Sur une interprétation de la mécanique quantique

Séminaire L. de Broglie.
Théories physiques
A SSÈNE DATZEFF
Sur une interprétation de la mécanique quantique
Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 27 (1957-1958), exp. no 12, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1957-1958__27__A11_0>
© Séminaire L. de Broglie. Théories physiques
(Secrétariat mathématique, Paris), 1957-1958, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire L. de Broglie. Théories physiques » implique
l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute
utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale.
Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
12-01
Faculté des Sciences de Paris
°
i
Séminaire de THEORIES PHYSIQUES
(Séminaire
Louis de
Année
1957/58
février 1958
11
BROGLIE)
SUR UNE INTERPRÉTATION DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
par Assène DATZEFF
1~ Probabilité de
Dans
communication
une
relative à
physique
cules
présence
une
"élémentaires"
en
mécanique quantique.
montré qu’à l’aide d’une certaine hypothèse
etàdes corpusreprésentation matérielle du champ
(l’électron; etc.) on aboutit à une image qualitative
[~1]
nous avons
présence w (x , y , z) de ~ semblable à
celle de la mécanique quantique. Dans ce travail, nous allons chercher la forme
exacte de w.. Il faut d’abord fixer nos conditions de départ qui permettront de
de la distribution des
déterminer
Dans
a.
à
cause
un
Elles sont :
problème déterminé
de mouvement d’un
corpuscule )~
d’énergie E. et
se
’ sur
b. Quand
u
l’émission (ou
c.
probabilité
locale v
de
passe d’un état stationnaire
l’absorption) d’un
ils arriveront à
et de
particules AE ~
U
densité P
=
une
w ,
un
des
~~
à
dérivées,
un
et de
en
[1] .
j~ ~ 0
0
plus
Ek Ek =
corpuscules.identiques
statistique
A.
il s’ensuit
autre
d’énergie
ensemble de
distribution
donnée
(x : y ~ ~ )
photon 03A6kl
Si l’on m6t dans le champ
interaction,
maximum
trouver dans des états stationnaires différents
présence w
une fonction continue et uniforme possédant
la frontière du domaine envisagé.
est
champ U f
un
2 , ... ) d’énergie
fluctuations des
peut
de
dans
corpuscule ?
’~ et(k des
~1,
fréquence
le
de
de
de la création des formations
et de
K
w .
probabilités
sans
de vitesse moyenne
et v vérifiant l’équation hydrodynamique
w
continuité.
se
peut négliger la structure discrète du champ, le mouvement
transforme en mouvement classique. Alors en cas de mouvement sur OX ~ si
x(t1) ~ x(t) ~ x(t2) , x’(t) ~ 0 , on peut poser w(x) = C /V(x) (C -constante)
d. Quand
(Principe
e.
En
on
de
cas
f. Dans
exactes de
correspondance).
de mouvement uniforme
un cas
(U
on a
=
unique concret, où l’expérience
l’énergie
éventuellement
prédites
W
=
Cte.
donne des valeurs
quantifiées
par l’ancienne théorie des
quanta
(par exemple
dans le
quantifiées
valeurs
de l’oscillateur
cas
l’énergie trouvées
de
harmonique, En =
n
h 03BD ,
ici doivent coïncider
avec
U (x ~ U (y ) ~
~v (x) (y) W 3 (Z ~
g. Si dans un problème classique on a
pour le problème correspondant quantique
grand)
n
+
les
celles-là.
on
doit avoir
(probabilités
indépendantes).
Considérons d’abord le mouvement à
potentiel U(x) qui détermine
Admettons
que
dimension
de
force attractive
trouve dans l’état stable
se
présence
de
une
une
dirigée
on
changeant
peut considérer
signe
la
l’origine 0 .
et de
représentation complcxe
suvante de
.
