Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité

Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 2 (6 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
On donne les matrices M=⎛
⎝
111
1−11
421
⎞
⎠et I=⎛
⎝
100
010
001
⎞
⎠.
Partie A
1) Déterminer la matrice M2.OndonneM3=⎛
⎝
20 10 11
12 2 9
42 20 21
⎞
⎠.
2) Vérifier que M3=M2+8M+6I.
3) En déduire que Mest inversible et que M−1=1
6%M2−M−8I&.
Partie B. Etude d’un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a,bet ctels que la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse par les
points A(1 ; 1),B(−1; −1) et C(2 ; 5).
1) Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a,bet ctels que
M⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠.
2) Calculer les nombres a,bet cet vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C. Retour au cas général
Les nombres a,b,c,p,q,rsont des entiers.
Dans un repère 'O, −→ i,
−→j(,onconsidèrelespointsA(1 ; p),B(−1; q)et C(2 ; r).
On cherche des valeurs de p,qet rpour qu’il existe une parabole d’équation y=ax2+bx +cpassant par A,Bet C.
1) Démontrer que si ⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=M−1⎛
⎝
p
q
r
⎞
⎠avec a,bet centiers, alors
⎧
⎨
⎩
−3p+q+2r≡0 [6]
3p−3q≡0 [6]
6p+2q−2r≡0 [6]
2) En déduire que ,q−r≡0 [3]
p−q≡0 [2] .
3) Réciproquement, on admet que si ⎧
⎨
⎩
q−r≡0 [3]
p−q≡0 [2]
A, B, C ne sont pas alignés
,alorsilexistetroisentiersa,bet ctels que
la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse par les points A,Bet C.
a) Montrer que les points A,Bet Csont alignés si et seulement si 2r+q−3p=0.
b) On choisit p=7.Déterminerdesentiersq,r,a,bet ctels que la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse
par les points A,Bet C.
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EXERCICE 2 : corrigé
Partie A
1)M2=⎛
⎝
111
1−11
421
⎞
⎠⎛ ⎝
111
1−11
421
⎞
⎠=⎛ ⎝
623
441
10 4 7
⎞
⎠.
2)
M2+8M+6I=⎛
⎝
623
441
10 4 7
⎞
⎠+8⎛ ⎝
111
1−11
421
⎞
⎠+6⎛ ⎝
100
010
001
⎞
⎠
=⎛
⎝
623
441
10 4 7
⎞
⎠+⎛ ⎝
888
8−88
32 16 8
⎞
⎠+⎛ ⎝
600
060
006
⎞
⎠=⎛ ⎝
20 10 11
12 2 9
42 20 21
⎞
⎠
=M3.
3) On en déduit que M3−M2−8M=6Ipuis que
M×1
6%M2−M−8I&=1 6%M2−M−8I&×M=I.
Donc la matrice Mest inversible et M−1=1
6%M2−M−8I&.
Partie B
1) On note Pla parabole d’équation y=ax2+bx +c.
A∈P,B∈Pet C∈P⇔⎧
⎨
⎩
a+b+c=1
a−b+c=−1
4a+2b+c=5
⇔⎛
⎝
111
1−11
421
⎞
⎠⎛ ⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠
⇔M⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠.
2) Si M⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠,alorsM−1M⎛ ⎝
a
b
c
⎞
⎠=M−1⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠puis ⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=M−1⎛
⎝
1
−1
5
⎞
⎠et si ⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=
M−1⎛
⎝
1
−1
5
⎞
⎠,alorsM⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=MM−1⎛
⎝
1
−1
5
⎞
⎠puis M⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠.Finalement,
A∈P,B∈Pet C∈P⇔⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=M−1⎛
⎝
1
−1
5
⎞
⎠.
D’après la question 3) de la partie A,
M−1=1
6%M2−M−8I&
=1
6⎡
⎣⎛ ⎝
623
441
10 4 7
⎞
⎠−⎛
⎝
111
1−11
421
⎞
⎠−8⎛ ⎝
100
010
001
⎞
⎠⎤ ⎦
=1
6⎛
⎝
−31 2
3−30
62−2
⎞
⎠.
On en déduit que
⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=1
6⎛
⎝
−31 2
3−30
62−2
⎞
⎠⎛ ⎝
1
−1
5
⎞
⎠=1
6⎛
⎝
6
6
−6
⎞
⎠=⎛
⎝
1
1
−1
⎞
⎠.
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Donc, Pest la parabole d’équation y=x2+x−1.
Partie C
1) Si ⎛
⎝
a
b
c
⎞
⎠=M−1⎛
⎝
p
q
r
⎞
⎠,alors−3p+q+2r
6=a,3p−3q 6=bet 6p+2q−2r 6=c.Onendéduitque
−3p+q+2r
6,3p−3q 6et 6p+2q−2r 6sont des entiers relatifs ou encore que
⎧
⎨
⎩
−3p+q+2r≡0 [6]
3p−3q≡0 [6]
6p+2q−2r≡0 [6]
2) D’après la première équation, il existe un entier relatif ktel que −3p+q+2r=6k.Maisalors,q+2r=3p+6k
puis
q−r=3p−3r+6k=3(p−r+6k).
Puisque p−r+6kest un entier relatif, ceci montre que q−r≡0 [3].
D’après la première équation, il existe un entier relatif ktel que 3p−3q=6kou encore p−q=2k.Cecimontreque
p−q≡0 [2].Ainsi,nécessairement,
.q−r≡0 [3]
p−q≡0 [2] .
3) a) Le vecteur −−→ AB apourcoordonnées/−2
q−p0et le vecteur −→
AC apourcoordonnées/1
r−p0.
A, B et Calignés ⇔−−→
AB et −→
AC colinéaires
⇔1
1
1
1
−21
q−pr−p1
1
1
1
=0⇔−2r+2p−q+p=0
⇔−2r−q+3p=0⇔2r+q−3p=0.
b) Si p=7,qet rsont solutions du problème si et seulement si ⎧
⎨
⎩
q−r≡0 [3]
7−q≡0 [2]
2r+q̸=21
ou encore ⎧
⎨
⎩
q≡1 [2]
r≡q[3]
2r+q̸=21
.Par
exemple, r=q=1conviennent. Enfin, si p=7et q=r=1,onobtienta=−3×7+1+2
6=−3,3×7−3 6=3et
6×7+2−2
6=7.
La parabole d’équation y=−3x2+3x+7passe par les points A(1,7),B(−1,1) et C(2,1).
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