Probabilités – Loi exponentielle Exercices

Probabilités – Loi exponentielle
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : densité de probabilité
Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement)
Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle
Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi exponentielle
Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales
Exercice 6 : espérance et variance d’une variable aléatoire continue
Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable
Exercice 8 : loi exponentielle sans mémoire et demi-vie
Exercice 9 : durée de vie du carbone 14
Exercice 10 : lecture graphique du paramètre
Remarque préalable : Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des temps d'attente ou des
durées de vie.
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Exercice 1 (1 question)
Soit
Niveau : moyen
un réel non nul et soit
A quelle(s) condition(s) sur
la fonction définie sur
la fonction
par
.
est-elle une densité de probabilité sur
?
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Densité de probabilité
Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :
Remarque : Pour tous réels
 Si
et
tels que
, on a :
L’intervalle
se note
indifféremment :
,
,
ou
.
, alors
 Si
, alors
 Si
, alors
1) Etudions tout d’abord la continuité de la fonction
est le produit du réel non nul
Or,
continue sur
est une fonction linéaire, continue sur
. Par conséquent, est continue sur
,
.
par la composée de la fonction
2) Etudions désormais la positivité de la fonction
Pour tout
sur
. Ainsi,
par la fonction
.
, et
est la fonction exponentielle, également
pour tout réel non nul .
sur
.
est positive si et seulement si
0.
3) Etudions enfin
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Or,
et
.
Donc, d’après le théorème sur la limite de la
composée de deux fonctions, on a :
Rappel : Limite de la composée de deux
fonctions
,
.
et
désignent des réels,
ou
.
et
sont deux fonctions.
Il s’ensuit que
, c’est-à-dire :
Si
et si
, alors on a :
.
4) Concluons.
De ces 3 résultats, il découle que
est une densité de probabilité sur
si et seulement si
0.
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
sur l’intervalle
est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
.
Déterminer la fonction densité de probabilité.
Correction de l’exercice 2
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Rappel : Loi exponentielle sur
Une variable aléatoire
suit une loi exponentielle de paramètre
densité de probabilité est définie sur
par
Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre
(
) sur l’intervalle
si sa
.
est également appelée loi de durée de vie sans
vieillissement.
La variable aléatoire continue
Ainsi, la fonction
suit une loi exponentielle de paramètre
densité de probabilité est définie sur
sur l’intervalle
par
.
.
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Exercice 3 (3 questions)
Niveau : facile
La durée de vie d’un composant est une variable aléatoire , exprimée en jours, qui suit une loi exponentielle
de paramètre
.
1) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours ?
2) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année ?
3) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans ?
Correction de l’exercice 3
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Rappel : Probabilité d’un événement avec une loi exponentielle
Soit
une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
Pour tout intervalle
sur
.
, on a :
Et, en particulier,
La variable aléatoire , exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre
probabilité est donc la fonction définie sur
par
.
. La densité de
1) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours.
Méthode 1 : application directe de la formule
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Méthode 2 : calcul d’intégrale
Or,
. Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux
et
fonctions,
. Il vient alors que
.
Par conséquent,
Méthode 3 : probabilité d’un événement contraire
L’événement
est l’événement contraire de l’événement
. Par conséquent, il vient que :
2) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année.
Méthode 1 : application directe de la formule
Méthode 2 : calcul d’intégrale
3) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans.
Méthode 1 : application directe de la formule
Méthode 2 : calcul d’intégrale
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Exercice 4 (4 questions)
Niveau : moyen
La durée de vie d’un appareil électronique est une variable aléatoire
exponentielle de paramètre
.
, exprimée en heures, qui suit une loi
1) Quelle est la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de
heures au maximum ?
2) En déduire la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins
heures.
3) Sachant que la durée de vie de l’appareil a dépassé
heures, quelle est la probabilité que sa durée
de vie dépasse
heures ?
4) Sachant que l’appareil a fonctionné plus de
heures, quelle est la probabilité qu’il tombe en panne
avant
heures ?
Correction de l’exercice 4
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1) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de
heures au maximum.
2) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins
3) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil dépasse
dépassé
heures.
heures.
heures, sachant qu’elle a
Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)
Soit
une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient
La probabilité de l’événement
sachant l’événement , notée
et
deux événements tels que
.
, est définie par :
Rappel : Loi de durée de vie sans vieillissement
Une variable aléatoire positive
et
,
est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels
.
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Remarque importante (méthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans
vieillissement, on a également :
d’après la question précédente
4) Calculons la probabilité que l’appareil tombe en panne avant
plus de
heures.
heures sachant qu’il a fonctionné
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : moyen
La durée moyenne d’une conversation téléphonique de M Lokas est une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle de paramètre
quand Mme Piplaite l’appelle et de paramètre
sinon. Les trois quarts des
appels destinés à M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du téléphone retentit et une conversation
s’engage. Calculer la probabilité que cette conversation dure plus de cinq minutes.
Correction de l’exercice 5
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Soit la variable aléatoire continue égale à la durée de la conversation téléphonique et soit
« l’appel téléphonique provient de Mme Piplaite ».
l’événement
Rappel : Formule des probabilités totales
Soit
un univers muni d’une probabilité . Soit
Si les parties
,
, …,
.
