la mecanique quantique, et en

Inégalités de Bell et mécanique quantique : les détails
d’une incompatibilité
P. Roussel
To cite this version:
P. Roussel. Inégalités de Bell et mécanique quantique : les détails d’une incompatibilité.
Journal de Physique, 1986, 47 (3), pp.393-405. <10.1051/jphys:01986004703039300>. <jpa00210219>
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Submitted on 1 Jan 1986
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J.
Physique 47 (1986) 393-405
MARS
393
1986,
Classification
Physics Abstracts
03.65
de Bell et mécanique quantique
les détails d’une incompatibilité
Inégalités
:
P. Roussel
Institut de
Physique Nucléaire,
B.P. n° 1, 91406
Orsay Cedex,
France
(Reçu le 15 avril 1985, révisé le 5 novembre, accepte le 18 novembre 1985)
Après avoir introduit le débat sur la mécanique quantique (M.Q.) ouvert en 1935 par A. Einstein et
décrit l’expérience proposée par D. Bohm et on rappelle les inégalités trouvées par J. Bell pour mettre à
l’épreuve la classe de modèles prétendant compléter la M.Q. par des paramètres (cachés) dans le passé commun.
Pour des directions de polariseur coplanaires (toujours le cas pour des photons) on montre que la M.Q. viole
presque partout ces inégalités. Les propriétés générales des fonctions (d’une variable) satisfaisant aux inégalités de
Bell sont examinées en détail pour la comparaison de ces fonctions avec celles prédites par la M.Q., en ce qui
concerne les dérivées, les intégrales, les valeurs, les intervalles, les amplitudes et finalement le comportement global;
quelques exemples de fonctions « à la Bell » construites pour se rapprocher des prédictions de la M.Q. sont donnés.
Il est ainsi mis en évidence une incompatibilité de la M.Q. avec les fonctions satisfaisant aux inégalités de Bell,
plus radicale que celle qui résulte du seul examen des inégalités.
Résumé.
N. Bohr,
2014
on
After introducing the 1935 debate between A. Einstein and N. Bohr about quantum mechanics (Q.M.)
Abstract
describe the thought-experiment of D. Bohm and recall the inequalities found by J. Bell for testing the class of
theories based on the hypothesis of hidden-parameters in the common past. lt is shown that Q.M. violates these
inequalities almost everywhere. The general properties offunctions satisfying Bell’s inequalities are studied in order
to compare them to Q.M. predictions as regards derivatives, integrals, values, intervals, amplitudes and finally the
overall behaviour; a few of the Bell’s functions chosen to approach somehow Q.M. are given. Altogether, in the
comparison between Q.M. and functions satisfying Bell’s inequalities, an incompatibility is revealed which is
stronger than the one resulting from consideration of just the inequalities.
2014
we
1. Introduction.
Un d6bat portant sur les qualit6s de th6orie physique
de la m6canique quantique a 6t6 amorcé il y a un demisiecle par un article de A. Einstein, B. Podolsky et
N. Rosen [1] et par un article en « réponse» de
N. Bohr [2] quelques mois plus tard en 1935. Les
succes, c’est peu dire, de la m6canique quantique
n’ont pas permis aux questions soulevees de rester
au premier plan de ractualit6 de la physique mais
le d6bat pourtant dure toujours. On se doit de citer
l’intervention tres importante de D. Bohm et
Y. Aharonov [3] en 1957 qui ont propose une exp6rience type permettant a la fois de poser clairement les
problemes et susceptible de realisation effective.
Mais celle des voies de ce d6bat qui occupe aujourd’hui le devant de la scene a ete ouverte par J. S. Bell [4]
en 1964 et si elle tient ce role, c’est que Bell a espere
pouvoir faire trancher le d6bat par un resultat exp6rimental. Il a en effet montre pour toute une classe de
modeles pouvant en principe pr6tendre a compl6ter
la mecanique quantique, et en s’appuyant sur rexp6rience type de Bohm, que les r6sultats d7exp6riences
(ou leurs predictions) devaient satisfaire une certaine
relation, plus pr6cis6ment une inegalite reliant les
resultats de mesures pour différentes valeurs d’un
parametre en fait, tangle de deux polariseurs
comme on le verra plus loin. Des experiences ont 6t6
effectivement menees jusque recemment celles de
A. Aspect et al. tres pr6cises [5] et pour les demières [6],
faisant intervenir un parametre nouveau, le temps.
Elles ont (presque) toutes confirme la mecanique
quantique et (donc) viole les in6galit6s de Bell rejetant
ainsi la classe de modeles a 1’6preuve.
Il reste a interpreter ces experiences, c’est-a-dire
a examiner ce qu’elles impliquent et surtout ce qu’elles
61iminent : confirment-elles seulement que la m6canique quantique fonctionne bien, ou bien qu’elle est
lesincompatible avec certaines hypotheses
quelles. Quel est le rapport avec les questions ini-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01986004703039300
-
394
tiales de Einstein et al. De nouvelles questions sontelles posees ? De nouveaux concepts sont-ils
n6cessaires ? En regard de ces grandes interrogations
tres largement encore en d6bat aujourd’hui [7] le but
de cet article est limite : pr6ciser par une etude d6taill6e
portant sur l’experience type de Bohm, les points de
compatibilite et d’incompatibilit6 des predictions
de la mecanique quantique avec les in6galit6s de Bell.
Pour cela, on va d’une part etablir que la violation
des in6galit6s de Bell ou de ses generalisations par
la mecanique quantique est plus systematique que ce
qui était jusqu’ici reconnu et d’autre part d6montrer
quelques consequences des in6galit6s de Bell qui
accentuent l’incompatibilit6 trouv6e et permettent
de pr6ciser comment, a l’inverse de la comparaison
directe, une fonction qui satisfait aux in6galit6s de
Bell peut se comparer aux predictions de la mecanique
de Stem-Gerlach dont les axes de mesure de polarisation peuvent etre orientes selon différentes directions a, b, c, etc.