Le
corpuscule
Alors
les
peut
on
doit retomber
normalisation
elles,
(3)
~)
avec fk (-
suggérée
est
la condition
remplie,
=
0
à
d’exiger des fonctions
possèdent
des dérivées
(Lfk- des
’Ak .
comme
par le fait
|fk|2 =W..
les fonctions
cause
qu’en
fk
~)
de wk (-
=
cas
b~
U(x) qui
et
b2
Pour que la condition de
doivent être orthogonales entre
0 . I1 semble naturel aussi
qu’elles soient continues et uniformes et qu’elles
les
Il s’ensuit que l’on peut les consi-
sont des fonctions de
caractérise le
par
d’état stable unique
dérer comme des fonctions propres fk avec des valeurs propres
E, d’une
équation différentielle de deuxième ordre du type Sturm-Liouville de forme
Ici
racines
(C
sur
soit
successivement
trouver
se
de la
généralisation (2)
dans différents
états
décomposer la probabilité de présence W(x, t)
-constantes réelles).
façon suivante
peut
essayer de
fonctions fk
La
A,
on
fk
réelles)
fonctions
probabilité
plus commode
ayant les mêmes
elles. Pour plus de
f (x~ ~ .-entre
successivement de
et
vers
avec un
il serait
d’étudier la fonction de signe variable
que
généralité
Ox
l’axe
d’énergie
~r (x~ ~ 0 . Au lieu de
avec
sur
problème. 03B1 est
x
un
générale
qui doivent dépendre aussi du potentiel
paramètre
introduit pour
égaliser
les
1
dimensions, ~]
U
Pour
|f|2
==
w
=
=
U~
=
~. 2 t *-! ] ~
=
En
-~0
b1 = 0 , b2 =
Cte.
contenu dans les
l’équation (4)
où
cas
simultanément
avec
possède
0
avec
et
n -2014~ co
des valeurs
si
prend pratiquement
un
des valeurs continues. Alors la dernière
aussi pour des valeurs finies de E et pour 03B1 suffisamment
Il s’ensuit que pour des valeurs de x ~ 0 on doit retrouver le mouve-
condition est
Dans
et l’on doit avoir
paramètre U
1
avec
elle
macroscopiques,
en
uniforme,
ce .
résulte
D’un autre côté considérons le
où
spectre discontinu
et
b~ ~
est alors nécessaire d’avoir
Cte
b~ ~
ment
doit être
le mouvement
Cte
cela doit être vrai pour chaque valeur du
il en
0 .
Puisque
petit.
On doit déterminer les
remplie
classique de bk. * Alors
en
cherchant
(4),
on
trouve,
la
remplaçant
ce cas on
dans
doit avoir
d’après d~
W
l’on trouve facilement à l’aide de
dernier terme de
Inéquation (4)
une
en
solution de
arrêtant le
=
(5) b~ -
devient ainsi
E
A
de la forme
développement
v
=
(4)
n=1,
=
2(E - U)/m
=
à
(E -
C~ .
A
et le
=
Conformément à la condition f. appliquons l’équation ainsi trouvée
(4)
à
U==~-x ~
(-oo~x~0153). Elle est de type connu.
Ses fonctions propres sont données par les polynômes d’H6rmite et ses valeurs
B/2A/k En =2n+l~ (n=0~1~2~..,)~
propres En par les relations
n k 03BD ,
sont égales aux valeurs connues En
En écrivant que ces valeurs En
(en négligeant 1 devant 2n , puisque n est grand) on trouve A 8 03C02m/h2 ,
et finalement pour l’équation (4), que l’on appellera ici équation de distribution
de probabilité ~
h/217)
l’oscillateur
harmonique,
=
=
=
c’est-à-dire
Inéquation d’amplitud6
de
Schrödinger
dans le
cas
à
une
dimension.