, de probabilités non nulles, constituent une partition de ,
Alors, pour tout événement , on a :
Comme
, il vient alors d’après la formule des probabilités totales
puis d’après la formule des probabilités conditionnelles que :
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Exercice 6 (2 questions)
Niveau : difficile
A) Première partie
Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle telles que leurs dérivées respectives
continues sur . Démontrer que, pour tous nombres réels et de , on a :
et
soient
B) Deuxième partie
Soit
une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
On appelle « espérance de
», notée
, et « variance de
En utilisant le résultat de la première partie, exprimer
», notée
puis
(
.
, les réels tels que :
en fonction de .
Correction de l’exercice 6
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A) Première partie
Les fonctions et sont dérivables sur . Par conséquent, par produit de fonctions dérivables sur un même
intervalle, la fonction
est dérivable sur et
(égalité 1).
Par ailleurs, comme
est dérivable sur , par théorème,
est continue sur . De même, étant dérivables sur
, les fonctions et sont continues sur . Et comme et sont également continues sur , par produit de
fonctions continues sur un même intervalle, les fonctions
et
sont continues sur .
Ainsi, d’après la propriété de la linéarité de l’intégrale appliquée à l’égalité 1, on a pour tout
Or, la fonction
est une primitive de la fonction
de
:
donc :
D’où l’égalité suivante :
Remarque importante : Cette égalité est appelée « intégration par parties ».
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B) Deuxième partie
Exprimons dans un premier temps
en fonction du réel .
Utilisons le résultat de la première partie en posant
et
dérivable sur
et que est continue sur
. Alors, pour tout de
et
.
, non sans remarquer que est
(fonction continue sur
)
,
Etudions cette limite.
D’une part, on a :
Or,
(car
(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la
) et
limite de la composée de deux fonctions,
.
D’autre part, on a :
Or,
(car
donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de
) et
deux fonctions,
.
Par conséquent, il vient que :
Exprimons dans un second temps
en fonction du réel .
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Utilisons le résultat de la première partie en posant
et
dérivable sur
et que
est continue sur
. Alors, pour tout
) et
.
de
,
, non sans remarquer que est
(fonction continue sur
Or, on a établi que :
C’est-à-dire, en divisant par
non nul :
Ainsi, on obtient que :
Etudions
Or,
.
(car
(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la
) et
limite de la composée de deux fonctions,
. D’où
.
Finalement, on a :
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Exercice 7 (1 question)
Niveau : moyen
suit une loi exponentielle de paramètre .
Déterminer la valeur du réel
telle que la probabilité
soit égale à .
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
suit une loi exponentielle de paramètre . Donc
Par ailleurs,
, d’où l’égalité :
. Or,
Posons
Alors
.
.
.
, l’équation
. Et, comme
Or, pour tout
Comme
conséquent, –
devient
(avec
réel positif non nul,
, on a
).
.
, c’est-à-dire –
, c’est-à-dire
En conclusion, pour que la probabilité
. Or,
. Par
.
soit égale à , il faut donc que
.
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Exercice 8 (2 questions)
Niveau : facile
Une variable aléatoire positive
et
,
est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels
.
1) Montrer qu’une variable aléatoire
Pour une variable aléatoire
la durée telle que
2) Montrer que
qui suit une loi exponentielle de paramètre
qui suit une loi exponentielle de paramètre
.
sans mémoire, on appelle demi-vie
.
Correction de l’exercice 8
Retour au menu
1) Montrons que, si une variable aléatoire
mémoire.
Pour tous réels
et
2) Montrons que, si
alors
est sans mémoire.
suit une loi exponentielle de paramètre , alors elle est sans
,
suit une loi exponentielle de paramètre
sans mémoire telle que
,
.
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Exercice 9 (3 questions)
La durée de vie
du
Niveau : facile
(carbone 14) suit une loi exponentielle de paramètre . Sa demi-vie est estimée à
années.
1) Evaluer la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de
2) Déterminer tel que
.
3) Quelle est approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14 ?
ans.
Correction de l’exercice 9
Retour au menu
1) Evaluons la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de
Notons tout d’abord la demi-vie de cet élément radioactif. Comme
ans.
et comme
, on a :
Il s’ensuit que
2) Déterminons
tel que
.
3) Calculons approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14, notée
.
Remarque : La demi-vie du carbone 14 est estimée à
années. Cela signifie qu’au bout de
années,
il ne restera que la moitié des atomes de carbone 14 initiaux, mais cela ne signifie surtout pas que l’intégralité
de cet élément radioactif aura disparu après
années.
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Exercice 10 (4 questions)
Niveau : facile
est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre
représente la fonction densité de probabilité associée.
1)
2)
3)
4)
Lire graphiquement la valeur de .
Calculer
.
Calculer
.
En déduire
.
Correction de l’exercice 10
1)
. La courbe ci-après
Retour au menu
est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre
graphiquement la valeur de .
On sait qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre
densité de probabilité est définie sur
par
.
sur l’intervalle
est la fonction densité de probabilité représentée par la courbe. Par conséquent,
On en déduit que
est définie sur
2) Calculons
.
3) Calculons
.
4) Déduisons-en
par
. Lisons
si sa
.
.
.
Remarques :
 Il était également possible d’appliquer directement la formule
mais,
dans ce cas, la consigne (qui imposait que le résultat soit déduit des résultats précédents) n’aurait pas été
respectée.
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 La probabilité
est représentée dans un repère orthonormé
par l’aire du domaine
vert, situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation respective
et
.
En effet,
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