201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Introduction Algèbre VS Géométrie Algèbre VS Géométrie Algèbre VS Géométrie Pour forger l’intuition Pour forger l’intuition Le plan Pour forger l’intuition Le plan L’espace Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup. Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment l’algèbre moderne. Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment l’algèbre moderne. D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations. Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie. Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment l’algèbre moderne. D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations. Ça vaut la peine de clarifier un peu ça. Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A. Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A. Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A. Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A. Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’éléments de A un autre élément de A. Définition: Une opération externe d’un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’un élément de B et d’un élément de A un autre élément de A. Définition: Une opération externe d’un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’un élément de B et d’un élément de A un autre élément de A. Définition: Une opération externe d’un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d’un élément de B et d’un élément de A un autre élément de A. On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. Addition On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. Addition On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. Addition Multiplication On connaît deux opérations internes sur l’ensemble des nombres réels , soit l’addition et la multiplication. Addition Multiplication Propriétés de la somme Propriétés de la somme • Commutativité Propriétés de la somme • Commutativité Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre • Existence d’un inverse Propriétés de la somme • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre • Existence d’un inverse Propriétés du produit Propriétés du produit • Commutativité Propriétés du produit • Commutativité Propriétés du produit • Commutativité • Associativité Propriétés du produit • Commutativité • Associativité Propriétés du produit • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre Propriétés du produit • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre Propriétés du produit • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre • Existence d’un inverse Propriétés du produit • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre • Existence d’un inverse Propriétés du produit • Commutativité • Associativité • Existence d’un neutre • Existence d’un inverse Sauf si Propriété liant les deux Propriété liant les deux Distributivité Propriété liant les deux Distributivité Axiomatisation Axiomatisation Euclide, -325 à -265 Axiomatisation • Nombre très limité de postulats nommés «axiomes». Euclide, -325 à -265 Axiomatisation • • Nombre très limité de postulats nommés «axiomes». Tous les résultats sont déduits de ces axiomes et des règles de la logique. Euclide, -325 à -265 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies mutuellement. Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies mutuellement. René Descartes (1596 à 1650) Espace euclidien Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace. Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace. On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace. On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit 180 degrés. Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace. On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit 180 degrés. En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et l’espace. Espace euclidien Hum!?! Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit 180 degrés. Espace euclidien Hum!?! Je pensais que c’était toujours vrai ça! Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit 180 degrés. Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la petite BD (Géométricon) sur mon site.