Comploxito topologique relative l une topologie τ sur 06

Compléxité topologique relative à une topologie τ sur
PX
Séminaire de topologie algébrique CRMEF Rabat
Y. Derfou…
CRMEF OUJDA
03 Janvier 2015
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03 Janvier 2015
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Introduction
L’objectif principal de ce travail est de généraliser la notion de compléxité
topologique dé…nie par M. Farber[1] en remplaçant la topologie compacte
ouverte par une quelconque topologie τ sur PX . Le TC obtenue sera noté
TC τ , on verra ensuite des exemples de topologies pour lesquelles TC τ
devient un invariant homotopique, on montre aussi que cette nouvelle
approche nous permet d’étendre la notion d’algorithme de plani…cation de
mouvement aux espaces non contractiles.
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Algorithme de plani…cation de mouvement
Dans tout ce paragraphe X designe un espace topologique connexe par
arc, et PX = fγ : [0, 1] ! X g l’espace des chemins continues sur X . On
dé…nit l’application π : PX ! X X par γ ! (γ(0), γ(1)). ( PX
est équipé de la topologie compacte ouverte )
De…nition
Un algorithme de plani…cation de mouvement est une application continue
s (A, B )(0) = A
s : X X ! PX veri…ant : π s = IdX X c.a.d
s (A, B )(1) = B
Theorem
Un algorithme de plani…cation de mouvement s : X
si et seulement si X est contractil
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X
! PX existe
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Algorithme de plani…cation de mouvement
Proof.
=)) supposons qu’il existe une section continue s : X X ! PX
veri…ant : π s = IdX X et …xons un point A0 2 X considerons ensuite
l’homotopie : H (A, t ) = s (A0 , A)(t ) on a évidemment H (A, 0) = A0 et
H (A, 1) = A ce qui montre que H est une contraction de X dans fA0 g
(=) Supposons qu’il existe A0 2 X et une contraction H de X dans
fA0 g considerons la section s : X X ! PX de…nie par :
s (A, B )(t ) = H (A, 1 2t ) pour 0 t < 21
on a bien
s (A, B )(t ) = H (B, 2t 1) pour 21 < t 1
π s (A, B ) = (A, B ) cqfd
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Compléxité topologique selon M. Farber
Soit X un espace topologique et PX = fγ : [0, 1] ! X g l’espace des
chemins continues de X . On dé…nit la projection π : PX ! X X par
γ ! (γ(0), γ(1)). ( PX est équipé de la topologie Compacte Ouverte
( ie compact open topology )
De…nition
La complexité topologique de X est le plus petit entier k pour lequel Il
existe un recouvrement Ouvert fUi gki=1 de X X tel que :
Pour tout i 2 f1, ..., k g il existe une locale section si : Ui ! PX ( ie
application continue si : si : Ui ! PX telle que π si (x ) = x 8x 2 Ui )
On écrit alors TC (X ) = k ( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les
conditions ci-dessus on pose TC (X ) = ∞)
proposition
(TC (X ) = 1) () X est contractil
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Compléxité topologique selon M. Farber
Example
Si X = fx0 g alors TC (X ) = 1
Example
Si C est une partie convexe d’un evn alors TC (C ) = 1, en particulier
pour toute boule B d’un evn E on a TC (B ) = 1
Example
TC (S 1 ) = 2
Lemma
Si G est un groupe topologique alors TC (G ) = cat (G )
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Complexité topologique associée à une topologie sur PX
On munit cette fois ci PX d’une autre topologie τ autre que la topologie
compacte ouverte et le TC qu’on obtient sera noté TC τ .
On dé…nit un algorithme de plani…cation de mouvement sur X X
relativement à la topologie τ comme étant une application continue
s : X X ! (PX , τ ) véri…ant : π s = IdX X . D’après les travaux de
M.Farber [1], un tel algorithme existe si et seulement si X est contractile,
mais ici la réciproque est inexacte, ce qui permet d’étendre les algorithmes
de plani…cation de mouvement sur des espaces non contractils.
