Mouvements à force centrale

Chapitre VII
M ̀  
VII..
Lois de Kepler
En première approximation, le mouvement des planètes (∗1) autour du Soleil est régi par trois lois qui
furent établies au 17e siècle par l’astronome Johannes Kepler, à partir notamment des observations de
Mars réalisées par Tycho Brahe. Ces lois furent utilisées par Newton pour établir la loi de l’attraction
universelle. Voici leur énoncé traditionnel :
Première loi de Kepler
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l’un des foyers.
Deuxième loi de Kepler
Le rayon-vecteur (c.-à-d. le segment) Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.
Troisième loi de Kepler
Le rapport du cube du demi-grand axe de l’ellipse sur le carré de la période de révolution autour
du Soleil est le même pour toutes les planètes.
Nous démontrerons ces lois et préciserons leur signification et leurs limites dans ce qui suit.
VII..
Mobile fictif
Soient R = (O, ~ı, ~, ~k) un référentiel galiléen et M1 et M2 deux points matériels de masses m1 et m2 .
Notons G le centre d’inertie du système S = {M1 , M2 } :
−−−→
−−−→
m1 GM1 + m2 GM2 = ~0.
On suppose que S est un système isolé. On a donc (m1 + m2 ) ~aG/R =
le référentiel barycentrique R∗ = (G, ~ı, ~, ~k) de S est donc galiléen.
P
~ext→S = ~0, c.-à-d. ~
F
vG/R =~cte :
On se place désormais dans R∗ .
Z
On définit le mobile fictif M par
1.
−
−−
→
−
−−−−
→
GM B M1 M2 B ~r
Rappelons que, par ordre croissant de distance au Soleil, les planètes du Système solaire sont Mercure, Vénus, la Terre,
Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Elles effectuent leurs révolutions autour du Soleil quasiment dans le même
plan que la Terre. Ce dernier, appelé écliptique, est incliné d’environ 23◦ par rapport à l’équateur terrestre.
75
Dynamique des systèmes
Michel F
et on lui associe la masse réduite
µB
m1 m2
.
m1 + m2
Connaissant la position du mobile fictif, il est facile d’en déduire celles de M1 et M2 . En effet,
−−−→ −−−→ −−−−→
−−−→
GM1 = GM2 + M2 M1 = −m1 GM1 /m2 − ~r, donc
−−−→
GM1 = −
De même,
−−−→
GM2 =
m2
~r.
m1 + m2
m1
~r.
m1 + m2
En particulier, si m2 m1 (p. ex. la masse d’un satellite devant celle de la Terre ou la masse d’une
−−−→
−−−→
planète devant celle du Soleil), GM1 ≈ ~0 et GM2 ≈ ~r : M1 est alors presque confondu avec G, et M2 avec
M.
Z
La trajectoire de M est déterminée par
−−→
2
2−
~1→2 = m2 d GM2 = µ d ~r .
F
2
dt
dt2
On a
−−−→
−−→ dGM1
~LG ({M1 , M2 }) = m1 −
GM1 ×
+ m2
dt
−−−→
−−−→ dGM1
= m1 GM1 ×
+ m2
dt
−−−→
−−−→ dGM2
GM2 ×
dt
−−−→ −−−−→
−−−→ d(GM1 + M1 M2 )
GM2 ×
dt
−−−→
−−−−→
−−−→
−−−→
−−−→ dM1 M2
dGM1
= (m1 GM1 + m2 GM2 ) ×
+ m2 GM2 ×
,
|
{z
}
| {z }
dt
dt
~0
soit
µ ~r
~LG ({M1 , M2 }) = µ ~r × d~r B ~LG (M).
dt
De même,
1
Ec ({M1 , M2 }) =
µ·
2
d~r
dt
VII..
Constantes du mouvement
VII..1.
Moment cinétique. 2e loi de Kepler
2
B Ec (M).
~z un vecteur unitaire colinéaire à ~LG et L0 = ~LG · u
~z .
Le système étant isolé, ~LG = ~cte. Notons u
~
~z constant, M se déplace dans le plan
Le vecteur ~r étant perpendiculaire à LG , donc à un vecteur u
~x et u
~ y deux vecteurs tels que le repère (G, u
~x , u
~y, u
~z ) soit
perpendiculaire à ~LG passant par G. Soient u
−−→
−
−
→
orthonormé direct. Repérons M par ses coordonnées polaires, r = kGMk et φ = (~
ux b, GM). On a
.