Le resultat de la mesure de polarisation A
a1 .a
sur la particule 1 et B = 62b sur la particule 2
peut donner un resultat + I ou - 1, quelles que
soient les orientations a et b, en conformite avec la
mecanique quantique (et a 1’experience). Cela est
vrai quel que soit 1’6tat initial mais pr6ciser 1’6tat
0 permet de pr6dire la correlation entre
initial S
les mesures A sur 1 et B sur 2.
La m6canique quantique predit, en effet, une valeur
moyenne pour cette correlation
quantique.
Les enjeux
Bell met alors a 1’epreuve le modele suivant dit à
variables suppl6mentaires. Selon ce modele, pour
chaque couple de particules, la valeur particuliere
d’un param6tre A pr6-d6termine (1) le resultat de la
mesure aussi bien A sur 1 que B sur 2
de ces comparaisons ne seront pas discut6s ici mais rappelons-les cependant tels qu’ils
ont 6t6 pr6sent6s par Bell [4] : montrer qu’il n’est pas
possible de retrouver causalite et localite en compl6tant
la description d’un 6tat quantique par des variables
additionnelles qui pr6d6termineraient les resultats
des mesures ult6rieures. Bell pr6cisait que ce qui fait
pour lui principalement diff’lcult6 c’est fexigence de
localité qui voudrait que le resultat d’une mesure sur
un systeme ne soit pas affect6 par des operations
sur un autre systeme 6loign6 avec lequel il a interagi
dans le pass6.
Pr6cisons enfin que si c’est « l’intime conviction »
de l’incompatibilit6 des hypotheses a l’épreuve, param6tres (caches) predetermines, ou parametre dans
le pass6 commun, avec les bases de la mecanique
quantique qui a motive ce travail, il est souhait6
que les resultats trouv6s soient ind6pendants de cette
conviction !
2. Les
inigalit6s de Bell
2.1 UNE EXPTRIENCE TYPE POUR DEMONSTRATIONS.
Bien que beaucoup d’experiences aient 6t6 effectu6es
avec des photons, nous commencerons avec fexemple
original aussi bien de Bohm que de Bell (Fig. 1),
celui de deux particules 1 et 2 de spin 1/2 form6es
0 et se « séparant» pour
dans un 6tat singulet S
«
etre d6tect6es indépendamment » dans deux aimants
=
=
=
-
ab
(a et b vecteurs unitaires).
(1)
La r6partition statistique des valeurs de A pour les
dfff6rents tirages de couples de particules autorise
la dispersion des resultats pour un choix donn6 de
a et b
sans cette possibilite, A et B seraient constants
pour a et b fixes et le modele perdrait d6ji tout contact
avec la r6alit6.
-
2.2 PouRQuoi UNE INÉGALITÉ. - La connaissance
complete d’une part de la fonction A(a, A) (B s’en
deduit comme on le verra plus loin), d’autre part de
la distribution de probability p(À) de A pr6ciserait
completement le modele et permettrait de calculer
la valeur moyenne de toute mesure effectuee sur le
systeme, en particulier la correlation recherchee
-
=
et de la comparer directement a la
prediction
de la
m6canique quantique
L’interet de la d6marche de Bell est d’arriver a
resultat qui n’est qu’une in6galit6 mais qui, par
contre, ne repose que sur la seule hypothese de depart
de la predetermination de A et B : A
A (a, A);
un
=
Schema de 1’exp6rience type (avec des particules
Fig. 1.
de spin 1/2) propos6e par Bohm pour concr6tiser la question
soulevee par Einstein, Podolsky et Rosen.
-
[Diagram of the thought-experiment proposed by D. Bohm
to examplify the questions of Einstein, Podolsky, Rosen.]
(1)
Notons que si le param6tre A n’6tait pas consid6r6
param6tre du pass6 commun caractérisant « 1’6tat
objectif » de la source « au moment » de 1’emission, le modele
a 1’6preuve perdrait de ce fait son caract6re « local » puisque
la valeur commune de A devrait alors rester corr6l6e entre les
sites des mesures de A et de B.
comme un
395
B(b, A), ind6pendamment de la forme particuli6re que peuvent prendre les fonctions A, B et p.
Cela permet de ne pas mettre a l’épreuve successivement toutes les hypotheses qu’on pourrait faire sur
ces fonctions.
L’inegalite est la suivante :
B
=
l’étude de f 6tant limit6e a l’intervalle (0, n).
La condition f (0) = - f(n) = - I avait d6ji
6t6 introduite par J. Bell [4] sous la forme A (a, A)
B(a, À) pour permettre de satisfaire à
=
=
-
Les différentes demonstrations de cette inegalite
de ses generalisations reposent en fait sur des
considerations de mesures portant sur 1’ensemble A
des valeurs de A (voir (8) par exemple).
L’in6galit6 de Bell g6n6ralis6e (9) correspond à
deux choix de direction a et a’ pour la particule 1,
deux choix b et b’ pour la particule 2. On trouve
par exemple l’in6galit6 :
ou
Notons alors que pour une disposition donn6e
12 (double)
de 4 directions, c’est donc au total 3 x 4
a
ce
ecrire
de
in6galit6s
type qu’on peut
partir des
6 mesures possibles, P(a, b), P(a, b’), P(a’, b), P(a’, b’),
C’est notamment pour s’affranchir de cette condition
que les in6galit6s g6n6ralis6es ont ete introduites.
Aucune de ces conditions (8) n’est de toute facon
utilisee dans le chapitre 3, ni pour l’inégalité originale, ni, bien sur, pour l’in6galit6 generalisee (bien
qu’a r6vidence, les predictions de la M.Q. y soient
conformes). Elles ne seront utilisees que dans le
chapitre 4.
Examinons maintenant les consequences de finegalit6 (5), etablie dans l’espace a 3 dimensions, sur la
fonction d’une seule variable angulaire f (0). Soit a
l’angle entre les vecteurs a et b, supposes fixes, soit
l’angle entre les vecteurs a et c suppose constant (c
n’6tant pas autrement contraint) 0 K a, p n. Le
premier membre de (5) est alors constant, le second
membre peut s’6crire :
P(a, a’), P(b, b’).
