Rochambeau 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 2 (6 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
On donne les matrices M=
111
111
421
et I=
100
010
001
.
Partie A
1) Déterminer la matrice M2.OndonneM3=
20 10 11
12 2 9
42 20 21
.
2) Vérifier que M3=M2+8M+6I.
3) En déduire que Mest inversible et que M1=1
6%M2M8I&.
Partie B. Etude dun cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a,bet ctels que la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse par les
points A(1 ; 1),B(1; 1) et C(2 ; 5).
1) Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a,bet ctels que
M
a
b
c
=
1
1
5
.
2) Calculer les nombres a,bet cet vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C. Retour au cas général
Les nombres a,b,c,p,q,rsont des entiers.
Dans un repère 'O, −→ i,
−→j(,onconsidèrelespointsA(1 ; p),B(1; q)et C(2 ; r).
On cherche des valeurs de p,qet rpour qu’il existe une parabole d’équation y=ax2+bx +cpassant par A,Bet C.
1) Démontrer que si
a
b
c
=M1
p
q
r
avec a,bet centiers, alors
3p+q+2r0 [6]
3p3q0 [6]
6p+2q2r0 [6]
2) En déduire que ,qr0 [3]
pq0 [2] .
3) Réciproquement, on admet que si
qr0 [3]
pq0 [2]
A, B, C ne sont pas alignés
,alorsilexistetroisentiersa,bet ctels que
la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse par les points A,Bet C.
a) Montrer que les points A,Bet Csont alignés si et seulement si 2r+q3p=0.
b) On choisit p=7.Déterminerdesentiersq,r,a,bet ctels que la parabole d’équation y=ax2+bx +cpasse
par les points A,Bet C.
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EXERCICE 2 : corrigé
Partie A
1)M2=
111
111
421
111
111
421
=
623
441
10 4 7
.
2)
M2+8M+6I=
623
441
10 4 7
+8
111
111
421
+6
100
010
001
=
623
441
10 4 7
+
888
888
32 16 8
+
600
060
006
=
20 10 11
12 2 9
42 20 21
=M3.
3) On en déduit que M3M28M=6Ipuis que
M×1
6%M2M8I&=1
6%M2M8I&×M=I.
Donc la matrice Mest inversible et M1=1
6%M2M8I&.
Partie B
1) On note Pla parabole d’équation y=ax2+bx +c.
AP,BPet CP
a+b+c=1
ab+c=1
4a+2b+c=5
111
111
421
a
b
c
=
1
1
5
M
a
b
c
=
1
1
5
.
2) Si M
a
b
c
=
1
1
5
,alorsM1M
a
b
c
=M1
1
1
5
puis
a
b
c
=M1
1
1
5
et si
a
b
c
=
M1
1
1
5
,alorsM
a
b
c
=MM1
1
1
5
puis M
a
b
c
=
1
1
5
.Finalement,
AP,BPet CP
a
b
c
=M1
1
1
5
.
D’après la question 3) de la partie A,
M1=1
6%M2M8I&
=1
6
623
441
10 4 7
111
111
421
8
100
010
001
=1
6
31 2
330
622
.
On en déduit que
a
b
c
=1
6
31 2
330
622
1
1
5
=1
6
6
6
6
=
1
1
1
.
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Donc, Pest la parabole d’équation y=x2+x1.
Partie C
1) Si
a
b
c
=M1
p
q
r
,alors3p+q+2r
6=a,3p3q
6=bet 6p+2q2r
6=c.Onendéduitque
3p+q+2r
6,3p3q
6et 6p+2q2r
6sont des entiers relatifs ou encore que
3p+q+2r0 [6]
3p3q0 [6]
6p+2q2r0 [6]
2) D’après la première équation, il existe un entier relatif ktel que 3p+q+2r=6k.Maisalors,q+2r=3p+6k
puis
qr=3p3r+6k=3(pr+6k).
Puisque pr+6kest un entier relatif, ceci montre que qr0 [3].
D’après la première équation, il existe un entier relatif ktel que 3p3q=6kou encore pq=2k.Cecimontreque
pq0 [2].Ainsi,nécessairement,
.qr0 [3]
pq0 [2] .
3) a) Le vecteur −−→
AB apourcoordonnées/2
qp0et le vecteur −→
AC apourcoordonnées/1
rp0.
A, B et Calignés −−→
AB et −→
AC colinéaires
1
1
1
1
21
qprp1
1
1
1
=0⇔−2r+2pq+p=0
⇔−2rq+3p=02r+q3p=0.
b) Si p=7,qet rsont solutions du problème si et seulement si
qr0 [3]
7q0 [2]
2r+q̸=21
ou encore
q1 [2]
rq[3]
2r+q̸=21
.Par
exemple, r=q=1conviennent. Enfin, si p=7et q=r=1,onobtienta=3×7+1+2
6=3,3×73
6=3et
6×7+22
6=7.
La parabole d’équation y=3x2+3x+7passe par les points A(1,7),B(1,1) et C(2,1).
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