.
.
~LG (M) = µ ~r × d~r = µ · (r u
~r ) × (r u
~r + r φ u
~ φ ) = µ r2 φ u
~z .
dt
La constante
s’appelle la constante des aires
2.
.
C B r2 φ = L0 /µ
(∗2)
.
Certains auteurs appellent « constante des aires » la quantité C/2.
76
Chapitre VII.
Mouvements à force centrale
−−→
Pendant une durée infinitésimale dt, l’aire balayée par le rayon-vecteur GM vaut (cf. § I..1 pour
le calcul de l’aire d’un triangle)
k~r × d~r k
|C|
dA =
=
dt.
2
2
C’est ce qu’exprime la loi des aires, ou 2e loi de Kepler : « Le rayon-vecteur balaie des aires égales en
des temps égaux. ».
−−→
L’aire A1 balayée par GM entre
t1 et t1 + ∆t est égale à l’aire A2
balayée entre t2 et t2 + ∆t.
Cas où m1 m2
Si m1 m2 , ~LM1 (M2 ) = ~LG (M), donc ~LM1 (M2 ) = ~cte.
On peut démontrer ceci sans passer par le mobile fictif. Si m1 m2 , M1 est confondu avec G et est
donc immobile dans R∗ . En appliquant le théorème du moment cinétique à M2 seul et en calculant
−−−−→ ~
~
~
les moments par rapport à M1 , on obtient d~LM1 (M2 )/dt = M1 M2 × F
1→2 = 0, puisque F1→2 est une force
centrale.
VII..2.
Énergie mécanique. Énergie potentielle effective
−−−−→
M1 et M2 interagissent par l’intermédaire d’une force centrale, c.-à-d. une force dirigée selon M1 M2
−−−−→
et ne dépendant que de r = kM1 M2 k. Une telle force est nécessairement conservative. Le système étant
isolé, son énergie mécanique, Em = Ec + Ep , est donc constante ; notons-la E0 . On a
2 !
.
1
1
C
1
.2
.2
.
2 2
2
E0 = µ · (r + r φ ) + Ep (r) = µ · r + r · 2
+ Ep (r) = µ r2 + Eeff
p (r),
2
2
r
2
où
Eeff
p (r) B
µ C2
+ Ep (r)
2 r2
est l’énergie potentielle effective.
Z
.
On peut séparer les variables t et r dans l’équation différentielle (en r et r) ci-dessus. On obtient
dr
dt = q
,
2 (E0 − Eeff
[r])/µ
p
que l’on peut intégrer pour trouver t en fonction de r.
On a de même
C dr
q
dφ =
.
r2 2 (E0 − Eeff
p [r])/µ
77
Dynamique des systèmes
Michel F
Cas d’une force en 1/r2
Considérons le cas d’une force en 1/r2 ,
~1→2 = − K u
~r .
F
r2
~1→2
K = G m1 m2 correspond à la force gravitationnelle et K = −q1 q2 /(4 π 0 ) à la force électrostatique. F
dérive alors de l’énergie potentielle d’interaction
Ep = −
et
K
r
µ C2 K
− .
2 r2
r
.2
eff
On a r = 2 (E0 − Ep )/µ. Les seules valeurs de r possibles sont donc celles pour lesquelles Eeff
p (r) 6 E0 .
Distinguons les cas suivants :
1. K > 0.
eff
−
eff
On a limr→0 Eeff
p = +∞ et limr→∞ Ep = 0 . La fonction Ep a un minimum négatif unique en
2
r0 = µ C /K.
a. E0 > 0.
L’équation E0 − Eeff
p (r) = 0 n’a qu’une seule racine, rmin . On a alors r > rmin : la trajectoire
s’étend jusqu’à l’infini.
b. E0 < 0.
L’équation E0 − Eeff
p (r) = 0 a deux racines, rmin et rmax (rmax > rmin ). On a alors rmin 6
r 6 rmax : la distance entre M1 et M2 est bornée.