C’est cette multiplicite qui est a l’origine du renforcement de l’incompatibilit6 qu’on va etablir; elle
existe aussi pour le cas de rin6galit6 originale a trois
valle
et les trois autres
le
inegalites qu’on obtient en déplaçant
signe -.
=
ofi 0 peut prendre n’importe quelle valeur sur l’inter-
directions.
2. 3 PASSAGE A
D’UNE SEULE VARIABLE
Les
differents
vecteurs a, b, c...
(ANGULAIRE).
une orientation
avoir
envisages jusqu’ici peuvent
a
trois
dans
dimensions, cepenquelconque
l’espace
dant, l’isotropie de l’espace conduit a ne faire dependre
P(a, b) que de l’angle non oriente 6a,b entre a et b
soit :
UNE FONCTION
-
Par
ailleurs, que le resultat A intervienne dans
measure
simple
(correlation),
il
en
ou
on a
dans une mesure
forcement :
en
une
coincidence
resulte
Au total,
pour
tout 0
C’est la
(5)
se
traduit donc par :
dans l’intervalle
presence
permet d’imposer
du
a
signe valeur absolue qui nous
> fl sans perte d’information :
On a indique sur la figure 2 la zone du plan f(0)
interdite pour f par la condition (9a) a partir des deux
seules donn6es f (a) et f(fl) correspondant aux angles a
et fl (avec ici ( a + P)
n).
Si a, b, c avaient 6t6 choisis au depart coplanaires
c’est necessairement le cas pour les photons puisque
ceux-ci sont definis (par exemple) par leur polarisation
lineaire selon une direction necessairement perpendiculaire a la direction de propagation
seules les
valeurs extremes de 0 auraient 6t6 a considerer :
-
et
finalement
-
L’ensemble de ces conditions
fonction f par les conditions :
se
traduit
sur
la
0 = oc + # ou 0 = 2 n - (ot + P), et 0 = I cx - p
396
Le choix de y est evidemment arbitraire, mais on
ne peut avoir 2 angles superieurs a n.
On peut caracteriser chaque inegalite g6n6ralis6e
par deux indices : le premier indique le choix des
quatre (parmi six) combinaisons d’angles coplanaires
utilisees dans
indice 1
Fig. 2.
Consequences pour la fonction d’une variable
f (0) de 1’existence de l’in6galit6 de Bell dans l’espace à
trois dimensions pour le cas de particules (de masse finie)
a spin 1/2. La connaissance de f (a) et f (P) 61imine la zone
hachur6e pour la fonction f(0). Si les directions des polariseurs sont maintenues dans un plan, seules les valeurs
extremes a - fl et a + P sont 61imin6es.
-
[Consequences for the one variable function f (0) of Bell’s
inequalities established in the three-dimensional space.
f (a) and f(fl) being known, the shaded area is forbidden
for f(0). Only the extreme values (X - P and a + P are
excluded if the axes of the polarizers are kept within a
plane.]
reduit donc la
portee de 1’inegalite (5). Cepence qui suit, on reduira finegalite de Bell a la seule valeur lirnite 0 a - fl (2).
On a alors pour les particules de spin 1/2 dans un
6tat S une condition necessaire meme si elle n’epuise
ce
qui
dant, dans l’ essentiel de
=
et
pas le resultat de Bell et on aura d’autre part
c’est la raison de ce choix
toute l’in6galit6 de Bell
pour des photons convenablement prepares (9) moyennant des modifications mineures : la polarisation
lin6aire correspond a une direction (et pas un axe
orient6), les polarisations exclusives correspondent
a des polarisations perpendiculaires (et pas opposees) ;
la dependance de la correlation avec 1’angle des
polariseurs prevue par la m6canique quantique est
en cos 2 0 (au lieu de - cos 0). (Et bien sur les conditions (8) doivent etre changees en consequence
-
-
quand elles sont utilisees.)
Dans les § 3.1 et 4, on partira donc
de Bell
sous
de
1’inégalité
la forme :
P n; 0 }’ 2 n; 0 Ct + p + }’ 2 n.
(arbitraire)
Le second indice caracterise la place du signe
moins et choisissons par exemple 1 pour le dernier
angle et... 4 pour le premier.
L’inegalite generalisee s’6crit donc :
3. Violation de
quantique dans
Rosen-Bohm
1’inegalite de Bell par la mecanique
une experience Einstein-Podolsky-
On a souvent ecrit (voir R6[ [5, 6, 9] et articles cites)
que les cas de violation des inegalites etaient peu
nombreux, mais si cela est vrai du point de vue des
experiences realisees,
on
va
montrer
d’une part,
pour le cas des particules de spin 1/2 et pour le cas
ou les directions de mesure des aimants de StemGerlach sont coplanaires, que les predictions de la
mecanique quantique violent «presque partout »
ces inegalites ; on va montrer d’autre part, pour
le cas des photons, qu’il y a aussi violation presque
partout d’une au moins des inegalites de Bell g6n6ralis6es. Remarquons que l’essentiel est en fait dans
la coplanarite des directions de mesure et qu’on
demontrerait donc de la meme fagon la violation
des inegalites g6n6ralis6es pour le cas des particules
de spin 1/2 ou la violation des in6galit6s simples dans
le cas des photons.
3.1 INtGALiTt ORIGINALE ET PARTICULES
1/2. La relation (10) entraine :
DE
SPIN
-
y(ex, P) = -f(cx) - -f(fl) - f (a - P)
ou y(a, P)
suite.
Si on se
a
+
-f(0) , 0 (11)
ete introduite pour la commodite de la
rappelle que pour la mecanique quantique,
obtient :
on
Dans le § 3.2, on utilisera les inegalites g6n6ralis6es
pour des situations coplanaires. Examinons ici
comment s’ecrivent dans ce cas les 12 in6galit6s (6).