L’équation de continuité valable d’après c. reste évidemment invariante si
l’on remplace fk par fk exp(i
peut donc,
Y~(t)) ~ puisque
en accord avec a. et la formule de Planck b., essayer de lier la fréquance
à l’état
Ak’
En éliminant
posant
en
(6) (pour
probabilité (équation
de
E~
de distribution d6
(7)
E
et de
=
E)
on
arrive à
Schrëdinger).
de
facilement les résultats trouvés pour le
et aussi pour plusieurs corpuscules.
peut généraliser
dimensiors,
Formalisme mathématique
2.
Nous
U(x)
en
concernant
on
corpuscule
hypothèses
considère le
que celles de la
à unc dimension. On
cas
mécanique
a
A k d’énergie E k
trouver dans des états stationnaires
On
présence
a
introduit la fonction
t)
et la fonction 03A8k(x ,
probabilités
généraliser
résultats.
ici
mouvement
fonctions des
ces
mécanique
exp(i
= fx(x)
de distribution des
de
Ek t/h)
champ
ondulatoire.
probabilité
de
avec
de
l’équation temporaire
Schrödinger). On va
corpuscule est caractérisé par une suite de grandeurs"*
variables canoniques q, p (ici x , px). On
doit admettre dans le
à
d’un
de l’effet des
formations 03A6k
grandeurs doivent également subir des variations
des
et de
présence (l’équation
ces
cause
variations sont
statistiques.
un
champ du
et que dans ce champ
Le corpuscule peut se
vérifiant
quantique,
avec
de trois
admis que le
complexe
cas
ces
ou
dans
microscopique
support matériel (l’éther) sc compose de corpuscules ~~E
peuvent se créer des formations 03A6k (k = 1 , 2 , ...) .
et que
de deux
on
quantique.
mouvement d’un
le
admettant d’autres
Pour sinplifier
Le
cas
(g)
montré que l’on peut retrouver certains résultats de la mécanique
avons
quantique
de la
l’équation temporaire
A l’aide de
En
cas
comme
et des
fluctuations, que
compliquées et chaotiques,
la coordonnée
d’état stationnaire elles auront des
probabilités correspondantes.
On
va
à des lois
der’
valeurs fixes différentes
x
rechercher d’ abord leurs valeurs moyennes.
F(x) une fonction donnée de x . Puisque ’~(x ~ 2 dx
de probabilité de présence
dans l’intervalle dx, la valeur
sera donnée, d’a.près la théorie des probabilités, par l’expression
est la densité
Soit
moyenne de
F
Pour trouver la valeur moyenne d’une fonction de px , on fera usage du principe
de correspondance [2]. Dans le cas d’un point de masse m animé d’un mouvement
classique sur OX dans un champ
"classique" pendant le temps T
U(x~ ~
on a
défini la probabilité de
dans l’intervalle
x1 , x2
par
dW
=
présence
dt/T = mdx/Tpx
[1].
On
en
pour la valeur moyenne
tire,
cette dernière formule
correspondant aux
l’approximation classique de ~~r~~ ~
pour
cas
où l’on trouve la valeur de la constante
03A8(3)
En remplaçant
dans
(1)
on
d’une fonction
classique
B
JC’ ))~
=
:
B(x , px)
x
p ~ D’un autre côté
en
égalisant
voit que l’on retombe à la
on
avait
t~}
dx.(3) à
formule (2) avec
dM .
B .= F .
Soit maintenant
B
formule
L;a
=
facilement la
pensée
suivante. Si l’on
et F
dérivée
ô/ôx agissant
par la
suggère
(1)~ d’après l’expression (3)
remplace dans (l)~~f par l’expression (3)~
sur
l’un des deux facteurs
’jf*
ou
trouve à l’aide de calcul
simples, en négligeant sous l’intégrale le membre de
l’ordre plus élevé par rapport à h (h ~ 0), la valeur moyenne classique px (2).
On trouve par conséquent la valeur exacte de
multipliée par
px (2) en
à savoir
remplaçant dans l’opérations indiquée F par on
h.
facile de vérifiEr quE l’ on trouve la même
l’opérateur (4). Il
*
valeurs p x En interchangeant dans (4) 03A8 et 03A8
et En
temps P x Et P x
un opérateur
ce qui conduit à l’idée que
Si B en (2) est
un polynôme de
px on peut vérifiEr que l’ on trouve la moyenne classiquE B (2)
par unE formulE de la forme de ~4)~ où Px Est remplacé par un opérateur linéaire
où
P
x
Est
.
