la mecanique quantique, et en

In´egalit´es de Bell et m´ecanique quantique : les d´etails
d’une incompatibilit´e
P. Roussel
To cite this version:
P. Roussel. In´egalit´es de Bell et m´ecanique quantique : les d´etails d’une incompatibilit´e.
Journal de Physique, 1986, 47 (3), pp.393-405. <10.1051/jphys:01986004703039300>.<jpa-
00210219>
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393
Inégalités
de
Bell
et
mécanique quantique :
les détails
d’une
incompatibilité
P.
Roussel
Institut
de
Physique
Nucléaire,
B.P.
n°
1,
91406
Orsay
Cedex,
France
(Reçu
le
15
avril
1985,
révisé le 5
novembre,
accepte
le
18
novembre
1985)
Résumé.
2014
Après
avoir
introduit le
débat sur
la
mécanique quantique
(M.Q.)
ouvert
en
1935
par
A.
Einstein et
N.
Bohr,
on décrit
l’expérience
proposée
par
D.
Bohm
et on
rappelle
les
inégalités
trouvées
par
J.
Bell
pour
mettre à
l’épreuve
la
classe
de
modèles
prétendant compléter
la
M.Q.
par
des
paramètres
(cachés)
dans
le
passé
commun.
Pour des
directions de
polariseur
coplanaires (toujours
le
cas
pour
des
photons)
on
montre
que
la
M.Q.
viole
presque
partout
ces
inégalités.
Les
propriétés générales
des fonctions
(d’une
variable)
satisfaisant
aux
inégalités
de
Bell
sont examinées
en détail
pour
la
comparaison
de
ces fonctions
avec celles
prédites
par
la
M.Q.,
en
ce
qui
concerne les
dérivées,
les
intégrales,
les
valeurs,
les
intervalles,
les
amplitudes
et
finalement
le
comportement
global;
quelques
exemples
de fonctions «
à
la
Bell »
construites
pour
se
rapprocher
des
prédictions
de
la
M.Q.
sont
donnés.
Il est
ainsi mis
en évidence
une
incompatibilité
de
la
M.Q.
avec
les
fonctions
satisfaisant
aux
inégalités
de
Bell,
plus
radicale
que
celle
qui
résulte du
seul examen des
inégalités.
Abstract
2014
After
introducing
the 1935 debate
between A. Einstein
and
N. Bohr about
quantum
mechanics
(Q.M.)
we describe the
thought-experiment
of
D. Bohm
and recall the
inequalities
found
by
J. Bell
for
testing
the
class
of
theories
based on the
hypothesis
of
hidden-parameters
in
the
common
past.
lt
is
shown that
Q.M.
violates these
inequalities
almost
everywhere.
The
general
properties
offunctions
satisfying
Bell’s
inequalities
are studied
in
order
to
compare
them to
Q.M.
predictions
as
regards
derivatives,
integrals,
values, intervals,
amplitudes
and
finally
the
overall
behaviour;
a few
of
the Bell’s
functions chosen to
approach
somehow
Q.M.
are
given.
Altogether,
in the
comparison
between
Q.M.
and functions
satisfying
Bell’s
inequalities,
an
incompatibility
is
revealed which is
stronger
than the one
resulting
from consideration
of
just
the
inequalities.
J.
Physique
47
(1986)
393-405 MARS
1986,
Classification
Physics
Abstracts
03.65
1.
Introduction.
Un
d6bat
portant
sur les
qualit6s
de
th6orie
physique
de la
m6canique
quantique
a
6t6
amorcé
il
y
a
un
demi-
siecle
par
un
article
de A.
Einstein,
B.
Podolsky
et
N.
Rosen
[1]
et
par
un
article
en
« réponse»
de
N.
Bohr
[2]
quelques
mois
plus
tard
en 1935. Les
succes,
c’est
peu
dire,
de
la
m6canique quantique
n’ont
pas
permis
aux
questions
soulevees
de
rester
au
premier
plan
de
ractualit6 de
la
physique
mais
le
d6bat
pourtant
dure
toujours.
