Cours 2 - Champ électrique

Cours 2 – Champ électrique
PHY332
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rappel – Introduction
Notion de champ
Champ électrique d’une charge ponctuelle
Distribution de charges
Les conducteurs
Mouvement d’une particule chargée dans un champ
électrique uniforme
7. Dipôle
Cours 1
2016-06-09
Grandeur du champ électrique
• Charge test : qtest
•
•
•
Charge positive
𝐹𝐸
Ne perturbe pas l’environnement.
Met en évidence la présence d’un champ électrique.
• Champ électrique :
•
•
•
•
𝑘𝑄
𝐸=
𝑟²
𝑁/𝐶
E est la grandeur du champ électrique au point P
k est la constante de Coulomb, 𝑘 = 9 × 109 𝑆𝐼
Q est la charge qui produit le champ électrique [C].
r est la distance entre la charge Q et le point P [m].
r
q
P
= 𝑞𝑡𝑒𝑠𝑡 𝐸
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Exemple de champ électrique
Position ou situation
E [N/C]
Dans les fils conducteurs
10−2
Onde radio
10−1
Basse atmosphère
102
Près d’un objet chargé par frottement
103
Décharge dans l’air
106
À l’intérieur d’un atome d’hydrogène
5 × 1011
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Vecteur et lignes de champ
𝐹𝐸 = 𝑞𝐸 𝑁/𝐶
𝑘𝑄
𝐸=
𝑢𝑟 𝑁/𝐶
𝑟²
𝑢𝑟 est le vecteur unitaire radial
r
r
P
-
𝐸
+
r
-
P
𝐸
r
qtest
𝐹𝐸
+
qtest
𝐹𝐸
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Vecteur et lignes de champ
•
•
•
•
•
Le champ électrique est tangent aux lignes.
Elles vont d’une charge positive vers une charge négative.
La grandeur du champ électrique est proportionnelle à la densité des lignes.
Elles ne se coupent jamais.
Le nombre de ligne est proportionnel à la grandeur de la charge.
-
→ Expériences
Lignes de champ
+
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Lignes de champ
• Images tirées du logiciel Simulation d’éléments finis (FEMM)
2 sphères chargées +100C
2 sphères chargées +100C et -100 C
Fil infini avec une charge de +100C
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Principe de superposition
Pour calculer le champ électrique résultant au point P :
𝒋
𝑬=
𝑬𝒋
On additionne les vecteurs !!!!!!!
1. Choisissez un système d’axes : Base 𝑖, 𝑗, 𝑘
2. Tracez les vecteurs des champs électriques qui s’appliquent au point P.
• Regardez le type de charge pour savoir comment dessiner le vecteur.
• Le champ électrique est suivant la ligne d’action qui relie la charge au point P.
3. Calculez les grandeurs des champs avec E = 𝒌
𝒒𝒋
𝒓𝟐
• Prenez la distance r et la charge appropriées pour chaque cas
4. Trouvez l’expression vectorielle de chacun des champs qui s’appliquent au point P.
5. Calculez le vecteur 𝐸 résultant
• Vous pouvez ajouter toutes les composantes suivant x, puis suivant y …
• 𝑬𝒊 = 𝑬𝒙 𝒊 + 𝑬𝒚 𝒋 + 𝑬𝒛 𝒌
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Cours 1
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Exercices
Le point P est à l’origine.
q1 = 3µC
q2 = - 5µC.
1. Tracez les vecteurs des champs
électriques qui s’appliquent au
point P.
2. Calculez les grandeurs des
champs qui s’appliquent au
point P.
3. Trouvez l’expression vectorielle
de chacun des champs.
4. Calculez le vecteur 𝐸 résultant.
y
(2;2)
q2
(-2;1)
q1
x
P
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Densité de charge
Densité de charge
Symbole Unité
Linéique
λ
[C/m]
Surfacique
σ
[C/m²]
Volumique
ρ
[C/m³]
Formule
𝑄
𝑑𝑞
ou
ℓ
𝑑ℓ
𝑄
𝑑𝑞
ou
𝐴
𝑑𝐴
𝑄
𝑑𝑞
ou
𝑉
𝑑𝑉
Rappel de la surface et du volume :
Sphère :
 Surface : 4𝜋𝑟²
4
 Volume : 3 𝜋𝑟³
Cylindre :
 Surface (enveloppe) : 2𝜋𝑟ℓ
 Surface (disque) : 𝜋𝑟²
 Volume : 𝜋𝑟²ℓ
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Fil infini uniformément chargé
y
r
y
P
P
θ
θ
r
y
dq
𝑬
y
x
dx
x
𝜆>0
x
x
2𝑘 𝜆
𝐸=
𝑦
𝜆>0
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Anneau uniformément chargé (axe)
y (axe)
z
P
r
dq
dl
y (axe)
z
𝜆>0
P
θ y
b (rayon)
φ
dφ
𝑘𝑦 𝑞
𝐸=
𝑦² + 𝑏²
𝜆>0
y
r
x
𝑬
b (rayon)
3/2
x
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Disque uniformément chargé (axe)
y (axe)
z
z
P
P
α y
r θ
a (rayon)
dx
x
y (axe)
r
α
𝑬
y
a (rayon)
x
x
𝜎>0
𝜎>0
𝐸 = 2𝜋𝑘 𝜎 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
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Plaque infinie uniformément chargé
𝑬
𝜎>0
𝑬
𝜎<0
𝑬
𝜎>0
𝐸𝑝𝑙𝑎𝑞𝑢𝑒
𝜎
=
𝟐𝜀0
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜎
=
𝜀0
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Récapitulatif
• Pour l’orientation, regardez les figures des diapos précédentes.
