Sur les nombres de classes de certains corps - E

Sur les nombres de classes de certains corps
quadratiques.
Autor(en): Humbert, Pierre
Objekttyp: Article
Zeitschrift: Commentarii Mathematici Helvetici
Band (Jahr): 12 (1939-1940)
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-12805
PDF erstellt am: 24.05.2017
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Sur les nombres
de classes de certains corps quadratiques
Par Pierre Humbert, Lausanne
Le but de ce travail est de montrer comment on peut construire une
infinité de corps quadratiques imaginaires dans lesquels le groupe des
classes d'idéaux contient un élément d'ordre donné g. La méthode
employée s'inspire de la théorie classique des corps de nombres algébri¬
ques, telle qu'on la trouve exposée par exemple dans le livre de Hecke1).
§1. Densité des nombres sans diviseurs carrés
Soient xun nombre réel positif, et Qun entier rationnel. Nous allons
déterminer le nombre N(x, Q) des entiers sans diviseurs carrés, ne dé¬
passant pas xet premiers àQ.
Supposons d'abord Q1. Ils'agit de déterminer le nombre N(x, 1)
N(x) des entiers n<xsans diviseurs carrés. La même méthode permettra
ensuite de trouver N(x, Q).
Si mest un entier quelconque, ilest clair que —représente le nombre
des n^xdivisibles par m2. Soit a(nx) le nombre des différents p2, ppre¬
mier, par lesquels nest divisible. On a
[X 1
—— étendue àtous les ppremiers est le nombre des
n<xdivisibles par un p2, chaque nétant compté a^ fois.
Si nIlpf est la décomposition de nen facteurs premiers, on a
a(nx) r(n) nombre de g{ ^2
De même
où a(n2) est le nombre des différents facteurs p2 •p2, p{ ^pj premiers, par
lesquels nest divisible. D'une façon générale on a
x) E. Hecke: Vorlesungen ûber die Théorie der algebraischen Zahlen.
Leipzig, 1923.
233

JÀ-^}
où a(M*} est le nombre des différents facteurs de la forme pi pi, p%
premiers, par lesquels nest divisible. On aévidemment
où rr(n) nombre de facteurs premiers entrant dans nàune puissance
supérieure àla première.
Considérons alors l'expression
[*]-27[4l+ 2[-£t|- 2|-rVï-| +---
PL^ JPi +2>2 L"l ^2 JPl,P2,î>3
Dans le 2ème membre, la somme
est égale à0si r>0et à1si r0, c'est-à-dire si nest sans diviseurs
carrés. La somme 2J v(n) représente le nombre N(x) des n^.x sans
n<x
diviseurs carrés. On adonc
Le nombre des termes non nuls de cette somme est au plus égal au
nombre des carrés <x, car àchaque terme —» 5- >0correspond
un carré p\...p\^xbien déterminé, et à2termes différents correspondent
2carrés différents. Le nombre de ces termes non nuls est donc ^|/aT.
Comparons N(x) avec la somme infinie et convergente
L'erreur que l'on commet en prenant -r— pour valeur de N(x) provient
de 2causes: fx1ce
1° Du fait que Ton aremplacé les termes —^ g- >0par—^ ^;
234

l'erreur ainsi commise ne dépasse pas 1pour chacun de ces termes, et leur
nombre est au plus ]/x ;on aainsi une erreur 0]/x 101 <1.
2° Du fait que la somme (2) contient une infinité de termes qui se
x
réduisent à0dans (1), tous ceux pour lesquels—r s- <^ 1. Soit g(x)
Pi'-Pk
l'erreur ainsi commise. En valeur absolue cette erreur ne dépasse pas
2\/x pour x^4, car
E-t-t+--<x Z-<x —
On peut donc écrire
N(x) m+6i ^* avec
(Pour x<4on vérifie numériquement la validité de la formule (3)
sachant que £(2) —)
Supposons maintenant Q>1:
Qîi<Ï2 -••2* >g^ premier, qt =£ q,
Evaluons d'abord le nombre Q(x) des entiers premiers àQet ne dépassant
pas x. Posons y17 Si xest un multiple entier de Q, on aura
Si xest quelconque, on voit par des considérations identiques àcelles qui
ont conduit àla formule (1) que f(4)
(La notation qjQ signifie qdivise Q,)
En supprimant les crochets, on obtient xllil )=#)/ dans le 2ème
qiQ \il
membre de (4) ;l'erreur commise est au plus égale au nombre des termes
entre crochets de ce 2ème membre, donc à2*, où tnombre de facteurs
premiers de Q. Donc
Q(x) yx+ 6avec |0| <2* (5)
Nous sommes alors en mesure d'évaluer le nombre N(x, Q) des entiers
sans diviseurs carrés, premiers àQet <x.
235

Le nombre des entiers premiers kQ,divisibles par p\.. .pj, (pv. .pk, Q)=1,
et ne dépassant pas xest égal au nombre des ntels que
np\---Pl <x (n>Q)
donc au nombre «ter)
Si u4(ff) représente le nombre des facteurs pi... p\ (px... pk, Q) 1,
par lesquels west divisible, on aura comme précédemment
A?-(4P).
n<x
Formons alors l'expression
Q(x)— SGfe)+ 27 f)?
(g) \Pa/ (PiP.,O)-l \PÏPS/ (n,Q)-l
pip*^* (6)
La somme alternée 1—A^ +A^ est égale à1si A{^ 0et à
0si A^>0. L'expression (6) représente donc le nombre cherché
N(x, Q). En remplaçant les Q(y) par leurs valeurs (5), on obtient
*^+q(x,Q) (7)
L'erreur q(x, Q) est en valeur absolue au plus égale à2* multiplié par le
nombre des termes Q(y) dans (6), nombre inférieur, on l'a vu, àVx :
En sommant dans le second membre de (7) sur tous les ppremiers àQ,
on commet une nouvelle erreur inférieure en valeur absolue au reste de la
Cf —
série yU—^ pour n2 >x, donc inférieure à2Vx pour x^4. On obtient
ainsi en définitive
N(x,Q)=yx n(l—~) +y>(x,Q) \V(x,Q) \^(2'+2)Vx. (8)
<Q)i \PI
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