La disposition relative de 4 directions est caract6ris6e
par trois angles a, fl, y limites par les in6galit6s 0 a,
(6) soit :
Sauf
frontieres du domaine
(a fl ou p 0,
7), pour lesquelles l’égalité est obtenue,
yM,Q, > 0 viole partout l’in6galit6 (11), voir figure 3.
2 n/3 ;
Un ecart maximum de 0,5 est obtenu pour a
de
cet
6cart
etre
fl
n/3. L’importance
peut
apprecie
a - fl
ou
a
aux
=
=
=
=
(2) Une fonction f
pour toutes valeurs de
a
+
fl.
qui satisfait a (9) avec 0
et fl satisfait aussi a (9) avec 0 =
=
a
=
en
constatant que chacun des
posant y(a, fl)
est borne par
quatre termes
com-
± 1; mais l’essentiel
397
3.2 INtGALITt GENERALISEE ET CAS DES PHOTONS.
On va spécifier qu’il s’agit d’une experience concemant les systemes a 2 photons convenablement
-
prepares
en
precisant :
les vecteurs a, a’, b, b’ sont coplanaires (et perpendiculaires a la direction de propagation);
ce qui caracterise un polariseur c’est une droite
non orientee c’est-a-dire que a et - a conduisent au
meme re sultat ;
les predictions de la m6canique quantique sont :
-
-
-
P(a, b)
particules de spin 1/2, la fonction
yM,Q.(a, fl) f(a) - f (fl) - f(« - fl) + f (0) positive ou
nulle viole presque partout l’inégalité de Bell y - 0. On a
0 (les fronti6res du domaine) ;
trace les lignes de niveau y
maximale de y).
valeur
0,5
(la
y
0,37 ; y
Fig.
3.
-
Pour les
=
f(ob)
=
cos
2 0.
Une disposition relative de quatre directions coplanaires est alors caracterisee par 3 angles (a, /3, y)
tels que :
=
=
=
=
[For spin
one-half
particles,
the function associated with
quantum mechanics
ym.Q.(oc, P)=f(et)-f(P)-f(et-P)+
f(0), positive or zero, violates Bell’s inequality y 0
almost everywhere. The lines corresponding to the values
0 and y
0.37 have been drawn as well as the point
y
corresponding to the maximum value y 0.5.]
Avec les notations du
§ 2. 3
on
definit :
=
=
=
-
n’est pas dans l’imporl’écart, mais dans l’incompatibilité syst6-
sauf pour une experience
tance de
-
est trouvee.
Cette violation systematique a ete etablie sur le
domaine limite par les in6galit6s 0 p oc n,
on a montre pr6c6demment que cette restriction
était sans consequence du fait de la ’présence du signe
valeur absolue, on peut aussi noter que l’une au moins
des trois inegalites qu’on peut ecrire satisfait (presque)
toujours a cette condition et la violation systematique
est bien etablie pour toute situation coplanaire des
matique qui
polariseurs.
Si les directions ne sont pas coplanaires, on peut
arriver facilement a des valeurs de 0 pour lesquelles
l’in6galit6 (9a) est satisfaite de meme que les deux
autres inegalites construites avec les trois memes
angles a, fl, 0. Il suffit pour cela que 0 satisfasse a :
On demontre alors qu’au moins l’une des 5 inegalit6s 2 :!!- yij - + 2 est violee pour toute disposition
de quatre directions coplanaires caracterisee par
fensemble des valeurs a, fl, y. Selon ces valeurs, la
figure 4 indique laquelle de ces inegalites est violee et
comment. Si plusieurs inegalites sont violees, elle
indique celle pour laquelle le desaccord est le plus
important. On a egalement indique les points ou l’une
des valeurs limite + 2 ou - 2 est atteinte ainsi que la
position de l’extremum eij de Yij correspondant à
-
chaque zone.
On n’a pas donne ici la demonstration de ces r6sulqui fait intervenir des manipulations un peu fastidieuses d’expressions trigonometriques ou de leur
derivee. On n’a pas non plus limite les intervalles de
variation de a, f3, y en utilisant les symetries existantes
ou les permutations possibles. Indiquons seulement
que 1’equation des plans frontieres (qui coupent le plan
Cte selon les droites frontieres indiqu6es sur la
y
figure 4) est obtenue en resolvant les equations du type
tats
Mais cette possibilite ne remet pas en cause la
violation systematique d6montr6e precedemment
comme consequence necessaire des inegalites pour
la fonction d’une variable fM.Q.(0) = - cos 0. Cette
possibilite n’a d’autre part pas d’equivalent pour le
cas des photons.
=
398
Dans le plan y
Cte, on observe un extremum
relatif dont la position eij est indiqu6e sur la figure 4.
Il reste par ailleurs a compl6ter l’intervalle de variation pour y de n/2 £ n.
Utilisant 1’6galit6
=
on
aboutit aux identites
qui permettent fextension de l’utilisation de la figure 4
pour nl2 y n.
Cette violation systematique semble ne pas avoir 6t6
Fig. 4.
Comparaison des predictions de la mecanique
quantique avec les in6galit6s de Bell g6n6ralis6es pour le not6e jusqu’ici. Par exemple, dans la reference [10],
cas de directions de polariseurs coplanaires. Le schema
dans le cas particulier ou a
fl y, on indique des
indique pour tout ensemble de valeurs (a, fl, y) qui caract6rise angles pour lesquels il n’y a pas violation (Fig. II. 5,
une disposition relative de 4 directions, fexpression quanp. 36). En fait, il suffit d’effectuer la permutation
tique pr6sentant un d6saccord maximum avec l’in6galit6 correcte
pour retrouver un conflit et par exemple
de Bell correspondante. Le premier indice dans y repere
passer dey2 3I
2 a y3 2 > - 2 pour n/6 a n/4.
le choix d’une s6rie de 4 angles parmi les 6 disponibles
Rappelons cependant que 6 mesures sont n6cessaires
(voir texte), le second indice repere la place du signe moins
dans 1’expression correspondante. On a indique la valeur
pour ecrire les 12 in6galit6s dont chacune, rappelons-le,
-
=
extreme ± 2 partout ou celle-ci est atteinte ainsi que la
position des extrema eij de Yij correspondant a chacune
des zones. Les 6chelles angulaires utilis6es et le signe des
in6galit6s correspond au cas des photons.