,~
quE l’on trouvera
En
remplaçant
formellement
px
p x)
dans
Px . Il
par
x
forme que (4). Il s’ensuit que
Est clair aussi que la formule (1 ) est de la
dans le cas quantiquE pour chaque fonction rationnelle entière B(x , px)
p ) on
x
peut écrire
la formule suivante donnant la valeur moyenne dE
accord
lE
La
avec
principe
généralisation
sions est
do
B .ot
étant
cn
corrESpondance
des résultats
précédents
pour les
cas
de deux et de trois dimen-
B(x , ... , px , ...)
Soit maintenant
une
grandeur mécanique d’opérateur
B
correspondant
que l’on sait former et de valeur moyenne correspondante
5 (5). Comment trouvera-t-on les valeurs possibles de B dans le cas quantique
?
trouvé que les valeurs que prenait
l’énergie étaient données par les
valeurs propres de l’équation de la distribution des probabilités (l’équation de
Schrödinger) qui d’après la théorie générale des équations différentielles linéaires
peut êtr6 écrite sous la forme Hf = Ef , H étant l’opérateur de la fonction
énergie. Cela suggère l’idée
que les valeurs possibles de B seraient
les valeurs propres d’une équation de C6 dernier type, à savoir
Nous
avons
(On peut également calcul6r les probabilités
propriétés des fonctions q (6) et ~" ~
cette affirmation par les
de
ces
valeurs
en
utilisant les
,
arguments supplémentaires suivants :
On
peut appuyer
l°
D’après notre hypothèse en (1) la raison principale provoquant
de l’énergie était l’interaction entre le corpuscule fi et les
tion
la
quantifica-
formations
ignore la dynamique interne, ainsi que le caractère plus précis
de ces interactions. Il est probable que ces mêmes raisons imposent à toutes les
des valeurs déterminées, possédant des probabilités
grandeurs mécaniques liées à
k
dont
données,
on
par des
2° Dans
équations
forme
générale (6).
l’équation de E en différentes coordonnées se décompose
équations du même type exprimant de leur côté la quantification
plusieurs
en deux ou trois
de la
cas
grandeurs mécaniques.
d’autres
Les résultats
ci-dessus joints
à
(2) expriment les principes fondamentaux
desquels on peut développer, comme on le sait,
ceux
de
mécanique quantique à l’aid6
tout son formalisme mathématique* Ils ont cependant été établis à la suite d’un
schéma physique, d’après lequel le corpuscule en
mouvement u possède à chaque
de la
instant
position et une
de type classique
une
vitesse bien déterminées et
une
trajectoire qui
n’est pas
et qui a des traits communs avec celle d’un corpuscule
brownien. On arrive ainsi à une interprétation causale de la mécanique quantique.
Des considérations
plus détaillées
3. Sur l’interprétation de
de
ces
résultats
paraîtront
ailleurs.
la mécanique quantique.
paragraphe nous nous efforcerons de trouver une nouvelle base physique
et
interprétation causale des résultats de la mécanique quantique en utilisant
l’hypothèse d’un support matéricl du champ que nous appellerons éther ,et que nous
Dans
ce
nous avons
[1 ] et ~2 ~. Aussi nous contenterons-nous ici d’une inage
idées, en laissant pour un travail suivante l’exposé du côté
introduit
qualitative de
mathématique .