Objet
Position du
point P
Fil infini
Médiatrice du fil
Anneau
Axe de l’anneau
Disque
Plaque
Axe du disque
Grandeur du
champ
Remarques
2𝑘 𝜆
𝐸=
𝑦
𝑘𝑦 𝑞
𝐸=
𝑦² + 𝑏²
y est la distance directe
entre le point P et le fil.
3/2
b est le rayon de l’anneau
y est la distance directe
entre le point P et le centre
de l’anneau.
𝐸 = 2𝜋𝑘 𝜎 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
𝜎
𝐸=
𝟐𝜀0
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L'équilibre électrostatique
• Lorsqu’un conducteur est à l’équilibre électrostatique, alors :
•
•
•
Le champ électrique à l'intérieur du conducteur est nul.
Le champ électrique proche de la surface est perpendiculaire à celle-ci.
Les charges se répartissent en surface.
• Applications :
•
La cage de Faraday
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Exercice
• On place une charge ponctuelle q1 de 3 nC au centre d’une coquille
sphérique conductrice de rayon interne R1 et de rayon externe R2. La
coquille ne porte pas de charge au départ.
• On laisse l’équilibre se faire, que se passe-t-il ?
q1
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Principe
• On néglige le poids pour l’électron et le proton
• Le champ électrique est uniforme  Accélération constante.
𝑞
𝑎𝐸 =
𝐸 [𝑚 𝑠 2 ]
𝑚
•
•
Masse de l’électron : 𝑚𝑒 = 9,11 × 10−31 𝑘𝑔
Masse de proton : 𝑚𝑝 = 1,67 × 10−27 𝑘𝑔
_me
_mp
• Les équations du mouvement
•
Ici on suppose l’accélération suivant l’axe y
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + ½𝑎𝑦 𝑡²
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡
𝑣𝑦 ² = 𝑣0𝑦 ² + 2𝑎𝑦 (𝑦 − 𝑦0 )
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Oscilloscope
Y
Canon à
électron
X
Écran
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Canon.svg
Drawn with/Dessiné avec InkScape
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Cours 1
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Exercice
•
•
•
•
y
Dessinez les vecteurs 𝐸, 𝐹𝐸 , 𝑎𝐸 et la
trajectoire du proton.
x
Que vaut la force électrique ? Et
l’accélération ?
Quelle est l’expression vectorielle de
la vitesse initiale ?
Que vaut 𝑣𝑦 lorsque le proton est à sa
hauteur maximale ?
•
Quelle est l’expression vectorielle de
la vitesse lorsque le proton revient à
sa hauteur initiale ?
•
Quelle distance x a alors parcouru le
proton ?
+
6 cm
𝑣0
30°
+
𝑁
𝐸 = 12500
𝐶
6
𝑣0 = 5 × 10 𝑚/𝑠
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• Définition
• Moment de la force
+Q
-Q
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Cours 1
Définition
• Moment dipolaire :
•
•
•
Quantité vectorielle qui caractérise le dipôle électrique.
Se note 𝑝
Unité : [C.m]
𝑝 = 𝑄𝑑
𝑝
+Q
-Q
𝑑
• Q est la charge (valeur absolue)
• d est la distance entre les deux charges.
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Cours 1
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Champ électrique le long de la médiatrice
•
Dessinez le moment dipolaire 𝑝 et
exprimez le.
•
Dessinez les vecteurs 𝐸+ et 𝐸− au
point P.
y
+Q
a
x
P
•
x
Quelles simplifications peut on
faire pour le calcul du champ
électrique total ?
a
•
Calculez les grandeurs 𝐸+ et 𝐸− .
•
Déterminez l’expression
vectorielle de 𝐸+ et 𝐸− .
•
Calculez le champ électrique total
au point P.
-Q
2𝑘𝑄𝑎
𝐸𝑃 =
𝑥² + 𝑎² 3/2
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Moment de force exercé sur un dipôle
• Dessinez le moment dipolaire.
𝐸
-
-
+
y
z
𝜏 =𝑝×𝐸
𝑈𝐸 = −𝑝 ∙ 𝐸
x
+
• Dessinez les forces électrique qui
s’appliquent.
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Cours 1
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Questions de compréhension
• Que se passe-t-il lorsqu’un conducteur est en équilibre électrostatique ?
• Dessinez les lignes de champ :
+2q
-q
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Questions de compréhension
• On a une coquille cylindrique conductrice qui porte une charge de
− 2𝜇𝐶. Elle a un rayon interne R1 et un rayon externe R2.
On place au centre de la coquille, le long de son axe, un fil qui porte une
charge de 5𝜇𝐶.
On laisse l’équilibre électrostatique s’établir.
•
•
Faites un schéma de la situation. (une vue en coupe)
Quelle est la répartition des charges une fois l’équilibre établi ?
•
On cherche les charges sur la surface intérieure et extérieure de la coquille.
• Dessinez les vecteurs 𝐸, 𝐹𝐸 , 𝑎𝐸
+
y
x
-
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