Optique - Modèle scalaire des ondes lumineuses

Optique
Modèle scalaire des ondes lumineuses
E. Ouvrard
PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT
16 septembre 2016
E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT)
Optique
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Modèle de propagation
Aspect ondulatoire
Propagation et retard de phase
Milieu de propagation
Retard de propagation
Chemin optique
Retard de phase
Forme de la solution
Fréquences spatio-temporelles
Surfaces d’onde
Cohérence des sources
Localisation de l’information
Train d’onde et largeur spectrale
Longueur d’onde dans le vide
3 Sources lumineuses
Lampe spectrale basse pression
Sources thermiques
L.A.S.E.R
4 Récepteurs d’intensité
Flux
E. Ouvrard (PC
CPGElumineux
Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT)
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Modèle de propagation
Aspect ondulatoire
Source lumineuse
Onde électromagnétique
z
z
Ð
→
E
x
x
Ð
→
B
Ð
→
k
y
y
On s’aperçoit que l’on ne peut pas définir de direction de polarisation de
l’onde, cette caractéristique changeant à chaque train d’onde.
Il sera donc judicieux de caractériser l’onde par une grandeur scalaire.
vibration lumineuse
La vibration lumineuse s(M, t) est une grandeur scalaire associée au
champ électrique caractérisant l’onde lumineuse
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Milieu de propagation
On considère une vibration de fréquence ν
indice du milieu
Dans un milieu transparent linéaire et isotrope d’indice n, la vibration, de
longueur d’onde λ0 dans le vide, se propage dans le milieu à une vitesse v
telle que
Œ
n(λ0 ) =
c
v
Loi de Cauchy
Selon la loi empirique de Cauchy,
n(λ0 ) = A +
B
λ20
Avec A et B constantes
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Phénomène de propagation non dispersive
s(x, t)
s
Retard de propagation
s(x + dx, t + dt)
s(x, t)
t
t+d
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t
x
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x
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Retard de propagation
Activité
Pour une impulsion
τ : durée de propagation de
l’impulsion entre S et M
c : célérité de la lumière dans le
vide
.......
b
t
v : vitesse de propagation de
l’impulsion dans le milieu. On
peut l’exprimer en fonction de c
b
S
n
O
M
b
b
S
M
et n : v = . . .
On peut exprimer τ en fonction de SM et v, puis en fonction de SM , v et
c : τ = ....... = ...........
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Retard de propagation
Pour une onde harmonique
La source émet une onde harmonique s(S, t) = S0 .cos (ωt)
Vibration en M , en fonction de τ :
s(M, t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s(M, t) = S0 .cos (ωt − ϕ(M ))
On peut exprimer le retard de phase ϕ(M ) en fonction de n, SM et
λ0 : ϕ = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Retard de propagation
Pour une onde harmonique
La source émet une onde harmonique s(S, t) = S0 .cos (ωt)
Vibration en M , en fonction de τ : s(M, t) = S0 .cos (ω [t − τ ])
s(M, t) = S0 .cos (ωt − ϕ(M ))
On peut exprimer le retard de phase ϕ(M ) en fonction de n, SM et
2.π.n.SM
λ0 : ϕ =
λ0
Durée de propagation
On perçoit en M la vibration émise en S avec un retard correspondant à la
durée de propagation de l’information entre S et M
b
s (M, t) = s (S, (t − τ ))
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Chemin optique
On s’aperçoit que le retard de propagation dépend bien sur de la distance
de propagation, mais également de l’indice du milieu. On peut alors définir
un terme prenant en compte ces deux caractéristiques
Chemin optique
Le chemin optique (AB) entre les points A et B correspond à la distance
qu’aurait parcouru l’onde dans le vide pendant la durée mise réellement
par l’onde pour parcourir le chemin AB dans le milieu.
(AB) = ∫P ∈Γ n(P ) .dl
Œ
Avec Γ le chemin parcouru
Pour un milieu homogène :
b
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(AB) = n.AB
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Retard de phase
Vibration en M
La vibration de l’onde lumineuse issue d’une source S, en M s’écrit
Œ
s(M, t) = s(S, t).e−i.(ϕSM ) avec ϕSM = ω.τ =
2.π(AB)
λ0
où ϕSM est le retard de phase du à la propagation entre S et M
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
Forme de la solution
Solution progressive
Onde Progressive Harmonique se propageant dans le sens des x croissants
Ð
→
est caractérisée par son vecteur d’onde k = kÐ
u→x avec k le nombre d’onde.
s(x, t) = S0 .cos(ωt − kx + ϕ0 )
Avec k =
n.x
c
On y associe une représentation complexe
s = S0 ei(ωt−kx+ϕ0 ) = S 0 ei(ωt−kx) avec S 0 = S0 eiϕ0
Avec ω la pulsation temporelle et k la pulsation spatiale
Cette solution ne peut pas exister réellement car l’onde s’étend alors sur
une longueur infinie...