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Complexité topologique associée à une topologie sur PX
notation
La topologie compacte ouverte sera notée τ CO
De…nition
La complexité topologique de X relativement à la topologie τ dé…nie sur
PX est le plus petit entier k pour lequel Il existe un recouvrement Ouvert
fUi gki=1 de X X tel que :
Pour tout i 2 f1, ..., k g il existe une locale section si : Ui ! PX ( ie
application continue si : si : Ui ! (PX , τ ) telle que π si (x ) = x
8 x 2 Ui )
On écrit alors TC τ (X ) = k ( S’il n’existe aucun entier k veri…ant les
conditions ci-dessus on pose TC τ (X ) = ∞)
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Complexité topologique associée à une topologie sur PX
proposition
Si τ 1
τ 2 alors TC τ1 (X ) < TC τ2 (X )
proposition
Si X est un espace munit d’une topologie τ moin …ne que τ CO et si de
plus X est contractil alors il existe au moin un algorithme de plani…cation
de mouvement s : X X ! X ( la réciproque est fausse en générale )
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Cas d’une topologie moin …ne que la topologie compacte
ouverte
Corollary
Pour toute topologie τ moin …ne que τ CO on a : ( X contractil
=) TC τ (X ) = 1)
La réciproque est fausse en générale
proposition
Si G est un groupe topologique et τ une topologie moin …ne que τ CO
alors TC τ (G ) cat (G )
Proof.
Il su¢ t de remarquer que TC τ (G )
cqfd
TC (G ) et que TC (G ) = cat (G )
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
remarque
La topologie de la convergence simple τ S sur PX est la moin …ne rendant
continue les et : PX ! X γ 7 ! γ(t )
Theorem
Dans le cas de la topologie de la convergence simple τ S , TC τS est un
invariant homotopique.
Lemma
Soient X et Y deux espaces topologiques et f : X ! Y une application
continue, alors l’application ϕ : PX ! PY γ 7 ! f γ est continue pour
la topologie de la convergence simple.
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
Proof.
(du Lemme ) Soit γ0 2 PX et soit W = W (
f γ0 , t0 , Vf γ0 (t0 ) ) = fα 2 PY /α(t0 ) 2 Vf γ0 (t0 ) g un voisinage
élémentaire de ϕ(γ0 ) dans PY . On véri…e facilement que ϕ 1 [W (
f γ0 , t0 , Vf γ0 (t0 ) )] = W (γ0 , t0 , f 1 (Vγ0 (t0 ) ) qui est bien un voisinage
élémentaire de γ0 dans PX .
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
L’invariant homotopique TC associé à la topologie de la convergence simple
Proof.
(Preuve du thérème ) =)) Supposons qu’il existe f : X ! Y et
g : Y ! X deux applications continues telles que f g soit homotope
h0 = IdY
à IdY . Soit donc ht : Y ! Y une homotopie telle que :
h1 = f g
et soit k = TC τS (X ), il existe donc U1 , ...Uk des ouverts de X X et
des sections continues si : Ui ! (PX , τ s ) telles que : π si = IdU i et
[ Ui = X X
1 i k
Pour chaque i k on pose Vi = (g g ) 1 (Ui ), V1 , ..., Vk constitut
évidemment un recouvement ouvert de Y Y
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
L’invariant homotopique TC associé à la topologie de la convergence simple
Proof.
(Preuve du thérème ) on dé…nit ensuite pour chaque i k la section
αi : Vi ! PY
8 par :
1
h3t (A) pour 0 t
<
3
2
f [si (g (A), g (B ))(3t 1)] pour 31
t
αi (A, B )(t )
on a
3
:
h3 (1 t ) (B ) pour 32
t 1
evidemment αi (A, B )(0) = A et αi (A, B )(1) = B Il reste maintenant à
prouver que les αi sont continue, soit alors (A0 , B0 ) 2 Vi
Y Y et
W = W (αi (A0 , B0 ), t1 , t2 , ..., tk , Vαi (A 0 ,B 0 )(t1 ), ..., Vαi (A 0 ,B 0 )(tk ) ) = fγ 2
PY / γ(tj ) 2 Vαi (A 0 ,B 0 )(tj ) pour 1 j k g un voisinage élémentaire de
αi (A0 , B0 ) dans PY pour la topologie de la convergence simple.
