Probabilités et variables aléatoires

Probabilités et
variables aléatoires
Thierry Verdel
StaDsDque
Hasard
HasardetcerDtude
Probabilité
Variablealéatoire
Probabilitédescauses(oul’illusion)
Vraisemblance(ouleréalisme)
La Statistique
Le Hasard
Ilyaunecausedéterminéeàtoutechose.
C’estlehasardquiaconsDtuél’univers.
Lehasardestunecausecachéeàlaraisonhumaine.
Aristote,Physique,LivreII
MaisoùestDieudanstout
cela?
Sire,jen’aipaseubesoinde
ceYehypothèse
Il y a une cause déterminée à toute chose
C’est le hasard qui a constitué l’univers
Le hasard est une cause cachée à la raison humaine
theflapofabu6erfly’swings
inBrazilcansetoffatornado
inTexas
EdwardLorenz
Le hasard est une cause cachée à la raison humaine
Hasard et Certitude
Dansunphénomènealéatoire,iln’estpaspossiblede
prévoirledétaildesréalisaDons,maisilestpossiblede
dégagerunecerDtudeglobale
Aiguilles de Buffon
Parierquedansuneassembléedenpersonnes,2d’entre
elles,aumoins,ontlemêmejouranniversaire
YES !
Applaudissez!
Probabilité
«Sontprobableslesopinionsquisontreçuespartousleshommes,ouparlaplupart
d’entreeux,ouparlessages,etparmicesderniers,soitpartous,soitparlaplupart,soit
enfinparlesplusnotablesetlesplusillustres»
Aristote,Topiques
AndreiNikolaevichKolmogorov
(1903-1987)
événementcertain
événementimpossible
0 ≤ p(A) ≤ 1
p(A ∩ B) = p(A) × p(B|A)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
siAetBsontindépendants
siAetBsontincompaDbles
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Variable aléatoire
Exempledelaloibinomiale
nboules(DragenonexhausDf)
ϖ
K:nbboulesrougesDrées
n
P(K = k) = ( )ϖ k (1 − ϖ) n−k
k
n → ∞, ϖ → 0, λ = n ϖ
P(K = k) = e −λ
λk
×
k!
Caractéristiques
x1, x2, . . . , xn
X{
p1, p2, . . . , pn
µ = E(X) = ∑p i x i
i
σ = V(X) = ∑p i (x i − µ) = E(X − µ)
2
2
i
2
La probabilité des
causes
...oul’illusion...
ThomasBayes
(1702-1761)
?
?
?
p(B|A k )
probabilitéscondiDonnelles
p(A k )
probabilitésapriori
p(A k ) × p(B|A k )
p(A k |B) =
n
∑ k=1 p(A k ) × p(B|A k )
Exemple : le 421
p(A k ) × p(B|A k )
p(A k |B) =
n
∑ k=1 p(A k ) × p(B|A k )
Obtenir421sanstricher
3
2
1
× ×
6
6
6
1
Obtenir421entrichant
Probabilitéapriori
Proba{ilatriché/ilaobtenu421}
1/36
1
×1
2
1
1
1
×1+ ×
2
2
36
1/2
0,97
Capture - Recapture
Oncapturen1poissonsquel’onmarque
Puisoncapturen2poissons…
…parmilesquelsontrouvekpoissonsmarqués
Combieny-a-t-ildepoissonsdanslelac?
n1
k
n2
n1
k
n1n2
=
⇒n=
n2
n
k
n1
k
n2
p(k|n) :nombredecasfavorables/nombretotaldecaspossibles
kmarquésparmilesn1marqués: (
n1
)
k
(n2-k)nonmarquésparmiles(n-n1)nonmarqués: (
p(k|n) =
(
n2parmilesn: (
n
)
n2
n − n1
)
n2 − k
n1
n − n1
)(
)
k
n2 − k
n
( )
n2
n1
k
p(n) × p(k|n)
p(n|k) =
∑p(n) × p(k|n)
n
n2
La vraisemblance
...ouleréalisme...
n = argmax(p(k|n))
p(k|n)
p(k|n) estmaximumsi:
p(k|n) ≥ p(k|n − 1)
et p(k|n) ≥ p(k|n + 1)
(n − 1)
n
(n + 1)
n 1 !(n − n 1 )!n 2 !(n − n 2 )!
p(k|n) =
k!(n 1 − k)!(n 2 − k)!(n − n 1 − n 2 + k)!n!
n1n2
p(k|n + 1)
(n + 1 − n 1 )(n + 1 − n 2 )
=
≤1⇒n≥
−1
p(k|n)
(n + 1 − n 1 − n 2 + k)(n + 1)
k
n1n2
p(k|n)
(n − n 1 )(n − n 2 )
=
≥1⇒n≤
p(k|n − 1)
(n − n 1 − n 2 + k)n
k
n1n2
n1n2
∗
−1≤n ≤
k
k