On
se doit
de
citer
l’intervention tres
importante
de
D. Bohm
et
Y.
Aharonov
[3]
en
1957
qui
ont
propose
une
exp6-
rience
type
permettant
a la
fois
de
poser
clairement
les
problemes
et
susceptible
de
realisation
effective.
Mais
celle
des
voies
de
ce d6bat
qui
occupe
aujour-
d’hui
le
devant
de la
scene a
ete
ouverte
par
J. S. Bell
[4]
en
1964
et
si
elle tient
ce
role,
c’est
que
Bell
a
espere
pouvoir
faire
trancher
le
d6bat
par
un resultat
exp6ri-
mental.
Il
a
en
effet
montre
pour
toute
une classe
de
modeles
pouvant
en
principe
pr6tendre
a
compl6ter
la
mecanique
quantique,
et
en
s’appuyant
sur
rexp6-
rience
type
de
Bohm,
que
les
r6sultats
d7exp6riences
(ou
leurs
predictions)
devaient satisfaire une certaine
relation,
plus
pr6cis6ment
une
inegalite
reliant
les
resultats de
mesures
pour
différentes valeurs
d’un
parametre
-
en
fait,
tangle
de deux
polariseurs
comme on le verra
plus
loin.
Des
experiences
ont
6t6
effectivement menees
jusque
recemment celles
de
A.
Aspect et
al.
tres
pr6cises
[5]
et
pour
les demières
[6],
faisant
intervenir
un
parametre
nouveau,
le
temps.
Elles
ont
(presque)
toutes
confirme
la
mecanique
quantique
et
(donc)
viole les
in6galit6s
de Bell
rejetant
ainsi
la
classe
de
modeles
a
1’6preuve.
Il
reste a
interpreter
ces
experiences,
c’est-a-dire
a
examiner
ce
qu’elles impliquent
et
surtout
ce
qu’elles
61iminent :
confirment-elles
seulement
que
la
m6ca-
nique
quantique
fonctionne
bien,
ou
bien
qu’elle
est
incompatible
avec
certaines
hypotheses
-
les-
quelles.
Quel
est
le
rapport
avec
les
questions
ini-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01986004703039300

394
tiales de
Einstein et al.
De
nouvelles
questions
sont-
elles
posees ?
De
nouveaux
concepts
sont-ils
n6cessaires ?
En
regard
de
ces
grandes interrogations
tres
largement
encore en
d6bat
aujourd’hui
[7]
le
but
de cet article
est limite :
pr6ciser
par
une
etude d6taill6e
portant
sur
l’experience
type
de
Bohm,
les
points
de
compatibilite
et
d’incompatibilit6
des
predictions
de la
mecanique
quantique
avec
les
in6galit6s
de
Bell.
Pour
cela,
on
va
d’une
part
etablir
que
la violation
des
in6galit6s
de Bell
ou
de
ses
generalisations
par
la
mecanique
quantique
est
plus systematique
que
ce
qui
était
jusqu’ici
reconnu et
d’autre
part
d6montrer
quelques
consequences
des
in6galit6s
de
Bell
qui
accentuent
l’incompatibilit6
trouv6e et
permettent
de
pr6ciser
comment,
a
l’inverse
de
la
comparaison
directe,
une
fonction
qui
satisfait
aux
in6galit6s
de
Bell
peut
se
comparer
aux
predictions
de la
mecanique
quantique.
Les
enjeux
de
ces
comparaisons
ne seront
pas
dis-
cut6s
ici mais
rappelons-les
cependant
tels
qu’ils
ont
6t6
pr6sent6s par
Bell
[4] :
montrer
qu’il
n’est
pas
possible
de
retrouver
causalite
et
localite
en
compl6tant
la
description
d’un 6tat
quantique par
des
variables
additionnelles
qui pr6d6termineraient
les
resultats
des
mesures ult6rieures.