[Comparison of the quantum-mechanics predictions with
the generalized Bell inequalities for an in-plane settling
of 4 polarizers characterized by the three angles a, p, y. For a
given set of angles, this scheme indicates which of the Yij
expression is the most in contradiction with the corresponding Bell inequality. The first index in y is related to
the choice of a set of 4 angles from 6 which are available,
the second one indicates the place of the minus sign in the
corresponding expression. The extreme values + 2 or - 2
indicated when reached. The location of the extrema
eij of yij is also indicated in each area. The given angular
are
scale and the
to
given
direction in the
inequalities
are
related
photons.]
Avec les plans limites du domaine de variation de a,
p, y, ces plans frontieres d6coupent 6 volumes qui
correspondent a une des in6galit6s indiqu6es et qui
comprennent tous un des extrema absolus :
(les quatre demiers correspondent a un meme ensemble
de directions).
=
n’utilise que 4 mesures et que ce ne sont pas les memes
mesures qui interviennent dans y23 et Y32.
Notons enfin que les valeurs extremes du d6saccord
sont bien celles donnees par A. Aspect (a = p
y
n/8 d’une part, 3 n/8 d’autre part) et seulement celles-ci
puisque les autres extremae absolus donn6s pr6c6demment correspondent a un meme ensemble de directions.
La mecanique quantique viole presque partout les
ln6galit6s de Bell et aucune fonction satisfaisant aux
I.B. ne peut donc coincider partout avec la fonction
predite par la M.Q. Mais il est int6ressant de comparer
les propri6t6s des fonctions satisfaisant aux I.B. avec
la M.Q.; il est int6ressant 6galement d’examiner
comment une fonction satisfaisant aux I.B. peut se
rapprocher de la M.Q. Cest ce qui est fait dans le
chapitre suivant ou nous allons montrer par une etude
d6taill6e du comportement des fonctions satisfaisant
aux in6galit6s de Bell que l’incompatibilit6 de ces
fonctions avec les predictions de la M.Q. est plus
radicale que celle qui r6sulte de la simple confrontation
de l’in6galit6 a des resultats ponctuels de la M.Q. ou de
1’exp6rience. Cette etude et ce qui en r6sulte ne retire
6videmment rien au caractere probatoire des exp6riences en nombre maintenant non n6gligeable qui ont
confirme la M.Q. mais elle rend moins probable la
possibilite qu’il y avait de ne pas trouver cette confirmation, elle devrait egalement orienter differemment
des choix de zones angulaires mises a 1’epreuve si de
nouvelles experiences etaient d6cid6es. Enfin, elle peut
contribuer a eclairer la nature de l’incompatibilit6 de
la M.Q. avec le modele a 1’6preuve.
=
=
399
4. Les fonctions à la Bell (3)
qui suit, on va appeler fonction « a la Bell »
fB(O), une fonction qui satisfait partout
aux conditions (10) et (8) (il s’agit donc de rin6galit6
reduite aux situations coplanaires).
L’6tablissement de l’in6galit6 de Bell permettait de
faire l’économie de l’épreuve des differentes fonctions
possibles A (a, A) et p(A). Sans perdre cette g6n6ralit6,
on va examiner quelques propri6t6s des fonctions « a la
Bell » fB(O) en recherchant en particulier celles qui les
distinguent de la fonction fm.Q.(O) = - cos 0 predite
par la mecanique quantique. A finverse, on examinera
egalement comment une fonction fB(O) peut s’approcher de la fonction fM.Q.(O). La certitude que fB(O) ne
Dans
ce
qu’on
notera
peut coincider partout
avec
fm.Q.(O)
laisse
en
effet
ouverte cette question.
On va auparavant montrer que l’in6galit6 se d6double et trouver une representation graphique des deux
cependant
in6galit6s r6sultantes.
Le deuxieme membre de
1 on d6place cette courbe sur elle-meme de
telle sorte que 0’, l’origine de la courbe mobile, decrive
la courbe fixe. La condition (12) implique que la courbe
mobile reste partout au-dessus de la courbe flxe.
Si la courbe mobile est - f(0) la condition (13)
implique que cette seconde courbe mobile reste
en dessous de la courbe flxe.
Du fait de revolution g6n6rale de/(0): f(0) = - 1;
f(n/2) 0 ; f(n) 1, la condition (12) apparait donc
beaucoup plus contraignante que (13) et - rechernous ne consid6rechant des conditions n6cessaires
rons dans fessentiel de ce qui suit que la premiere.
fB sera utilise indifferemment pour une fonction qui
satisfait a (10) ou seulement a (12). Quand il n’y aura
pas d’ambiguite, on ecrira simplement f.
f(0) = -
(10)
est
positif ou nul,
en
=
=
-
4.1 PROPRIÉTÉS CONCERNANT LES DÉRIVÉFS DE fB(0).
Si f(8) est derivable, en faisant tendre p vers a dans
(12), on demontre que la d6riv6e a l’origine est sup6rieure a la d6riv6e sur tout l’intervalle (0, n) et donc a sa
valeur moyenne sur cet intervalle.
-
effet,
La condition (10) est donc
conditions
6quivalente
aux
deux
0.
a comparer a fM,Q,(0)
Bell (4) avait d6ji indiqu6
d’etre stationnaire en 0.
=
11 est int6ressant de representer graphiquement ces
deux conditions (Fig. 5) : consid6rant la courbe representative de J’(H) a partir de son origine 0(0
0,
rimpossibilit6 pour fB(O)
4.2 PROPRIÉTÉS CONCERNANT LES INTTGRALES.
Consid6rons maintenant l’int6grale
-
=
ou le terme f(0) est introduit par commodite pour
decaler l’origine et rendre i (e ) >, 0.
On peut 6crire :
et, compte tenu de I
,a")
Representation de l’in6galit6 de Bell,f (a) f(f3)I f(a - P) - j{O) qui se d6double en deux conditions du fait de la valeur aosolue dans le premier membre.