2. K < 0.
eff
+
eff
On a limr→0 Eeff
p = +∞ et limr→∞ Ep = 0 . La fonction Ep est strictement décroissante.
eff
Comme dans le cas 1.a, E0 > 0 et l’équation E0 − Ep (r) = 0 n’a qu’une seule racine, rmin . On a
alors r > rmin : la trajectoire s’étend jusqu’à l’infini.
Eeff
p =
78
Chapitre VII.
Mouvements à force centrale
Les points P et A correspondant à r = rmin et r = rmax s’appellent respectivement le péricentre et
l’apocentre. Dans le cas particulier d’un corps tournant autour de la Terre, on parle plutôt de périgée
et d’apogée ; autour du Soleil, de périhélie et d’aphélie ; autour d’une autre étoile, enfin, de périastre
et d’apoastre.
VII..
Coniques
VII..1.
Généralités
Considérons un cercle C et un point S situé hors du plan de C, sur la droite passant par le centre
de C perpendiculaire au plan de C. L’ensemble des droites passant par S et s’appuyant sur C forme
un cône, K , de sommet S.
Les coniques sont les courbes correspondant à l’intersection d’un plan P avec K :
• Si P est peu incliné par rapport au plan de C, on obtient une courbe fermée, l’ellipse.
Le cercle est un cas particulier d’ellipse obtenu si P est parallèle à C.
• Inclinons un peu plus P. À un certain moment, P devient parallèle à l’une des droites génératrices
du cône ; on a alors une courbe ouverte, la parabole.
• Si nous inclinons encore plus P, le plan coupe le cône de part et d’autre de son sommet. On
obtient une courbe ouverte constituée de deux branches, l’hyperbole.
À la limite, si le plan passe par S, on obtient deux droites.
VII..2.
Foyer, excentricité
On peut également définir les coniques de la manière suivante : considérons une droite ∆ (la « directrice »), un
point F et un nombre e > 0.
La conique de foyer F et
d’excentricité e est l’ensemble des
points M tels que
−−→
kFMk
−−→ = e,
kHMk
où H est la projection orthogonale de M
sur ∆.
Si e < 1, la conique est une ellipse
(en particulier un cercle si e = 0) ; si
e = 1, c’est une parabole ; si e > 1, une
hyperbole.
Si la conique est une ellipse ou une hyperbole, il existe un deuxième foyer, F0 , et une deuxième
directrice, ∆0 , donnant la même courbe.
VII..3.
Équation en coordonnées polaires
−→
−→
~x = FK/h (donc k~
~ y un vecteur
Notons K la projection orthogonale de F sur ∆, h = kFKk, u
ux k = 1) et u
unitaire parallèle à ∆.
~x , u
~ y ), l’équation en coordonnées polaires de la conique est
Dans le repère orthonormé (F, u
r=
p
,
1 + e cos φ
−−→
−−→
où r B kFMk, φ B (~
ux b, FM) et p B e h.
Dans le cas de l’hyperbole, il s’agit de l’équation de la branche située en deçà de la directrice par
rapport à F. L’équation de la branche située au-delà est
r=
p
.
e cos φ − 1
79
Dynamique des systèmes
Michel F
~ x0 , u
~ y0 ), tourné de −φ0 par rapport à (F, u
~x , u
~ y ) (c.-à-d. (~
~x )
Dans un autre repère orthonormé (F, u
ux0 b, u
= φ0 ), l’équation de la conique est
p
r=
,
1 + e cos(φ0 − φ0 )
−−→
où φ0 B (~
ux0 b, FM). De même, l’équation de la branche de l’hyperbole au-delà de la directrice est
r=
VII..4.
VII..4.a.
e
cos(φ0
p
.
− φ0 ) − 1
Équation cartésienne
Ellipse et hyperbole
Si e , 1, la conique a un centre de symétrie O à mi-chemin des foyers. Posons
a=
VII..4.a.i.
p
|1 − e2 |
et
b = √
p
|1 − e2 |
.
Ellipse
~x , u
~ y ) (attention : l’origine n’est plus F) est
L’équation de l’ellipse dans le repère (O, u
y2
x2
+
= 1,
a2
b2
où a est le demi-grand axe de l’ellipse et b (< a) est le demi-petit axe.
Pour tout point M de l’ellipse,
−−−→
−−→
kFMk + kF0 Mk = 2 a.
L’aire de l’ellipse vaut
A = π a b.
