01 PGCD

Diviseurs d’un entier. PGCD. Algorithme d’ Euclide.
1. Diviseurs d’un nombre entier non nul
A) Diviseurs d’un entier naturel
Les diviseurs de 35 sont
1 ; 5
35 ; 7
Les diviseurs de 72 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4
72 ; 36 ; 24 ; 18
; 6 ; 8
; 12 ;
B) Division euclidienne
avec r < d et r ≠ 0
— D= d×q+ r
q n’est pas un diviseur de D
avec
— D= d×q+ r
q est un diviseur de D
r = 0 donc D = d × q
dividende D
diviseur d
89
7
19
12
5
C) Remarques
1. Vocabulaire
5 est un diviseur de 35
5 divise 35
35 est un multiple de 5
35 est divisible par 5
quotient entier q
reste r
reste < diviseur
2. Propriété
Tout nombre entier autre que 0 et 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même.
Exemple : Diviseurs de 11 : 1 et 11
3. Définition :
Un nombre entier qui n’a que deux diviseurs est appelé un nombre premier.
Exemple : 11 est un nombre premier.
4. Début de la liste des nombres premiers
2 / 3 / 5 / 7 / 11 / 13 / 17 / 19 / 23 / 29 / 31 / 37 / 41 . . . .
La liste est illimitée
5. Critères de divisibilité
Il faut savoir reconnaître rapidement un nombre divisible par 2 ; par 3 ; par 5 ;
par 9 ; par 10 ou 100 ou 1 000. ( voir page 2 )
Sinon, il faut faire la division euclidienne.
Divisibilité
Par 2 :
Un nbre est divisible par 2 lorsqu’il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Exemple
204 est divisible par 2.
204 = 2 x 102
1 305 n’est pas divisible par 2.
Par 3 :
Un nbre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 3.
Exemple
102 est divisible par 3 . ( 1 + 0 + 2 = 3 )
et 102 = 3 x 34
643 n’est pas divisible par 3. ( 6 + 4 + 3 = 13 )
Par 4 :
Un nbre est divisible par 4 lorsque le nbre formé par les 2 derniers chiffres est dans la table des 4.
Exemple
124 est divisible par 4. ( en effet, 24 est dans la table des 4 )
Pour trouver le quotient, on divise le nombre deux fois de suite par 2.
124 : 2 = 62 et 62 : 2 = 31 donc 124 = 4 x 31
334 n’est pas divisible par 4. ( 34 n’est pas dans la tables des 4 )
Par 5 :
Un nbre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5.
Exemple
85 est divisible par 5. 85 = 5 x 17
103 n’est pas divisible par 5.
Par 9 :
Un nbre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 9.
8 325 est divisible par 9.
( 8 + 3 + 2 + 5 = 18 )
1 009 n’est pas divisible par 9.
( 1 + 9 = 10 )
Par 10 ou 100 :
ou par 1 000
Exemple
et
8 325 = 9 x 925
Un nbre est divisible par 10 ou 100 ou 1 000 . . . lorsqu’il se termine par 0 ou 00 ou 000 . . .
Exemple
120 est divisible par 10.
120 = 10 x 12
3 500 est divisible par 10 et aussi par 100.
3 500 = 10 x 350
3 500 = 100 x 35
Par 25 :
Un nbre est divisible par 25 lorsqu’il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou 75.
Exemple
350 est divisible par 25.
Pour trouver le quotient, on utilise le fait qu’il faut 4 fois 25 pour faire 100
350 = 300 + 50 / 300 = 12 fois 25 et 50 = 2 fois 25
donc
350 = 14 x 25
2. Diviseurs communs à deux entiers
A) Exemple
Quels sont les diviseurs communs à 48 et 72 ?
Les diviseurs de 48 sont
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6
48 ; 24 ; 16 ; 12 ; 8
Les diviseurs de 72 sont
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;
72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 12 ;
Les diviseurs communs sont donc :
8
9
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
B) Définition
Parmi les diviseurs communs à deux entiers, il en existe un plus grand que les autres et on
l’appelle le PGCD.
Notation : PGCD ( 72 ; 48 ) = 24
C) Remarques
1. Le PGCD est plus petit que les nombres donnés.
24 < 72
et
24 < 48
2. Les autres diviseurs communs sont les nombres qui divisent le PGCD.
Les diviseurs communs à deux nombres entiers sont les nombres qui divisent leur PGCD.
D) Définition
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple : 5 et 16 sont premiers entre eux
Attention : ne pas confondre un nombre premier et deux nombres premiers entre eux
15 et 28 sont premiers entre eux. Mais 15 et 28 ne sont pas des nombres premiers.
E) Propriété
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
15
28
est une fraction irréductible.
Pour obtenir directement la fraction irréductible égale à une fraction donnée, on divise ses
termes par leur PGCD.
3. Savoir trouver le PGCD de deux entiers par différences successives.
Savoir trouver le PGCD de deux entiers par divisions successives
A) Propriété
5 est un diviseur de 35 et 100.
3 est un diviseur de 33 et 27.
5 est aussi un diviseur de 100 – 35 = 65
3 est aussi un diviseur de 33 – 27 = 6
Si un entier en divise deux autres, il divise aussi leur différence.
B) Utiliser l’algorithme par différences
Quel est le PGCD de 9 154 et 2 369 ?