Fig.
5.
-
[Graphic representation
of the Bell
inequalityI f (a) -
into two conditions
because of the absolute value in the first term.]
f (p) I
(3)
f (a - fl) - f (o) which splits
On trouvera dans un rapport interne IPNO DRE 85-10
(disponible sur demande) les demonstrations qui n’apparaissent pas dans ce chapitre.
e n, I’origine 6tant prise en
f(0), en chaque point 0, l’int£grale de 0 a 0 est
superieure a l’int6grale de la fonction lin6aire joignant
l’ origine a ce point (Fig. 6).
En particulier, choisissant 9
n/2, on trouve que
l’int6grale (toujours compt6e a partir de - 1) est forc6ment superieure a n/4 alors que :
quel
-
1
que soit 0
=
=
400
peut cependant soustraire une fonction qui satisfait à
(12) partout (pour toute valeur de a et fl) avec le signe
de 1’egalite.
C’est le cas de la fonction lineaire fBl que nous allons
soustraire a toutes les fonctions fB avec la notation
les conditions pour que F soit une FB etant alors :
l’in6galit6 de Bell
Une des consequences
Fig. 6.
de
1’integrale fB(8).
de
[One of the consequences of Bell’s
of f,(O).]
inequality on the integral
-
sur
soit
Ce n’est pas la valeur (finie) de cette limite qui est
importante, c’est la preuve qu’elle donne que toute
possibilite de rapprochement entre A(O) et fM,Q,(d)
dans une certaine zone de 0 sera necessairement payee
dans une autre zone par un 6loignement plus grand. 11
faut noter que la limite absolue a ± 1 pour f(0)
quelque soit 0 va peser pour la realisation de cette
condition integrale (18) et va en particulier empecher
d’y satisfaire avec quelques points singuliers en fonc-
tion 6.
Notons que la fonction linéaire
Remarquons que la representation (Fig. 5) de la
condition (12) pour fB est egalement valable avec la
condition (21) pour FB. Ce n’est par contre plus vrai
pour la condition (13).
Des propri6t6s portant sur le signe de FB etablies à
partir de (20) et (21 ) sont indiqu6es ci-dessous. Compte
tenu de la relation de symetrie (20), l’étude de F sur
(0, n/2) est suffisante. Mais les relations initiales et
d6duites sont valables de 0 a n.
1) Si F(a) >, 0, on a alors
qui joint les
points (0, 1); (nI2, 0); (rc, + 1) - souvent donnee
(4), (7) comme un exemple de fB apparait plutot comme
une fonction limite tant pour la d6riv6e a l’origine que
pour l’int6grale. C’est pour une fonction sans point
d’inflexion, la fonction fB qui se rapproche le plus de
fM.Q.. Nous la noterons fBI((}).
-
-
4.3 PROPRItTtS
CONCERNANT LES
VALEURS ET LES
On va examiner ci-dessous la possibilite d’utiliser une fonction a structure plus compliqu6e pour tenter de rapprocher fB(d) de fM.Q.(e). On
etudiera alors en particulier la mesure des intervalles
de 0 ou fB peut etre du meme cote que fM,Q, par rapport
a la fonction lin6aire limite fB,. Nous examinerons
egalement les excursions possibles des amplitudes des
fonctions fB. Auparavant et pour simplifier le formalisme, on va rapporter les fonctions f, non plus a l’axe
des 0, mais a la fonction lin6aire limite fBl vue precedemment.
En effet, si on excepte les deux conditions sur les
valeurs f(0) = - 1 et f (rc)
+ 1 (4), on remarquera
que la somme de deux fonctions fB est egalement une
fonction fB. 11 n’en est pas de meme de la difference ; on
INTERVALLES.
-
=
(4)
Il faut egalement excepter la limite a ± 1 pour toute
valeur de 0, on reviendra plus loin sur cet aspect.
Trace de FM.Q.(8)
Fig. 7.
fM,Q.(8) - fBl(8). On a fait
figurer les limites de F(8) imposees par les conditions
1
f(O) + 1.
-
=
-
[Graphic representation of FQ.M.(8)
=
fQ.M,(8) - fBl(8). The
f(O) +1.]
shaded zone corresponds to the conditions -I
(5) Et cette fois pour F(8), contrairement a f(8), la somme
de deux FB(8) est une FB y compris en ce qui concerne les
valeurs pour 0, n/2 et n.
401
(n entier positif) et de plus
2) Si F(cx) >,
0 et
F(fl) 0,
on a
suffisamment « reguliere » puisque cet ecart irr6ductible n’est pour le moment prevu que sur un ensemble
de mesure nulle.
Par ailleurs, si ai est la premiere racine de
F(0) (F(O) >, 0 si 0 0 ai) et N le nombre de
racines entre 0 et n/2, bomes exclues, en consequence
de (24) on a :
alors
3) Si F(a) 0, on a alors
On
a
aussi :
F(na) K 0 n entier positif (na
n)
(25’)
et
et
et
4) Si F(cx)
On
a en
0 et
F(fl) 0,
on a
alors
consequence de (19) et (22)
Ce dernier resultat est important puisqu’il indique,
la encore, un ecart systematique (puisque FM.Q.(lJ) est
negatif sur l’intervalle 0, Tr/2). Il pourrait laisser penser
qu’une seule mesure, a 1’un de ces angles, permet de
constater 1’ecart de 1’experience avec toute fonction
« a la Bell ». Mais ce n’est vrai que pour une fonction
on
Rappelant alors que F M.Q. (fJ) est partout negatif de 0
a 7r/2, on va chercher une solution qui serait plus
favorable que FBl(0) = 0. On va alors convenir que
deux objectifs sont recherches : le premier zero al doit
etre le plus petit possible et la mesure- de 1’ensemble
des valeurs de 0 pour laquelle F(0) est négatif doit etre
la plus grande possible. Ces deux objectifs sont en effet
necessaires a une bonne approximation de F M.Q. par
FB.