VII..4.a.ii.
Hyperbole
~x , u
~ y ) est
L’équation de l’hyperbole dans le repère (O, u
y2
x2
− 2 = 1.
2
a
b
Pour tout point M de l’hyperbole,
−−→
−−−→ kFMk − kF0 Mk = 2 a.
L’hyperbole a par ailleurs deux droites asymptotiques, d’équations yasymp = ±(b /a) x.
80
Chapitre VII.
VII..4.b.
Mouvements à force centrale
Parabole
~X = u
~y
Soit S le sommet de la parabole, c.-à-d. le point de la parabole le plus proche de ∆. Posons u
~Y = −~
~X , u
~Y ) est
et u
ux . L’équation de la parabole dans le repère (S, u
Y=
VII..
Trajectoire
VII..1.
Formules de Binet
Exprimons v2 en fonction de u = 1/r.
2
.
d[1/u]
.
v2 = r2 + r2 φ2 =
+
dt
X2
.
2p
.
On a φ = C/r2 = C u2 , donc
.
.
.
2
2
φ2
φ2
du/dφ .
φ2
du/dt
= −
+ 2 = −
φ + 2 ,
u2
u2
u
u2
u
d’où
v =C ·
2
2
du
dφ
2
!
+u
2
.
De même,
1 .
d
du/dt
d2 (~
ur /u)
~
~
ur + φ uφ
=
−
dt2
dt
u2
u
" . # !
" . #
φ
du φ
d
~r + u
~φ
u
u
−
=
dt
dφ u2
u2
| {z }
| {z }
~a =
C
C
.
.
.
.
φ2
d u φ2
du φ2
du φ2
~r −
~φ +
~φ −
~r ,
=−
u
u
u
u
dφ2 u2
dφ u2
dφ u2
u
2
d’où
~ = −C2 u2 ·
a
d2 u
~r .
+
u
u
dφ2
Ces deux formules s’appellent les formules de Binet ; elles sont valables pour toute force centrale (pas
uniquement en 1/r2 ).
VII..2.
Force en 1/r2
Nous supposerons désormais que la force est en 1/r2 .
VII..2.a.
Équation de la trajectoire. 1re loi de Kepler
~1→2 = µ ~a, on obtient à partir de la 2e formule de Binet l’équation différentielle linéaire du
Comme F
second ordre
d2 u
K
+u=
.
dφ2
µ C2
Les solutions sont de la forme
u=
K
1
+ cos(φ − φ0 ),
µ C2 h
où h et φ0 dépendent des conditions particulières (φ0 est défini à π près ; on choisit la valeur telle que
h > 0).
Posons p = µ C2/|K| et e = p/h.
Si K > 0,
r=
p
1 + e cos(φ − φ0 )
(ellipse, parabole ou 1re branche de l’hyperbole).
81
Dynamique des systèmes
Michel F
Si K < 0,
r=
p
e cos(φ − φ0 ) − 1
(2e branche de l’hyperbole).
La trajectoire de M est donc dans tous les cas une conique de foyer G (1re loi de Kepler généralisée).
Application au Système solaire
La masse du Soleil est très supérieure à celle de tous les autres corps du Système solaire réunis. On
peut donc, en première approximation, confondre le centre d’inertie du système {Soleil (M1 ), planète
(M2 )} et le centre du Soleil, d’une part, et négliger l’attraction sur M2 des autres planètes devant celle
exercée par le Soleil, d’autre part. On retrouve bien ainsi que « les planètes décrivent des ellipses dont
le Soleil est l’un des foyers » (énoncé traditionnel de la 1re loi de Kepler) (∗3) .
VII..2.b.
Énergie
Exprimons E0 à l’aide de la 1re formule de Binet. On a
1
K
1
E0 = µ v2 −
= µ C2 ·
2
r
2
du
dφ
2
!
+u
2
− K u.
En utilisant l’expression de u trouvée précédemment, on obtient
E0 =
K2
· (e2 − 1).
2 µ C2
Le signe de E0 dépend de la nature de la conique.
VII..2.b.i.
Ellipse
e < 1, donc E0 < 0. En utilisant le fait que a = p/(1 − e2 ), on peut montrer que
E0 = −
K
.