Bell
pr6cisait
que
ce
qui
fait
pour
lui
principalement
diff’lcult6
c’est
fexigence
de
localité
qui
voudrait
que
le
resultat d’une
mesure
sur
un
systeme
ne
soit
pas
affect6
par
des
operations
sur
un
autre
systeme
6loign6
avec
lequel
il
a
interagi
dans
le
pass6.
Pr6cisons enfin
que
si
c’est
«
l’intime
conviction »
de
l’incompatibilit6
des
hypotheses
a
l’épreuve, para-
m6tres
(caches)
predetermines,
ou
parametre
dans
le
pass6
commun,
avec
les bases de
la
mecanique
quantique qui
a
motive ce
travail,
il
est
souhait6
que
les
resultats trouv6s
soient
ind6pendants
de
cette
conviction !
2.
Les
inigalit6s
de
Bell
2.1 UNE
EXPTRIENCE
TYPE
POUR
DEMONSTRATIONS.
-
Bien
que
beaucoup
d’experiences
aient
6t6
effectu6es
avec
des
photons,
nous
commencerons
avec
fexemple
original
aussi
bien de
Bohm
que
de Bell
(Fig.
1),
celui
de
deux
particules
1
et
2
de
spin
1/2
form6es
dans un 6tat
singulet
S
=
0
et
se
«
séparant»
pour
etre
d6tect6es
«
indépendamment
»
dans deux
aimants
Fig.
1.
-
Schema de
1’exp6rience
type
(avec
des
particules
de
spin 1/2)
propos6e
par
Bohm
pour
concr6tiser la
question
soulevee
par
Einstein,
Podolsky
et
Rosen.
[Diagram
of the
thought-experiment proposed
by
D.
Bohm
to
examplify
the
questions
of
Einstein,
Podolsky,
Rosen.]
de
Stem-Gerlach
dont les
axes
de
mesure
de
pola-
risation
peuvent
etre orientes
selon
différentes
direc-
tions
a,
b, c,
etc.
Le
resultat
de la
mesure
de
polarisation
A
=
a1 .
a
sur
la
particule
1 et B
= 62
b sur
la
particule
2
peut
donner
un resultat
+ I
ou -
1,
quelles
que
soient
les
orientations a et
b,
en
conformite
avec la
mecanique quantique
(et
a
1’experience).
Cela est
vrai
quel
que
soit 1’6tat initial
mais
pr6ciser
1’6tat
initial S
=
0
permet
de
pr6dire
la
correlation entre
les
mesures
A
sur
1
et B
sur
2.
La
m6canique
quantique
predit,
en
effet,
une valeur
moyenne
pour
cette correlation
= -
a
b
(a
et
b
vecteurs
unitaires).
(1)
Bell met alors
a
1’epreuve
le
modele
suivant
dit
à
variables
suppl6mentaires.
Selon ce
modele,
pour
chaque
couple
de
particules,
la valeur
particuliere
d’un
param6tre A pr6-d6termine
(1)
le resultat
de la
mesure aussi
bien A
sur
1
que B
sur
2
La
r6partition
statistique
des valeurs
de A
pour
les
dfff6rents
tirages
de
couples
de
particules
autorise
la
dispersion
des
resultats
pour
un choix
donn6
de
a
et b
-
sans
cette
possibilite,
A et B
seraient
constants
pour
a et
b
fixes et le modele
perdrait d6ji
tout
contact
avec
la
r6alit6.
