1n fff = et )',...,'(' 1n fff = deux
bases de F. Soient u une application linéaire de E dans F, ),;( feumatA = et )',';(' feumatA =.
Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'. Alors APQA 1 '− =.
démonstration
Soit Ex∈. Soient );( exmatX = et )';(' exmatX =. On a 'PXX =.
Soit )(xuy =. Fy∈. Soient );( fymatY = et )';(' fymatY =. On a 'QYY=.
Or )(xuy = donc AXY = et ''' XAY =.
AXY = donc ''' PXAQY =. Q étant inversible, on a : ''' 1PXAQY − =. Comme ''' XAY = et que la
matrice de u relativement aux bases e' et f' est unique, il en résulte que APQA 1 '− =.
théorème et définition
On définit sur )(KM pn une relation binaire par :

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S. DUCHET 3/6
APQBKGLQKGLPBAKMBA nppn 1 ),(),(),(, − =∈∃∈∃⇔ℜ∈∀ . ℜ est une relation
d'équivalence. Si BAℜ, on dit que A et B sont des matrices équivalentes.
démonstration
• pnpn AIIAKMA 1 ),( −
=∈∀ donc AAℜ;
• Soient )(,, KMCBA pn ∈ telles que BAℜ et CBℜ.
APQBKGLQKGLP np 1 ),(),( − =∈∃∈∃ .
BRSCKGLSKGLR np 1 ),(),( − =∈∃∈∃ .
Donc RAPQSC )( 11 −− =
)()( 11 PRAQS −− = (associativité qu produit matriciel)
)()( 1PRAQS − = avec )(KGLQS n ∈ et )(KGLPR p ∈.
Donc CAℜ.
• Soient )(, KMBA pn ∈ telles que BAℜ.
APQBKGLQKGLP np 1 ),(),( −
=∈∃∈∃ . Donc 1111 )( −−−− == BPQQBPA , avec )(
1KGLQ n
∈
− et
)(
1KGLP p
∈
−.
Donc ABℜ.
lemme
Soit u une application linéaire de E dans F, de rang r. Alors il existe une base e de E et une base f de
F telle que:
=
0000
00
1
001
),;(
LLL
MMMM
MML
MMO
LL
feumat (matrice à n lignes, p colonnes, il y a r fois le chiffre 1). Notons
cette matrice rpn J,, .
démonstration
D'après le théorème du rang, rnuKerdim −=))((
Soit ),...,( 1pr ee + une base de )(uKer . D'après le théorème de la base incomplète, il existe tels que
),...,( 1p ee soit une base de E. Montrons qu'alors ))(),...,(( 1r eueu est une base de )Im(u :
• Soit )(,).Im( xuyExuy =∈∃∈
∑
=
≤≤ =∈∃ p
iii
p
pii exxKx 1
1,)(.
=∑
=
p
iiiexuy 1
∑
=
=p
iii eux
1)(
∑
=
=r
iii eux
1)( (car 0)(,1, =≤≤+∈∀ j
eupjrNj )

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S. DUCHET 4/6
donc ))(),...,(( 1r eueu est une famille génératrice de )Im(u.
• Soit r
rii Kx ∈
≤≤1
)( tel que ∑
==
r
iii eux
10)(.
Alors 0
1=
∑
=
r
iiiexu donc )( 1uKerex
r
iii ∈
∑
= donc il existe rp
piri Kx −
≤≤+ ∈
1
)( tel que
∑∑ +== =p
ri ii
r
iii exex 11 .
Donc ∑∑
=+==−
r
i
p
ri iiii exex
11
0 donc tous les i x sont nuls car e est une base de E donc ))(),...,(( 1r eueu
est une famille libre de )Im(u. C'est donc une base de )Im(u.
• Soit r
rii Ff ∈
≤≤1
)( définie par : )(, jjr eufNj =∈∀ . On vient de voir que rii f≤≤1 )( est une
famille libre de F donc, d'après le théorème de la base incomplète, il existe Fff nr ∈
+,..., 1 tels
que ),...,( 1n ff soit une base de F. Alors ),;( feumat est de la forme souhaitée.
théorème
Deux matrices de )(KM pn sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
démonstration
• Soient )(, KMBA pn ∈ deux matrices équivalentes.
APQBKGLQKGLP np 1 ),(),( − =∈∃∈∃ .
)()( 1APrgAPQrg =
− (car 1−
Q est inversible : voir chapitre "rang en algèbre linéaire")
)(Arg= (car P est inversible)
Donc )()( ArgBrg =
• Soient )(, KMBA pn ∈ telles que )()( ArgBrg =.
Soit u l'endomorphisme de p K dans n K canoniquement associé à A. Soient ),...,( 1p eee = la base
canonique de p K et ),...,( 1n fff = la base canonique de n K. Afeumat =),;(
rurg = )( donc, d'après le lemme, il existe une base )',...,'(' 1p
eee = de E et une base
)',...,'(' 1n fff = de F telles que rpn Jfeumat ,, ),;( =. Soient P la matrice de passage de e à e' et Q la
matrice de passage de f à f'. Alors APQJ rpn 1
,, −
= donc rpn
JA ,, ℜ. De même on montre que
rpn
JB ,, ℜ. Par transitivité de la relation d'équivalence, on a : BAℜ. A et B sont donc équivalentes.
3) Changement de base d'un endomorphisme
E désigne dans ce paragraphe un K espace vectoriel de dimension n ( * Nn∈).
Les résultats suivants découlent directement du paragraphe 2.

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proposition
Soient ),...,( 1n eee = et )',...,'(' 1n eee = deux bases de E. Soient u un endomorphisme de E,
);( eumatA = et )';(' eumatA =. Soit P la matrice de passage de e à e'. Alors APPA 1 '− =.
théorème et définition
On définit sur )(KMn une relation binaire par :
APPBKGLPBAKMBA nn 1 ),(),(, − =∈∃⇔ℜ∈∀ . ℜ est une relation d'équivalence. Si BAℜ, on
dit que A et B sont des matrices semblables.
théorème
Deux matrices de )(KMn sont semblables si et seulement si elles ont le même rang.
Application à la réduction des endomorphismes
Pour ce qui suit, on se reportera aux démonstrations des chapitres "endomorphismes
diagonalisables" et "trigonalisation des endomorphismes".
théorème
Soit u un endomorphisme de E. u est diagonalisable si et seulement si u χ est scindé fans K[X] et
pour toute valeur propre λ, mEdim u=λ))(( , m étant la multiplicité de la valeur propre λ.
théorème
Soit u un endomorphisme de E. u est trigonalisable si et seulement si u χ est scindé dans K[X].
application
Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : )(n u définie par : 
+=≥∀ ∈
++ nnn buauun
Kuu
12
10 ,2
,.
4) Changement de base d'une forme bilinéaire
proposition
Soient E un K espace vectoriel de dimension * Nn∈, e et e' deux bases de E. Soient F un K espace
vectoriel de dimension * Np∈, f et f' deux bases de F. Soient
φ
une forme bilinéaire sur FE×,
),;( fematA
φ
= et )',';(' fematA
φ
=. Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'.
Alors PAQA t ='.
démonstration
Soient Ex∈, );( exmatX = et )';(' exmatX =.
Soient Ey∈, );( fymatY = et )';(' fymatY =.
'PXX = et 'QYY=