Comploxito topologique relative l une topologie τ sur 06

Compléxité topologique relative à une topologie τsur
PX
Séminaire de topologie algébrique CRMEF Rabat
Y. Derfou…
CRMEF OUJDA
03 Janvier 2015
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Introduction
L’objectif principal de ce travail est de généraliser la notion de compléxité
topologique dé…nie par M. Farber[1]en remplaçant la topologie compacte
ouverte par une quelconque topologie τsur PX .Le TC obtenue sera noté
TC τ,on verra ensuite des exemples de topologies pour lesquelles TC τ
devient un invariant homotopique, on montre aussi que cette nouvelle
approche nous permet d’étendre la notion d’algorithme de plani…cation de
mouvement aux espaces non contractiles.
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Algorithme de plani…cation de mouvement
Dans tout ce paragraphe Xdesigne un espace topologique connexe par
arc, et PX =fγ:[0,1]! Xgl’espace des chemins continues sur X.On
dé…nit l’application π:PX ! XXpar γ! (γ(0),γ(1)).(PX
est équipé de la topologie compacte ouverte )
De…nition
Un algorithme de plani…cation de mouvement est une application continue
s:XX! PX veri…ant : πs=IdXXc.a.d s(A,B)(0) = A
s(A,B)(1) = B
Theorem
Un algorithme de plani…cation de mouvement s :XX! PX existe
si et seulement si X est contractil
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Algorithme de plani…cation de mouvement
Proof.
=))supposons qu’il existe une section continue s:XX! PX
veri…ant : πs=IdXXet …xons un point A02Xconsiderons ensuite
l’homotopie : H(A,t) = s(A0,A)(t)on a évidemment H(A,0) = A0et
H(A,1) = Ace qui montre que Hest une contraction de Xdans fA0g
(=) Supposons qu’il existe A02Xet une contraction Hde Xdans
fA0gconsiderons la section s:XX! PX de…nie par :
s(A,B)(t) = H(A,12t)pour 0 t<1
2
s(A,B)(t) = H(B,2t1)pour 1
2<t1on a bien
πs(A,B) = (A,B)cqfd
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Compléxité topologique selon M. Farber
Soit Xun espace topologique et PX =fγ:[0,1]! Xgl’espace des
chemins continues de X. On dé…nit la projection π:PX ! XXpar
γ! (γ(0),γ(1)).(PX est équipé de la topologie Compacte Ouverte
( ie compact open topology )
De…nition
La complexité topologique de Xest le plus petit entier kpour lequel Il
existe un recouvrement Ouvert fUigk
i=1de XXtel que :
Pour tout i2 f1, ..., kgil existe une locale section si:Ui! PX ( ie
application continue si:si:Ui! PX telle que πsi(x) = x8x2Ui)
On écrit alors TC (X) = k( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les
conditions ci-dessus on pose TC (X) = ∞)
proposition
(TC (X) = 1)() Xest contractil
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