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
L’invariant homotopique TC associé à la topologie de la convergence simple
Proof.
(Preuve du thérème ) Montrons maintenant que αi 1 (W ) est un voisinage
de (A0 , B0 ) dans Vi
Y Y , il su¢ t de prouver le résultat pour un
voisinage de la forme : W = W (αi (A0 , B0 ), t0 , Vαi (A 0 ,B 0 )(t0 ) ).
1er Cas : t0 2 [0, 13 ] W = fγ 2 PY /γ(t0 ) 2 Vh3t (A ) g
0
αi 1 (W ) = f(A, B ) 2 Vi /h3t0 (A) 2 Vh3t (A 0 ) g =
0
f(A, B )/h3t0 P1 (A, B ) 2 Vh3t0 P1 (A0 ,B0 ) ( où P1 est la projection
Y Y ! Y (A, B ) 7 ! A ). On a donc
αi 1 (W ) = (h3t0 P1 ) 1 (Vh3t P1 (A 0 ,B 0 ) ) qui est bien un voisinage de
0
(A0 , B0 ) puisque h3t0 P1 est continue.
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
L’invariant homotopique TC associé à la topologie de la convergence simple
Proof.
(Preuve du thérème )
2ème Cas t0 2] 13 , 23 ] W = fγ 2 PY /γ(t0 ) 2 V[f si (g (A 0 ),g (B 0 )](3t0 1 ) g et
αi 1 (W ) = f(A, B ) 2 Vi /[f si (g (A), g (B )](3t0 1) 2
V[f si (g (A 0 ),g (B 0 )](3t0 1 ) g et en vertu du lemme précedent l’application
(A, B ) 7 ! f si (g (A), g (B ) est continue et en tenant compte de la
remarque précédente l’application
ξ : (A, B ) 7 ! [f si (g (A), g (B )](3t0 1) est continue et par suite
αi 1 (W ) = ξ 1 (Vξ (A 0 ,B 0 ) ) est un voisinage de (A0 , B0 )
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Compléxité topologique associée à la topologie de la
convergence simple.
L’invariant homotopique TC associé à la topologie de la convergence simple
Proof.
(Preuve du thérème )
3ème Cas : t0 2] 23 , 1] se traite de la même manière que le premier cas en
considérant la projection P2 : Y Y ! Y (A, B ) 7 ! B ) et par suite
les applications αi : Vi ! PY sont continue, ce qui entraine
TC τS (Y ) k = TC τS (X ) et de la même manière on montre que
TC τS (Y ) TC τS (X ) cqfd
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Comparaison de TC ( convergence simple ) avec LS
category
On rappelle que la topologie de la convergence simple est la moin …ne qui
rend continues les et : PX ! X γ 7 ! et (γ) = γ(t ). Et comme la
topologie compacte ouverte rend continues les applications d’évaluations
e : PX I ! X (γ, t ) 7 ! e (γ, t ) = γ(t ). On deduit que la topologie de
la convergence simple τ S est moin …ne que celle compacte ouverte τ CO ,
ce qui conduit au résultat suivant:
Proposition
TC τS (X ) TC (X )
2cat (X )
1.
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Comparaison de TC ( convergence simple ) avec LS
category
Corollary
Si X est paracompact et connexe par arc alors
TC τS (X ) TC (X ) 2 dim X + 1
Theorem
Si G est un groupe topologique alors TC τS (G )
cat (G )
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Problèmes soulevés
Problem
Peut on comparer TC τS (X ) à cat (X ). A quelle condition a -t- on l’égalité
? ( cas des groupes topologiques )
Problem
Sous quelles conditions pour une topologie τ, TC τ est il un invariant
homotopique ?
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Bibliographie
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[10] Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle .Enseignement
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[12] N.Bourbaki, éléments de mathématiques, Topologie générale chapitre de 5 à
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