2.2
PouRQuoi
UNE INÉGALITÉ. - La connaissance
complete
d’une
part
de
la
fonction
A(a,
A)
(B
s’en
deduit
comme
on
le
verra
plus
loin),
d’autre
part
de
la distribution
de
probability
p(À)
de
A
pr6ciserait
completement
le modele
et
permettrait
de
calculer
la
valeur
moyenne
de toute mesure
effectuee
sur
le
systeme,
en
particulier
la
correlation
recherchee
et de
la
comparer
directement
a
la
prediction
de
la
m6canique quantique
L’interet
de
la d6marche
de
Bell est
d’arriver
a
un resultat
qui
n’est
qu’une
in6galit6
mais
qui, par
contre,
ne
repose
que
sur
la seule
hypothese
de
depart
de
la
predetermination
de
A et B : A
=
A (a, A);
(1)
Notons
que
si le
param6tre
A
n’6tait
pas
consid6r6
comme
un
param6tre
du
pass6
commun
caractérisant
«
1’6tat
objectif »
de la source
«
au
moment » de
1’emission,
le
modele
a
1’6preuve
perdrait
de ce fait
son
caract6re
« local »
puisque
la valeur
commune
de A
devrait alors rester
corr6l6e
entre les
sites
des mesures de
A
et de B.

395
B
=
B(b,
A),
ind6pendamment
de
la
forme
parti-
culi6re
que peuvent prendre
les
fonctions
A,
B
et
p.
Cela
permet
de
ne
pas
mettre a
l’épreuve
successive-
ment
toutes les
hypotheses
qu’on
pourrait
faire
sur
ces
fonctions.
L’inegalite
est la
suivante :
Les
différentes
demonstrations
de cette
inegalite
ou de ses
generalisations reposent
en
fait
sur
des
considerations de mesures
portant
sur
1’ensemble A
des valeurs de
A
(voir
(8)
par
exemple).
L’in6galit6
de Bell
g6n6ralis6e
(9)
correspond
à
deux
choix de
direction
a et a’
pour
la
particule
1,
deux choix
b et b’
pour
la
particule
2.
On
trouve
par exemple l’in6galit6 :
et les trois autres
inegalites qu’on
obtient
en
déplaçant
le
signe -.
Notons alors
que pour
une
disposition
donn6e
de 4
directions,
c’est donc
au total
3
x
4
=
12
(double)
in6galit6s
de
ce
type qu’on
peut
ecrire
a
partir
des
6
mesures
possibles,
P(a, b),
P(a,
b’), P(a’, b), P(a’, b’),
P(a, a’), P(b,
b’).
C’est cette
multiplicite qui
est
a
l’origine
du ren-
forcement
de
l’incompatibilit6
qu’on
va
etablir;
elle
existe
aussi
pour
le
cas
de
rin6galit6 originale
a
trois
directions.
2. 3 PASSAGE
A
UNE FONCTION
D’UNE SEULE
VARIABLE
(ANGULAIRE).
-
Les differents vecteurs
a, b,
c...
envisages
jusqu’ici
peuvent
avoir
une
orientation
quelconque
dans
l’espace
a trois
dimensions,
cepen-
dant,
l’isotropie
de
l’espace
conduit
a
ne
faire
dependre
P(a, b)
que
de
l’angle
non
oriente
6a,b
entre a et b
soit :
Par
ailleurs,
que
le
resultat
A
intervienne
dans
une
measure
simple
ou
dans
une
mesure
en
coincidence
(correlation),
on a
forcement :
il
en
resulte
et
finalement
L’ensemble
de
ces conditions
se traduit
sur
la
fonction
f par
les
conditions :
l’étude
de
f
6tant limit6e a
l’intervalle
(0, n).
La
condition
f (0) = -
f(n) = - I
avait
d6ji
6t6
introduite
par
J.
Bell
[4]
sous la forme A
=
(a, A)
=
-
B(a,
À)
pour
permettre
de
satisfaire
à
C’est notamment
pour
s’affranchir
de cette
condition
que
les
in6galit6s
g6n6ralis6es
ont
ete
introduites.