La condition (31 ) conduit a augmenter le nombre N
de racines de F(0). On peut alors definir pour chaque
valeur de N, la valeur des racines de F qui correspondent a la realisation des objectifs precedents et tiennent
compte des conditions (22) a (29) qui s’imposent pour
FB. Pour N donne, la sequence des racines donnees
ci-dessous par (32) n’est evidemment pas la seule
possible, mais cette sequence donne la valeur maximum
de e - compatible avec la valeur minimum n/ N + 2
de ai. La sequence des racines est la suivante (voir
Fig. 8) :
trouve alors que :
soit :
Si
1’augmentation de N permet de rapprocher la
premiere racine de 0, on doit remarquer que pour N
grand, le rapport des mesures des premiers intervalles
n6gatifs a celles des premiers intervalles positifs, de
l’ordre de 1/N, tend lui aussi vers zero alors qu’on le
voudrait le plus grand possible !
Dans tous les cas, e -lnl2 ne peut depasser 0.333
(pour N 1) et tend tres vite vers 0,25 si N augmente.
=
4.4 PROPRIETES CONCERNANT LES AMPLITUDES.
Dans la comparaison des FB avec FM.Q., la consid6ration des amplitudes est evidemment importante : avoir
le meme signe n’est pas suffisant. Les consequences sur
les amplitudes de la condition (21) sont particuli6rement simples lorsqu’elle est appliquee a une fonction
F BN( 0) (on appellera FBN une fonction FB poss6dant N
racines entre 0 et rc/2) dont les racines sont celles de la
-
402
On montre que :
1) 11 est possible de trouver une FBN possedant cette
sequence.
2) m1 donne, il n’est pas possible de trouver de FBN
pour laquelle mi ou Mj soit plus petit que les valeurs
donnees par (34).
3) Pour toute augmentation d’une des valeurs de
mi ou Mj, il n’existe pas de solution qui ne comporte
l’augmentation de toutes les valeurs suivantes dans la
sequence.
On peut remarquer que les extrema de
Position des 2 N racines de FB(fJ) (en plus de 0,
n12, n) qui rendent minimum la premiere racine a1, et
maximale la mesure e- des intervalles ou FB(fJ) est negatif.
Fig.
8.
-
[Position of the 2 N roots of F B( fJ) (0, n/2 and n excluded)
which minimize the value at of the first root and maximize
the measure © _ of the intervals for which FB(B) is negative.]
Par simplicity nous ne considererons
les
ou
N est impair (car le plus favorable du
cas
que
de
de
vue
0_).
point
2 v extrema
Entre 0 et Tr/2, FN possede N + 1
altemativement positif et negatif. Soient ml, m2, ..., Mv
les minima (n6gatifs) compt6s de gauche a droite et
Mi M2 Mv les maxima (positifs) compt6s de droite
a gauche. Soit la sequence d’amplitude :
sequence (32).
=
...
Tableau I.
l’inigalite
(34)
sont
proportionnels aux intervalles auxquels ils correspondent tels qu’ils sont donn6s par (32).
On montre qu’il est ainsi possible de g6n6rer des
F BN : à partir d’une FBO presque quelconque, on construit sur chaque intervalle la figure homoth6tique
dans le rapport de l’intervalle a n/2, la figure 6tant
altemativement droite et retournée pour les intervalles
positifs
et
n6gatifs.
Le tableau I decrit ainsi la fonction FBN(e) sur
chacun des intervalles separant deux racines successives.
On donne sur la figure 9, trois exemples de ces
fonctions.
Ces fonctions sont particulieres :
1) Elles suivent la sequence limite des racines (32)
qui minimise ai et maximalise e -.
2) Elles suivent de facon limite l’in6galit6 de
base (21) en ce sens que pour toute valeur de fl (inferieure a CX2N 11), il existe au moins une valeur de a
Description sur chacun des fragments limites par les racines successives d’une fonction satisfaisant à
de Bell et possédant la sequence limite de racines (voir Rei. (32) du texte) et la sequence limite d’ampli-
(Rel. (34)).
[Description on each of the fragments bounded by its successive roots of a function satisfying Bell’s inequalities
tudes
and possessing
(Rel. (34)).]
the limit sequence of roots
(see Rel. (32) in the text) and
the limit sequence of
amplitudes
403
Trois exemples de fonctions a la Bell FBN(O)
Fig. 9.
la
poss6dant sequence limite de racines (voir Fig. 7) et la
sequence limite d’amplitude des dff6rents lobes (voir
Rel. (32) et (34)).
-
[Three examples of Bell’s functions FBN(O) with the limit
sequence of 2 N roots (Fig. 7) and the limit sequence of
amplitudes (see Rel. (32) and (34)).]
10.
Comparaison de la m6canique quantique et de
trois differentes fonctions a la Bell pr6tendant a la comparaison. Les petites fl6ches indiquent les premiers points
ou FB > 0 (n/4 ... a/2") voir relation (30). F,, --- 0 est la
fonction lineaire limite (A,(O) = 20ln - 1). FB, est la
fonction a une racine, qui coincide avec FM.Q.(O) pour
0 >- Tc/3. FB7 est la fonction a sept racines, qui coincide avec
Fig.
diff6rente de n pour
laquelle (21)
est
satisfait
avec
l’égalité.
La
somme
de deux de ces fonctions est une fonction
FB mais elle n’est en general plus une fonction limite.
La tentative pourrait etre faite d’utiliser un arc de
sinusoide comme figure de base FBO et de constituer
une pseudo base pour les FB (pseudo, puisque les
FB ne constituent pas un espace vectoriel).
Revenant a la question essentielle, comment approcher FM.Q, par une fonction FB, on a represente sur
la figure 10, avec FM.Q., trois fonctions FB int6ressantes
-
Fm.Q.(O) pour n/9 0 - n/8 (X? = n/9; a2 n/8).
[Comparison between quantum mechanics and three com=
peting Bell’s functions. The small arrows indicate the points
where FB(O) > 0, i.e. 7r/4 ... n12" (see Rel. (30)). FB1 = 0
is the linear limit function (jiu(lJ)
20ln - 1) FB1 is the
function with one root, which is equal to FQ,M.(6) for 0 > n/3.