ces
en
Nous admettrons que l’éther possède une structure discentinue, et nous appellerons
AE (atomes d’éther). Elles sont elles-mêmes des
ces éléments des particules
édifices composés. Quand elles sont en état d’excitation et organisées suivant
manière, elles déterminent un champ ordinaire U macroscopique,
microscopiques "élémentaires" (électroms,
électromagnétique ou autre. Les particules
etc.) que nous appellerons des corpuscules ~ ~ sont constituées par des particules AE . Dans certaines conditions du mouvement d’un corpuscule ~ (par exemple
él6ctrons dans un atome) 16 champ U se décompose en groupements ou formation
de corpuscules AE , que nous appellerons des formations 03A6k( k = 1 , 2 , ...)
et $ pouvant échanger leur énergie). Chaque
d’énergie maximum
une dynamique interne comportant un phénomène périodique de fréquence
k possède
Si une
~ E. et .u. étant liée par la formule de
formation ~ se décompose en formation ~ d’ordre inférieur (1 ’" k) , la différensous forme de
ce entre leurs énergies est rayonnée
corpuscule-photon 03A6kl d’éner-
une
certaine
gie. E.~ =
comportant
Une
E-E~
un
possède
particule
~
Ce dernier induit
mière approximation
les deux
trodynamique
dynanique interne
Englobant ’ . Nous
par une onde stationnaire (
un
((P ~~~)
de
de Maxwell n’6st pas valable
ici).
S’il
s’évanouissant à de
vers ~ ) ~
allant
venant ~ ~ ~ _
~ ~
phénomènes périodiques un équilibre dynamique
grandes distances
sa
phénomène périodique dans
représenterons ce phénomène en pre-
phénomène périodique.
domaine ~’ de l’éther
un
aussi
Il existe entre
rayonnement
produit une irrégularité
sans
se
(par exemple due à un obstacle), il en résulte
force mécanique déterminée agissant sur / , et qui influence son mouvement.
particules AE (les k aussi) sont soumises à des fluctuations, d’ où il
dans la structure de
une
Les
résulte que toutes les grandeurs du champ subissent des fluctuations. Quand on
peut négliger la structure discontinue du champ on retombe dans 16 dorlain6 de
validité de la mécanique classique.
Voyons maintenant
les
conséquences
particule )
U(x) détermine
une
n’existe que la
première
fluctuations la
particule ~
ne
~
hypothèses
ci-dessus auront
sur
le
exemple suivant OX quand le potentiel
attractive dirigée vers l’origine 0 . Admettons qu’il
mouvement d’un6
force
que les
se
mouvant par
formation 03A61 .
sera
peut pas décrire par l’équation
possède toujours une position
Sous l’influence
soumise à
un
x
et
une
compliqué que l’on
mécanique classique, quoique
v
bisn déterminées. On peut
mouvement
de mouvement de la
vitesse
et des
naturellement
que des
poser la
SG
positions
qU6stion
do savoir
admettant
en
qu’il
un
état
puscule ~
se
trouve dans l’intervalle
de
(x ,
probabilité
Alors
T
temps
un
6 x) pendant
que
le
se
cor-
les intervalles
définir la densité
on va
la fomule de la
d’après
présence wl
de
o
On dira alors
une.
que durant
x +
, ... , 0394t = 03A3 0394ti ~T
temps 0394t1 , 0394t2
de la
existe
cn
stationnaire A1 . Supposons
trouve dans
est la distribution statisti-
quelle
nécanique
statistique classique
Les fluctuations
être petites pour
Si
quelconque
une
aurait
on
~i 1 ~± co) = 0 ,
limitas suivantes
aux
des
les conditions
ainsi que la condition de nornalisation
existait isolément
(k = 1 , 2 , ...)
formations 03A6k
A k d’énergie E k
état stationnaire
un
doivent
plus importantes étant plus rarcs, les valeurs de
de grandcs va16urs de
lx 1.. On peut donc admettre
et de
probabilité
de
présence
définie plus haut. S’il existait un échange de photons avec le milieu
extériEur~ donc des créations ou des disparitions successives d’états stationnaires,
le corpuscule passerait par ces états d’équilibre Ak en restant un certain temps
wk(x)
dans chacun d’6ux. Alors la densité de
w~x ~ t)
fonction
satisfaite. On
Le tableau
de
t
Et de
x
peut étendre
probabilité
avec
la condition de normalisation
considérations
ces
deviendrait
présence
de
de deux
au cas
qui vient d’être esquissé correspond également
aux
ou
une
(2 ) toujours
trois dimensions.