Aucune
de ces conditions
(8)
n’est de
toute
facon
utilisee dans
le
chapitre
3,
ni
pour l’inégalité origi-
nale,
ni,
bien
sur,
pour l’in6galit6 generalisee (bien
qu’a
r6vidence,
les
predictions
de la
M.Q.
y
soient
conformes).
Elles
ne
seront utilisees
que
dans
le
chapitre
4.
Examinons
maintenant
les
consequences
de
fine-
galit6
(5),
etablie dans
l’espace
a
3
dimensions,
sur
la
fonction d’une seule variable
angulaire f (0).
Soit
a
l’angle
entre
les
vecteurs
a
et
b,
supposes
fixes,
soit
l’angle
entre les
vecteurs a et
c
suppose
constant
(c
n’6tant
pas
autrement
contraint)
0 K
a, p
n. Le
premier
membre de
(5)
est alors
constant,
le
second
membre
peut
s’6crire :
ofi 0
peut
prendre n’importe
quelle
valeur
sur l’inter-
valle
Au
total,
(5)
se traduit
donc
par :
pour
tout 0
dans
l’intervalle
C’est la
presence
du
signe
valeur absolue
qui
nous
permet d’imposer
a
&#x3E; fl
sans
perte
d’information :
On
a
indique
sur
la
figure
2
la
zone du
plan f(0)
interdite
pour
f
par
la
condition
(9a)
a
partir
des
deux
seules
donn6es
f (a)
et
f(fl)
correspondant
aux
angles
a
et
fl
(avec
ici
( a + P)
n).
Si
a,
b,
c
avaient
6t6 choisis au
depart
coplanaires
-
c’est
necessairement
le
cas
pour
les
photons
puisque
ceux-ci sont
definis
(par
exemple)
par
leur
polarisation
lineaire
selon
une
direction
necessairement
perpen-
diculaire
a la
direction de
propagation
-
seules les
valeurs extremes
de 0
auraient
6t6
a
considerer :
0 = oc + # ou 0 = 2 n - (ot + P), et 0 = I cx - p

396
Fig.
2.
-
Consequences
pour
la fonction
d’une
variable
f (0)
de 1’existence
de
l’in6galit6
de Bell dans
l’espace
à
trois
dimensions
pour
le
cas
de
particules
(de
masse
finie)
a
spin
1/2.
La
connaissance
de
f (a)
et
f (P)
61imine la
zone
hachur6e
pour
la
fonction
f(0).
Si
les
directions des
pola-
riseurs
sont maintenues dans
un
plan,
seules
les valeurs
extremes
a - fl
et
a
+ P
sont
61imin6es.
[Consequences
for the
one
variable function
f (0)
of Bell’s
inequalities
established
in
the
three-dimensional
space.
f (a)
and
f(fl)
being
known,
the shaded area
is
forbidden
for
f(0).
Only
the extreme
values
(X - P
and
a
+ P
are
excluded
if
the
axes
of the
polarizers
are
kept
within
a
plane.]
ce
qui
reduit
donc
la
portee
de
1’inegalite
(5).
Cepen-
dant,
dans
l’ essentiel de ce
qui
suit,
on reduira
fine-
galite
de Bell
a
la seule
valeur
lirnite 0
=
a -
fl (2).
On a alors
pour
les
particules
de
spin
1/2
dans
un
6tat
S
une
condition necessaire
meme
si
elle
n’epuise
pas
le
resultat
de Bell et
on
aura
d’autre
part
-
et
c’est
la
raison
de
ce
choix
-
toute
l’in6galit6
de Bell
pour
des
photons
convenablement
prepares
(9)
moyen-
nant
des
modifications mineures :
la
polarisation
lin6aire
correspond
a
une direction
(et
pas
un
axe
orient6),
les
polarisations
exclusives
correspondent
a des
polarisations
perpendiculaires
(et
pas opposees) ;
la
dependance
de
la
correlation avec
1’angle
des
polariseurs
prevue
par
la
m6canique
quantique
est
en
cos
2
0
(au
lieu de - cos
0).
