Cours – Nombres relatifs

Cours – Nombres relatifs
Somme de nombres relatifs
Nombres de même signe
Le signe du résultat est le signe commun.
Autrement dit :
- la somme de deux (ou plusieurs) nombres positifs est un nombre positif ;
- la somme de deux (ou plusieurs) nombres négatifs est un nombre négatif.
La valeur absolue (ou « distance à zéro ») du résultat est la somme des valeurs absolues des nombres
additionnés.
Exemples :
(+5) + (+7) = +12 ce qui s’écrit encore 5 + 7 = 12. (Les + opératoires disparaissent ainsi que les parenthèses.)
(–3) + (–5) = –8 ce qui s’écrit encore –3–5 = –8
– 5 – 4 – 2 = –11
Somme de deux nombres de signes différents
Le signe du résultat est le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
La valeur absolue du résultat est la différence des valeurs absolues des deux nombres additionnés.
Exemples :
(–8) + (+5) = –3 ce qui s’écrit encore –8+5 = –3
(+9) + (–7) = +2 ce qui s’écrit encore 9–7 = 2
(+8) + (–13) = –5 ce qui s’écrit encore 8–13=–5
Somme de plusieurs nombres
Technique : regrouper les nombres de mêmes signes
Exemples :
(–7) + (+9) + (+4) + (–3) + (–5) = (+9) + (+4) + (–7) + (–3) + (–5) = (+13) + (–15) = –2
– 6 + 8 – 3 – 4 + 9 – 5 = 8 + 9 – 6 – 3 – 4 – 5 = 17 – 18 = –1
Opposé d’un nombre relatif
0 est son propre opposé.
Sinon, deux nombres opposés ont la même valeur absolue mais des signes différents.
Exemples :
L’opposé de +4 est –4.
L’opposé de –7 est +7.
L’opposé de 3 est –3.
Une remarque très importante : La somme de deux nombres opposés est égale à 0.
L’opposé d’un nombre x se note –x.
Ainsi : –(–3) se lit « opposé de –3 » = + 3
–(+8) = –8
mais +(+5) = +5 et +(–3) = –3
Nombres relatifs et soustraction
Il y a plusieurs manières de présenter la soustraction :
« Soustraire un nombre b, c’est ajouter son opposé » : a – b = a + (opposé de b)
Ainsi : (+5) – (–3) = (+5) + (+3) = (+8) : Soustraire –3, c’est ajouter +3.
Plus simplement : +5 est le nombre 5
Ainsi : (+5) – (–3) = 5 + 3 = 8
– (–3) se lit aussi « opposé de (–3) » ; c’est-à-dire +3.
Pour terminer cette feuille : (–3) – (+8) – (–4) + (–5) = –3 – 8 + 4 – 5. Attention au piège : + (–5) = –5.
Produit de deux nombres relatifs
Le produit de deux nombres de même signe est positif : « + par + donne + » et « – par – donne + ».
Le produit de deux nombres de signes différents est négatif : « + par – donne – » et « – par + donne – ».
Exemples :
(– 3) x (– 5) = +15
(– 4) x 7 = – 28
4 x (–5) = – 20
Remarque :
3 x –4 est une écriture incorrecte : il faut écrire 3 x (– 4). N’oubliez pas les parenthèses dans ce cas.
Produit de plusieurs nombres relatifs
Un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.
Un produit est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Exemple :
Soit le produit : (– 1) x 5 x (– 2) x 7 x (– 8) x (– 10) x 3 x 2 x 9. Le nombre de facteurs négatifs est 4.
4 est pair. Ce produit est donc positif.
Quotient de deux nombres relatifs
5 x 2 = 10 donc
10
=5
2
5 x (– 2) = – 10 donc
–10
=5
–2
(– 5) x (– 2) = 10 donc
(– 5) x 2 = –10 donc
+
=+
+
10
=–5
–2
–10
=–5
2
–
=+
–
+
=–
–
La règle des signes est la même que pour le
produit de deux ou plusieurs nombres relatifs.
–
=–
+
Inverse d’un nombre relatif non nul
Rappel :
0 est un nombre particulier pour l’addition. En effet, ajouter 0 est une opération « neutre ».
0+2=2+0=2
(–2) + 0 = 0 + (– 2) = –2
Lorsque la somme deux nombres est égale à 0, les deux nombres sont dits « opposés ».
De même :
1 est un nombre particulier pour la multiplication. En effet, multiplier par 1 est une opération
« neutre ».
3x1=1x3=3
Définition :
Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit que ces deux nombres sont inverses l’un de
l’autre.
Exemple : 2 x 0,5 = 1 : 2 et 0,5 sont inverses l’un de l’autre.
Quel est l’inverse de 0,1 ?
de 0,25 ?
de 8 ?
de 0 ?
A retenir
0 n’a pas d’inverse.
L’inverse d’un nombre « a » s’obtient en divisant 1 par « a ».
1
L’inverse d’un nombre « a » se note ou a–1
a
Division et inverses
8
= 16
0,5
12
= 24
0,5
On constate que « Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 ».
8 x 0,5 = 4
12 x 0,5 = 6
On constate que « Multiplier par 0,5 revient à diviser par 2 ».
A retenir :
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
De même :
Multiplier par un nombre non nul revient à diviser par son inverse.
Application au calcul mental :
a) Rechercher les inverses des nombres suivants : 2, 4, 10, 100, 50, 25, 20.
b) Calculer mentalement :
a = 7 / 0,5
g = 0,25 / 0,01
l = 5,2 / 0,05
b = 1,5 / 0,5
c = 12 / 0,25
d= 3,5 / 0,25
e= 100 / 0,1
f = 0,2 / 0,1
h = 0,6 / 0,01
i = 3 / 0,02
j = 2 / 0,04
k = 9 / 0,05