2a
On obtient bien une énergie mécanique négative car K est nécessairement positif dans le cas d’une
−−→
−−−−→
ellipse. La distance kGMk = kM1 M2 k est donc bornée : le système {M1 , M2 } est lié (ou dans un « état
lié »).
VII..2.b.ii.
Parabole
−−→
−−−−→
e = 1, donc E0 = 0. La distance kGMk = kM1 M2 k n’admet pas de borne supérieure : le système {M1 ,
M2 } est libre (ou dans un « état libre » ; on parle aussi d’« état de diffusion »).
VII..2.b.iii.
Hyperbole
−−→
−−−−→
e > 1, donc E0 > 0. La distance kGMk = kM1 M2 k n’admet pas de borne supérieure : le système {M1 ,
M2 } est libre.
Si K > 0, le mouvement est attractif. Si K < 0, le mouvement est répulsif. Dans tous les cas,
E0 =
3.
|K|
.
2a
On peut décrire l’effet des autres planètes et des satellites sur la trajectoire comme une perturbation de l’ellipse.
82
Chapitre VII.
VII..2.c.
VII..2.c.i.
VII..2.c.i.α.
Mouvements à force centrale
Propriétés de la trajectoire
Ellipse
Période. 3e loi de Kepler
Pour calculer la période T de révolution de M autour de G, on peut utiliser la loi des aires. On a
Z T
Z T
|C| T
|C|
πa b =A=
dA =
dt =
.
2
t=0
t=0 2
√
p
Sachant que, pour une ellipse, |C| = K p/µ , p = a · (1 − e2 ) et b = a 1 − e2 , on obtient
p
√
K a · (1 − e2 )/µ T
,
π a 2 1 − e2 =
2
soit, en simplifiant et en mettant au carré,
a3
K
=
T2
4 π2 µ
(3e loi de Kepler généralisée).
Dans le cas de la gravitation, a 3/T2 = G · (m1 + m2 )/(4 π2 ). Si m1 m2 (p. ex. la masse du Soleil
devant celle des planètes), ce rapport vaut
G m1
a3
≈
2
T
4 π2
et est donc à peu près le même pour tous les corps du système solaire tournant autour du Soleil. C’est
l’énoncé traditionnel de la 3e loi de Kepler.
VII..2.c.i.β.
Trajectoire circulaire
On a vu ci-dessus que le rapport a 3/T2 ne dépendait que de K et µ, mais pas des autres propriétés
de l’ellipse, notamment son excentricité. On peut donc retrouver sa valeur à l’aide d’un cas simple :
le cercle.
Considérons une trajectoire circulaire de rayon (c.-à-d. de demi-grand axe) a. On a
.
..
~1→2 = − K u
~r = µ ~a = µ · (−a φ2 u
~r + a φ u
~φ ).
F
2
a
..
On en déduit que φ = 0 et que la vitesse
.
v=a φ=
s
K
µa
est constante. En multipliant la vitesse par la période, on obtient le périmètre du cercle, soit
s
K
T = 2 π a,
µa
d’où
VII..2.c.i.γ.
a3
K
=
.
T2
4 π2 µ
Vitesse de satellisation
Considérons un corps de masse m à la surface d’un astre, p. ex. la Terre, de masse MT m et de
rayon R. En négligeant la vitesse due à la rotation de la Terre, la vitesse de satellisation est la vitesse
la plus basse qu’il faut lui donner pour qu’il décrive une orbite proche de la surface terrestre, donc
quasi-circulaire de rayon r ≈ R. Cette vitesse vaut
r
G MT
vsat ≈
= 7,9 km·s−1 .
R
83
Dynamique des systèmes
Michel F
VII..2.c.ii.
Parabole. Vitesse de libération
La vitesse de libération est la vitesse la plus basse qu’il faut donner à un corps à la surface terrestre
pour qu’il échappe à l’attraction terrestre, donc pour qu’il ait une orbite parabolique. On a
E0 =
G MT m
1
m v2lib −
= 0,
2
R
soit
r
vlib ≈
‡
VII..2.c.iii.
√
2 G MT
= 2 vsat = 11,2 km·s−1 .