(Et
bien
sur
les
condi-
tions
(8)
doivent
etre
changees
en
consequence
quand
elles
sont
utilisees.)
Dans
les §
3.1 et
4,
on
partira
donc de
1’inégalité
de
Bell
sous
la
forme :
Dans le
§
3.2,
on
utilisera
les
inegalites g6n6ralis6es
pour
des
situations
coplanaires.
Examinons
ici
comment
s’ecrivent dans
ce cas
les
12
in6galit6s
(6).
La
disposition
relative de
4
directions
est
caract6ris6e
par
trois
angles
a,
fl, y
limites
par
les
in6galit6s
0 a,
P n; 0 }’ 2 n; 0 Ct + p + }’ 2 n.
(2)
Une
fonction
f
qui
satisfait
a
(9) avec 0
=
a - fl
pour
toutes
valeurs
de a
et fl
satisfait
aussi
a
(9)
avec 0 =
a
+
fl.
Le
choix
de
y
est
evidemment
arbitraire,
mais on
ne
peut
avoir
2
angles superieurs
a
n.
On
peut
caracteriser
chaque
inegalite g6n6ralis6e
par
deux
indices :
le
premier
indique
le
choix
des
quatre
(parmi
six)
combinaisons
d’angles
coplanaires
utilisees dans
(6)
soit :
indice
1
(arbitraire)
Le
second indice
caracterise
la
place
du
signe
moins
et
choisissons
par exemple
1
pour
le
dernier
angle
et...
4
pour
le
premier.
L’inegalite
generalisee
s’6crit donc :
3. Violation de
1’inegalite
de
Bell
par
la
mecanique
quantique
dans
une
experience
Einstein-Podolsky-
Rosen-Bohm
On a souvent
ecrit
(voir
R6[
[5,
6,
9]
et
articles
cites)
que
les cas de
violation
des
inegalites
etaient
peu
nombreux,
mais si cela est vrai
du
point
de
vue des
experiences
realisees,
on va montrer
d’une
part,
pour
le
cas des
particules
de
spin 1/2
et
pour
le cas
ou les
directions de
mesure
des
aimants de
Stem-
Gerlach
sont
coplanaires, que
les
predictions
de
la
mecanique
quantique
violent
«presque partout »
ces
inegalites ;
on
va montrer d’autre
part,
pour
le cas des
photons,
qu’il y
a
aussi violation
presque
partout
d’une
au moins
des
inegalites
de Bell
g6n6-
ralis6es.
Remarquons
que
l’essentiel
est en
fait dans
la
coplanarite
des directions
de
mesure
et
qu’on
demontrerait donc de la meme
fagon
la
violation
des
inegalites
g6n6ralis6es
pour
le
cas
des
particules
de
spin
1/2
ou
la
violation des
in6galit6s
simples
dans
le
cas des
photons.
3.1 INtGALiTt
ORIGINALE
ET
PARTICULES DE
SPIN
1/2.
-
La
relation
(10)
entraine :
y(ex,
P) =
-f(cx) -
-f(fl) -
f (a -
P)
+
-f(0) , 0
(11)
ou
y(a,
P)
a
ete introduite
pour
la
commodite de
la
suite.
Si
on se
rappelle
que
pour
la
mecanique
quantique,
on
obtient :
Sauf
aux
frontieres
du domaine
(a
=
fl
ou p
=
0,
ou a
=
7),
pour
lesquelles l’égalité
est
obtenue,
yM,Q,
&#x3E;
0
viole
partout
l’in6galit6 (11),
voir
figure
3.
Un
ecart
maximum
de
0,5
est obtenu
pour
a
=
2
n/3 ;
fl
=
n/3.
L’importance
de cet
6cart
peut
etre
apprecie
en
constatant
que
chacun des
quatre
termes
com-
posant
y(a,
fl)
est borne
par
±
1;
mais
l’essentiel