Raisonnement : Le PGCD est un diviseur de
9 154 et 2369.
Il divise donc leur différence :
9 154 – 2 369 = 6 785
Le PGCD est donc un diviseur de 6 785 et
2 369. Il divise donc leur différence :
6 785 – 2 369 = 4416
. . . etc . . .
Voici les soustractions :
C) Utiliser l’algorithme par divisions
Les lignes 1 ; 2 et 3 peuvent se remplacer par
la division euclidienne de 9 154 par 2369.
9 154 : 2 369 = 3 ( reste 2 047 )
ou
9 154 = 2 369 x 3 + 2 047
Voici les divisions euclidiennes :
Ligne 1
9 154 = 2 369 x
3
+ 2 047
Ligne 2
2 369 = 2 047 x
1
+ 322
Ligne 3
2 047 =
322 x
6
+ 115
Ligne 1
9 154
– 2 369 = 6 785
Ligne 4
322 =
115 x
2
+ 92
Ligne 2
6 785
– 2 369 = 4 416
Ligne 5
115 =
92 x
1
+ 23
Ligne 3
4 416
– 2 369 = 2 047
Ligne 6
92 =
23 x
4
+ 0
Ligne 4
2 369
– 2 047 = 322
Ligne 5
2 047
–
322
= 1 725
Ligne 6
1 725
–
322
= 1 403
Ligne 7
1 403
–
322
= 1 081
Ligne 8
1 081
–
322
= 759
Ligne 9
759
–
322
= 437
Ligne 10
437
–
322
= 115
Ligne 11
322
–
115
= 207
Ligne 12
207
–
115
= 92
Ligne 13
115
–
92
= 23
Ligne 14
92
–
23
= 69
Ligne 15
69
–
23
= 46
Ligne 16
46
–
23
= 23
Ligne 17
23
–
23
= 0
On s’arrête lorsque le reste devient 0.
PGCD ( 9 154 ; 2 369 ) = 23
9 154 = 23 x 3982
369 = 23 x 103
On s’arrête lorsque le reste devient 0.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD ( 9 154 ; 2 369 ) = 23
9 154 = 23 x 3982
369 = 23 x 103
Cette fois-ci, 6 lignes suffisent.
La méthode est plus rapide.
Cette méthode s’appelle l’algorithme d’Euclide.
4. Utiliser le PGCD pour réduire une fraction dont les termes sont très grands
Exemple
Simplifier la fraction
558
324
.
Calculons le PGCD par l’algorithme d’Euclide :
=
324
x
1
+ 234
Ligne 2
324 =
234
x
1
+ 90
Ligne 3
234 =
90
x
2
+ 54
Ligne 4
90 =
54
x
1
+ 36
Ligne 1
558
Ligne 5
54 =
36
x
1
+ 18
Ligne 6
36 =
18
x
2
+ 0
PGCD ( 558 ; 324 ) = 18
558 = 18 x 31
324 = 18 x 18
Donc :
558
324
=
18 × 31
18 × 18
=
31
18
5. Exemple de problème nécessitant la recherche d’un PGCD
Problème
Pierre a gagné 336 sucettes et 238 caramels à un jeu. N’étant pas gourmand de
bonbons, il décide de les donner à des amis. Il ne veut pas faire de jaloux : même nombre de
sucettes et même nombre de caramels. Et il veut tout donner.
Combien d’amis, au maximum, pourront bénéficier de sa générosité ?
Réponse
Soit A le nombre d’amis maximum auxquels il peut donner ses bonbons.
Comme les amis reçoivent le même nbre de sucettes et que toutes les sucettes sont données,
A est un diviseur de 336.
Comme les amis reçoivent le même nbre de caramels et que tous les caramels sont donnés, A
est un diviseur de 238.
Donc A est le PGCD de 336 et 238.
Cherchons ce PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Ligne 1
336 =
238
x
1
+ 98
Ligne 2
238 =
98
x
2
+ 42
Ligne 3
98 =
42
x
2
+ 14
Ligne 4
42 =
14
x
3
+ 0
PGCD( 336 ; 238 ) = 14
336 = 14 x 24
238 = 14 x 17
Pierre peut distribuer ses bonbons entre 14 de ses amis.
Chacun recevra 24 sucettes et 17 caramels.
6. Le point sur les nombres que l’on connaît
1. Dessine un cadre contenant tous les nombres entiers naturels.
2. Un nombre entier est-il un nombre relatif ? . . . . . Dessine un cadre contenant tous les nombres relatifs.
3. Un nombre relatif peut-il s’écrire sous forme de nombre décimal ? . . . .
Dessine un cadre contenant tous les nombres décimaux.
4. Un nombre relatif décimal peut-il s’écrire sous forme de fraction ? . . . .
Dessine un cadre contenant tous ces nombres qu’on appelle les nombres rationnels.
5. Il reste trois nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction. Ce ne sont pas des nombres
rationnels. On les appelle des nombres irrationnels.
6. La réunion des nombres rationnels et irrationnels forme l’ensemble des nombres réels.
Dessine un cadre contenant tous les nbres réels.
Réponse
Nbres entiers naturels
Nbres entiers relatifs
Nbres décimaux relatifs
Nbres rationnels relatifs
Nbres réels