états stationnaires
d’un atome.
Si
U
=
(mouvement
Cte
vitesse variable à
cas une
classique
probabilité w(x)
ainsi que la
Considérons
un
un mur
corpuscule
U°
probabilité
hauteur
du
mur
une
force
de
0
subit des fluctuations
d’être réfléchi par le
v(x)
(U =
x ~.0 ~ U = U° =
mouvment uniforme venant de
du mur,
mécanique
mur ou
pour
en
agira
x - .-
différents
d’y pénétrer
du domaine 6
variable
ainsi
dans notre
Cte.
en
ondes ~ ~’ + 9 ~)
variable
=
potentiel
les
on aura
corpuscules AE ~ mais pour
sera constante y
nul, la vitesse moyenne
de
Puisque
v)
de vitesse
des fluctuations des
cause
leur effet moyen sera
-
et
uniforme
sur
se
à
pour
Puisque la
p oints ~ ~‘’
a une
certaine
profondeur arbitraire.
une
déforment
~..
oo .
Cte
en
entrant
Elle déterminera
ou en
une
sortant
vitesse
.
qu’une probabilité variable w(x) . On pourra faire
des considérations semblables dans le
cas
d’une barrière de
potentiel
que le
12-09
corpuscule ~
aura
toujours
chance de traverser
une
Considérons aussi l’expérience de YOUNG.
vement uniforme
perpendiculairement à
derrière lequel
se
trouve
un
le
accompagnant
corpuscule
ront en partie par
nature d’interférences
un
autre écran
Soit
écran
B ,
de
un
corpuscule animé
d’un
mou-
muni d6 deux orifices
parallèle
C
s’y réfléchir.
ou
à
B . Les ondes
01 , 02 ,
~~p , + ~ ~ )
partiellement réfléchies par B et passecréant dans l’éther des mouvements ayant la
seront
f
en
(les
fluctuations y existant
l’action d’une force variable sur lc
toujours).
Il s’en suivra
qui passera par exemple par
C . Le phénomène décrit ci-
corpuscule y. ,
l’orifice
~~
quelque part sur l’écran
dessus aura un caractère probabiliste stationnaire et possédera une certaine
stabilité pendant le temps
se trouve
cause
aux environs de
0. ~
et tonbera
des dimensions fini6s du domaine 6 . Evidemment
qu’il
existe
plusieurs orifices
ce
Ainsi le
phénomène
sera
différent suivant
passant par
un orifice
l’existence des
et 1a distribution clo la probabilité aux environs des orifices dépendra-t-elle de tout le dispositif expérimental.
L’expérience effectuée à l’aide de plusieurs corpuscules identiques tels
que
conduira à
un ou
liée
façon analogu6
exprimées
par
quantitative
corpuscule
,
distribution de leur densité moyenne décrite par la
une
w(x , y , z)
0..
corpuscule
toutes les
une
de
au
terminologie ondulatoire.
ces
phénomènes
fonction de distribution
probabilité
uniqueeffectuées
. On peut
expériences
qualitativement traiter d’une
sur des corpuscules élémentaires
Cependant pour avoir une description
il est nécessaire de trouver dans tous
w ~x ~
y ,
z)
c’est
co
que
nous forons
dans
ces cas
un
la
prochain
travail..
BIBLIOGRAPHIE
[1]
DATZEFF (Assène). - L’éther et la relativité
t. 245, 1957, p. 827-829.
[2]
DATZEFF
t.
(Assène). - L’éther
245, 1957, p. 891-894.
et la relativité
.
restreinte,
C.R. Acad. Sc.
Paris,
restreinte,
C.R. Acad. Sc.
Paris,