F R7 is the function with seven roots, which is equal to
F Q.M.(lJ) for al n/9 ’ n/8 Oe2’]
=
=
=
pour la
comparaison :
1) FBl = 0 d6jA discut6e
2) une FBl particuliere pour laquelle
apparaissent quand on veut se rapprocher de F M.Q.
petits angles en augmentant N. En fait, on
peut montrer que lorsque N - oo, la figure des FBN
ainsi construite tend a occuper tout 1’espace compris
pour les
FBI - F M.Q. minimum pour 0 n/3
3) une FB7 particuliere pour laquelle de meme
entre les limites
ainsi :
FB7 - FM.Q,
Ce demier
minimum partout ailleurs .
exemple
montre les
difficult6s
limite
qui
FBN(8 I)
N-+oo
=
2 si
e
est un nombre
positif
1.
404
4.5 RETOUR SUR LES CONDITIONS (13) ET (8).
On doit maintenant rappeler que deux conditions
ont 6t6 abandonnees dont on va examiner sommairement les consequences ; ces conditions ne pouvant que
reduire encore les possibilites de rapprochement
de FB avec Fm.Q..
Pour la premiere condition qui s’applique a tous
les cas (photons ou particules de spin 1/2), on doit
revenir a f (0) soumise a (13) :
-
D’une part, cette condition complete la condition (14) sur la d6riv6e qui devient :
D’autre part, pour un N donne, elle r6duit encore
l’intervalle de 0 pour lequel fBN peut etre egal a fM.Q,.
On d6montre que la limite est trouvee par une procédure indiquee sur la figure 11 pour le cas ou N
3.
Pour ce cas, l’intervalle initial 36-450 se reduit à
-37.9-42.60. La fraction conservee diminue et tend
vers zero quand N -+ oo.
=
5. Conclusion.
En utilisant la multiplicite des inegalites de Bell
correspondant a une disposition relative donnee de
directions de mesure, nous avons d’abord montre
que le conflit des predictions de la M.Q. avec les
in6galit6s de Bell est plus systematique que ce qui est
generalement admis. En particulier, pour des directions de polariseurs coplanaires et donc pour les
photons, la M.Q. viole presque partout les in6galit6s
de Bell ou les inegalites generalisees.
Par ailleurs, en etablissant quelques proprietes
g6n6rales des fonctions qui satisfont aux in6galit6s
de Bell, cet article contribue a poursuivre la d6marche
de Bell : examiner les consequences de I’hypoth6se
de parametres supplementaires pre-determinant le
resultat de mesures sur des systemes micro-physiques
a deux particules et permettre leur comparaison avec
les predictions de la mecanique quantique. Grace
aux demonstrations portant sur les derivees (Rel. (15)),
les integrales (Rel. (18)), les valeurs (Rel. (30)), les
intervalles (Rel. (33)), les amplitudes (Rel. (34) et les
proprietes qui s’y rattachent), nous pensons avoir
mis en evidence que l’incompatibilit6 des fonctions
a la Bell fB(6) avec les predictions de la mecanique
quantique est plus radicale que celle qui r6sulte d’un
simple examen des in6galit6s. Pour une fonction .fR
sans point d’inflexion, c’est la fonction lin6aire limite
1 ; fBl(n) fM.Q.(n) 1, dans
(fB,(0) fm.Q.(O)
le cas des particules de spin 1/2) qui se rapproche le
plus des predictions de la m6canique quantique.
Pour des fonctions fB a structure plus compliqu6e
(et en se limitant maintenant a l’in6galit6 de Bell
« coplanaire » qui exprime pour les photons toute
l’in6galit6 de Bell) il devient possible, il est vrai,
de faire coincider _fB(O) et _ f m.Q.(O) pour une valeur
de 0 donnee quelconque (6) (a fexception de la serie
des points n/4, n/8 n/2ft) ou pour une zone angulaire
r6duite, mais il en r6sulte des ecarts plus importants
sur d’autres zones angulaires et un d6saccord global
plus manifeste (voir Figs. 10 et 11).
Pour une situation E.P.R.B., fensemble des resultats
etablis dans cet article mettent mieux en evidence
1’etendue de l’incompatibilit6 de la M.Q. avec les
in6galit6s de Bell.
=
=
-
=
=
...
Fig.
11.
-
La fonction
fB1(H) qui coincide
avec
fm.,).(O)
n/5 et n/4 pour un intervalle maximum compatible
la seconde condition de Bell (Rel. (13) du texte)
(on a entoure d’un cercle les deux regions d’int6r8t) et qui
partout ailleurs rend minimum la difference a FM.Q.«(J).
entre
avec
function foi(H) which maximizes the interval where
fB fQ.M. between n/4 and n/5 as permitted by the second
Bell inequality (Rel. (13)) and which minimizes the difference
fB - fQ.M. everywhere else. A circle has been drawn around
the two regions of interest.]
[The
=
Remerciements.
La deuxieme condition suppl6mentaire ne s’applique
pas au cas des photons mais seulement a celui des
particules de spin 1/2. Elle remplace, rappelons -le,
la condition :
Nous remercions MM. R. Nataf, G. Bogaert et
G. Rotbard d’avoir bien voulu faire une lecture
critique du manuscrit initial, ainsi que les rapporteurs
du Journal de Physique dont les interventions ont
amene des ameliorations et des clarifications importantes.
par 1’ensemble des conditions (9).
Pour les cas ou elle s’applique, cette condition
r6duit encore consid6rablement les possibilites en
particulier pour les petits angles (N > 1).
(6)
Ce n’est pas vrai pour les particules de
spin 1/2.
405
Nous remercions F. Selleri de
avoir communique
publication [11]] qui presente des 6tudes
comparables a celles du § 4 du present article. Nous
nous
une
regrettons que la connaissance tardive (octobre 85)
de cette publication ne nous ait pas permis d’en inclure
la discussion dans la pr6sente redaction.
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