R
Hyperbole. Diffusion de Rutherford entre deux noyaux
Étudions l’interaction entre deux noyaux atomiques. Leurs charges q1 et q2 sont positives, donc K = −q1 q2 /(4 π 0 ) < 0 :
l’interaction est répulsive. La trajectoire du mobile fictif M (et donc aussi de M1 et M2 ) est dans un plan passant par le
centre d’inertie G. En l’absence d’interaction, cette trajectoire serait une droite parcourue à une vitesse ~
v0 constante. Notons
M0 la projection orthogonale de G sur cette droite. On appelle paramètre d’impact la distance D entre G et M0 . Posons
−−−→
~x = ~
~ y = GM0 /D et choisissons u
~z de telle sorte que (~
~y, u
~z ) soit une base orthonormée directe.
v0 = k~
v0 k, u
v0 /v0 , u
ux , u
La trajectoire du mobile fictif dans le référentiel barycentrique est une hyperbole d’équation
r=
p
.
e cos(φ − φ0 ) − 1
Les deux asymptotes de cette hyperbole correspondent aux angles φ = π et φ = δ. De limφ→π r = limφ→δ r = ∞, on déduit
que cos(π − φ0 ) = cos(δ − φ0 ) = 1/e, soit φ0 = arccos(−1/e) et δ = 2 φ0 − π.
Quand φ → π, r → ∞. Or limr→∞ Ep (r) = 0, donc
E0 =
1
µ v20 .
2
.
.
.
.
~z = µ · (x y − y x). On a limφ→π y x = (limφ→π y) · (limφ→π x) = D v0 . On peut
En coordonnées cartésiennes, ~LG · u
.
(∗4)
également montrer que limφ→π x y = 0
, donc
C = −v0 D.
.
.
.
.
4. On a limφ→π x = −∞ et limφ→π y = 0, donc limφ→π x y est une forme indéterminée. Or x y = x y0 x, où y0 = dy/dx, et
.
0
limφ→π x = v0 . Il suffit donc de montrer que limx→−∞ x y = 0.
La force étant répulsive, x 7→ y0 (x) est une fonction croissante de x au voisinage de −∞, donc
Z x/2
“x”
“x
”
1
y
− y(x) =
y0 (ξ) dξ > y0 (x) ·
− x = − x y0 (x) > 0.
2
2
2
ξ=x
˛
˛
˛
˛
Quand x → −∞, y → D, donc ∀ > 0, ∃ X < 0, ∀ ξ, ξ < X =⇒ y(ξ) − D < . Pour tout x tel que x/2 < X,
˛
˛ ˛
˛ ˛
˛ ˛
˛
˛ y(x/2) − y(x)˛ = ˛(y[x/2] − D) + (D − y[x])˛ 6 ˛ y(x/2) − D˛ + ˛D − y(x)˛ < 2 ,
˛
˛
donc ˛x y0 (x)˛ 6 4 : x y0 tend bien vers 0 quand x → −∞.
84
Chapitre VII.
Mouvements à force centrale
Z
Cherchons les caractéristiques (a et e) de l’hyperbole en fonction de v0 et D. On a
E0 = −
K
1
= µ v20 ,
2a
2
soit
a=−
K
.
µ v20
.
Par ailleurs, la distance minimale d’approche rmin entre les deux noyaux correspond à φ = φ0 . On a alors r(φ0 ) = 0, soit
E0 =
K
1
1
C2
+ µ 2 .
µ v20 = Eeff
p (rmin ) = −
2
rmin
2
rmin
La distance minimale est donc solution de l’équation
1
1
µ v20 r2min + K rmin − µ v20 D2 = 0,
2
2
dont la seule racine positive est
rmin =
−K +
q
K2 + µ2 v40 D2
µ v20
On a
s
p/(e − 1)
rmin
=
=1+e=1+
a
p/(e2 − 1)
soit
s
1+
e=
1+
.
µ2 v40 D2
,
K2
µ2 v40 D2
.
K2
Z
Cherchons à calculer l’angle de déviation (ou « angle de diffusion ») δ entre les directions initiale et finale de M en
fonction du paramètre d’impact. Comme cos φ0 = −1/e,
√
tan φ0 = − e2 − 1 .
On a δ = 2 φ0 − π, soit
tan φ0 = tan
d’où finalement
„
δ π
+
2
2
«
=−
1
,
tan(δ/2)
„ «
|K|
δ
=
tan
.
2
µ v20 D
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