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
s(x, t)
Fréquences spatio-tempor
s(x0 , t)
t
x
x0
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Modèle de propagation
Propagation et retard de phase
A t fixé
Fréquences spatio-tempor
A x fixé
s(x, t)
s(x, t)
x
λ
Pulsation
Fréquence
Période
t
T
k
ω
k
σ=
2π
2π 1
λ=
=
k
σ
ω
ν=
2π
2π 1
T=
=
ω
ν
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Modèle de propagation
Surfaces d’onde
Surface d’onde
La surface d’onde correspond à l’ensemble des points de l’espace séparés
du même chemin optique de la source.
Théorème de Malus
Les surfaces d’ondes sont orthogonales en tout point aux rayons lumineux
issus d’une même source ( n’ayant pas subi de phénomène de diffraction)
M
K
J
Exemple : Pour un objet situé dans le
plan focal objet d’une lentille, l’onde
est
Sphérique avant la lentille
Plane ensuite
D’après les définitions précédentes :
(SM ) = (SJ) = (SK)
S
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Cohérence des sources
Localisation de l’information
Passage d’un paquet d’onde en x = 0, avec ωn = ω0 + nδω
s(0, t)
t
s(t) = ∑2n=−2 cos(ωn t − kn x)
s(0, t)
t
s(t) = ∑5n=−5 cos(ωn t − kn x)
Aspect temporel/spatial
L’enrichissement en longueurs d’ondes (ou pulsations) du paquet d’onde
entraine une diminution de la durée du paquet d’onde
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Cohérence des sources
Train d’onde et largeur spectrale
L’émission lumineuse est un mécanisme complexe correspondant à
l’excitation des atomes, ions ou molécules, chacun émettant alors une
vibration lumineuse.
Vu d’un point M , cette vibration peut être vu sous deux aspects
Aspect temporel
Aspect spectral
S0
t
∆ν
τ
ν
Non chromaticité d’une source
On associe à la durée du train d’onde τ une largeur spectrale ∆ν autour
de la fréquence ν d’émission. Ces grandeurs sont reliées par une relation de
la forme
Œ
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τ.∆ν ≡ 1
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Cohérence des sources
Longueur d’onde dans le vide
Dans le cas idéal d’un train d’onde de durée infinie, on pourrait donc
considérer l’onde monochromatique(caractérisée par une fréquence
unique).
Longueur d’onde dans le vide
La vibration lumineuse monochromatique se propageant à la vitesse
c = 3.108 m.s−1 dans le vide, la longueur d’onde λ0 associée à cette
vibration a pour expression
Œ
λ0 =
c
ν
Spectre de la lumière :
380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600
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λ (nm)
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Sources lumineuses
Lampe spectrale basse pression
Principe de fonctionnement
Une lampe à décharge est constituée d’un tube ou d’une ampoule en verre
remplie de gaz ou de vapeur métallique, sous haute ou basse pression.
Exemple de lampes à décharge
Les tubes fluorescents :
On les nomme couramment néons. En fait la lumière émise par la
décharge n’est pas directement visible. C’est une poudre déposée sur
la surface intérieure du tube qui ré-émet dans le domaine visible.
Lampes à vapeur de sodium basse pression :
Ce type de lampe est le type de lampe à décharge le plus efficace,
mais aux dépens d’un rendu de couleurs très pauvre. La lumière jaune
quasi monochromatique réduisent son utilisation à l’éclairage public.
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Sources lumineuses
Sources thermiques
Principe d’émission
Le modèle appliqué à un solide amené à haute température correspond au
modèle du corps noir.
On peut imaginer le solide comme une cavité à l’intérieure de laquelle les
atomes sont soumis à une agitation thermique.
Bien qu’il y ait une quantification de l’énergie émise par ce corps noir, on
peut considérer son spectre comme continu.
Le corps noir va
émettre avec une
intensité
maximum décrite par
la loi de Wien :
2, 9.10−3
λM ax =
T
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Sources lumineuses
L.A.S.E.R
(source : http ://youtu.be/UDxdq_ ogqR8)
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Sources lumineuses
L.A.S.E.R
On obtient donc grâce à ce dispositif :
Des photons émis d’une énergie toujours identique
Une émission régulière correspondant à des trains d’onde de très
grande longueur.
Source LASER
Les sources LASER seront celles que l’on pourra considérer comme
monochromatiques et quasi-ponctuelles.
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Récepteurs d’intensité
Flux lumineux
Flux lumineux
Un faisceau de lumière de section S et de vibration lumineuse s(t) a une
puissance, nommée également flux lumineux :
Φ(M, t) = α.s2 (t)
Φ(t) = α.S0 .cos2 (ωt) = α.
1 + cos (2.ω.t)
2
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Récepteurs d’intensité
Capteur optique
Principe du capteur
Un capteur optique est un système de conversion de puissance lumineuse
Φ en une grandeur (le plus souvent une intensité électrique) A
Ce capteur se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre avec
une fréquence de coupure fc
Les capteurs actuellement sur le marché vérifient tous fc < 1010 Hz
Φ
A
Gdb
fc
0
≡ 2.1014
f (Hz)
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Capteur
Optique
f (Hz)
0
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Récepteurs d’intensité
Capteur optique
Sensibilité du capteur
Le capteur n’est sensible qu’à la valeur moyenne du flux lumineux
A = k. ⟨s2 (t)⟩
On définit la sensibilité du capteur comme étant le gain de la fonction de
transfert
A
S=
Φmoy
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