Introduction 201-105 ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

201-105
ALGÈBRE LINÉAIRE ET
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Introduction
Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe
Les mathématiques sont abstraites
W. Kandinsky
Les mathématiques sont abstraites
Algèbre VS Géométrie
Le plus intuitif ?
Le plus abstrait ?
Pour forger l’intuition
Le plan
L’espace
Algèbre
Cette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométrie.
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est
l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations.
Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.
Opération
Définition: Une opération interne sur un ensemble A est
une règle qui associe à chaque couple
d’éléments de A un autre élément de A.
Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A
un autre élément de A.
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble
des nombres réels , soit l’addition et la
multiplication.
Addition
Multiplication
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Sauf si
Propriété liant les deux
Distributivité
Axiomatisation
•
•
Nombre très limité de postulats
nommés «axiomes».
Tous les résultats sont déduits de
ces axiomes et des règles de la
logique.
Euclide, -325 à -265
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Euclide (-325 à -265)
Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de
Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies
mutuellement.
René Descartes (1596 à 1650)
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
Hum!?!
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel espace.
Je pensais que c’était toujours vrai ça!
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace dans
lequel la géométrie classique fonctionne bien.
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle soit
180 degrés.
En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et l’espace.
Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la
petite BD (Géométricon).
Le début du cours va sans doute vous paraître très abstrait.
Mais l’avantage d’étudier quelque chose d’abstrait est qu’on
peut souvent l’appliquer.
Plus nous avancerons, plus nous découvrivons à quel point
les sujets que l’on étudie on des applications fondamentales
dans tous les domaines.