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5ème 4 2009-2010 Chapitre n°4 : « Angles, caractérisation du parallélisme » I. Reproduire un angle ; rappels 1/ Mesurer un angle (Voir fiche d'exercices) 2/ Construire un angle de mesure donnée ACB=57° et Construire les angles suivants : EFJ =123° Méthode • On trace une demi-droite ; son origine est le sommet de l'angle. • On place le centre du rapporteur sur l'origine de la demi-droite et le zéro d'une graduation au niveau de cette même demi-droite. • On trace une deuxième demi-droite passant par la graduation correspondant à la mesure de l'angle. 3/ Reproduire un angle 5ème 4 2009-2010 II. Propriétés sur les paires d'angles 1/ Angles opposés par le sommet Activité Les angles suivants ne sont pas opposés par le sommet. L'angle suivant est opposé par le sommet. Définitions Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et sont symétriques par rapport à ce sommet. Représentation Il suffit de tracer deux droites sécantes. Elles définissent deux paires d'angles opposés par le sommet. Propriété Des angles opposés par le sommet sont de la même mesure. 5ème 4 2/ Angles adjacents Activité • Ces deux angles ne sont pas adjacents car ils n'ont pas le même sommet. • Ces deux angles sont adjacents : ils ont le même sommet et un côté en commun. • Ces deux angles ne sont pas adjacents car l'un contient l'autre. Définition Deux angles sont adjacents si : • ils ont le même sommet ; • ils ont un côté en commun ; • ils sont situés de part et d'autre du côté en commun. Exemple LOM et MON sont adjacents car : • O est le sommet commun ; • [ OM est le côté commun ; • les deux angles sont « distincts » (pas l'un dans l'autre). 3/ Angles complémentaires Définition Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90 ° . Exemple Les angles ci-contre IEJ et KHL sont complémentaires car 3456=90 ° . 2009-2010 5ème 4 Autres exemples • ABD=36 ° et • FRT =46° et 2009-2010 EFR=54° sont complémentaires car 3654=90 . GHJ =45° ne sont pas complémentaires car 4645≠90 . • Les angles A ' BA et C ' DC sont complémentaires car la somme de leurs mesures est 4149=90 . Cas particulier : angles adjacents formant un angle droit Propriété Deux angles adjacents qui forment un angle droit sont complémentaires. Exemple sont adjacents car Dans la figure ci-contre : EOF et GOF O est le sommet en commun, [ OF est le côté en commun et ils sont de part et d'autre de ce côté [ OF ; forment l'angle l'ensemble des deux angles EOF et GOF droit EOG . EOF GOF =90° . On a donc Application Dans la figure ci-contre, on peut calculer BIC : BIC=90 – 55=45 ° car BIC et BIA sont complémentaires. Les angles AIB et BIC sont adjacents car : • I est le sommet commun ; • [ IB est le côté commun ; • les angles sont de part et autre de [ IB . BIC forment l'angle droit AIC ; ils sont donc complémentaires . AIB et On a donc : BIC=90 – 55=25° . 5ème 4 2009-2010 4/ Angles supplémentaires Définition Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180° . Exemple ABC et DEF sont supplémentaires car 10278=180° Propriété Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires. Exemple Si BCD et DCA sont adjacents et forment un angle plat et si BCD=53 ° alors DCA=180 – 53=127 ° . 5/ Angles alternes-internes Activité A l'oral.... 5ème 4 2009-2010 Description de la configuration Les deux droites d 1 et d 2 définissent une zone interne et une zone externe. Lorsqu'on trace la sécante, elle coupe d 1 et d 2 ; on va « alterner » par rapport à cette troisième droite. Alterner par rapport à la droite rouge c'est « être d'un côté puis de l'autre ». Définition (à comprendre sans apprendre) Deux angles alternes-internes sont deux angles de part et d'autre de la sécante qui sont situés dans la zone interne mais qui ne sont pas adjacents. Exemple Les droites JK et IH coupées par la sécante KH forment des angles alternes et internes : JKH KHL . Propriété Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles alternes-internes de même mesure. 5ème 4 2009-2010 6/ Angles correspondants Définition (à comprendre sans apprendre) On considère deux droites d 1 , d 2 et une sécante. Des angles correspondants vérifient les critères suivants : • l'un est dans la zone interne, l'autre dans la zone externe ; • ils sont du même côté de la sécante ; • ils ne sont pas adjacents. Propriété Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles correspondants de même mesure. III. Réciproques Propriétés réciproques • Si deux droites d 1 et d 2 et une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors d 1 est parallèle à d 2 . • Si deux droites d 1 et d 2 et une sécante forment des angles correspondants de même mesure alors d 1 est parallèle à d 2 5ème 4 IV. Exemple de cours ACE et DCF ; ACD et ECF . • Angles opposés par le sommet : A DC C DF • Angles adjacents : et . • Angles adjacents complémentaires (ou qui forment un angle droit) : GAC et CAD . • Angles adjacents supplémentaires (ou qui forment un angle plat) : ACE et ECF 2009-2010
