12 bis relation binaire

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Relations binaires. Relations
d’équivalence et d’ordre
Table des matières
1 Généralités 2
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Compatibilité d’une relation avec une loi interne . . . . . . . . . . . 2
1.3 Qualité d’une relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Relation totale ou partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Relation d’équivalence 4
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Classe d’équivalence. Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Relation d’ordre 5
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation stricte associée à une relation d’ordre . . . . . . . . . . . . 6
4 Éléments fondamentaux d’un ensemble ordonné 7
4.1 Majorant, minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Plus grand et plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Borne supérieure et borne inférieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PAUL MILAN 1CPGE -L1 - ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1 Généralités
En mathématiques, on cherche souvent à comparer deux éléments d’un ensemble
ou la propriété que deux éléments d’un ensemble sont susceptibles d’avoir.
1.1 Définition
Définition 1 : Une relation binaire Rdéfinie sur un ensemble Eest au choix :
une propriété qui relie ou non deux éléments xet yde E. On note xRypour
dire que l’élément xest en relation avec y
une partie de E×E. On note xRysi (x,y)R
BPour un couple (x,y)6= (y,x)donc on fera la différence entre xRyet yRx.
Par exemple si Rest la relation < sur R: si l’on a x<yon n’a pas y<x.
Exemples : Les relations que l’on utilise couramment en mathématiques
La relation d’égalité sur un ensemble E« = »
Les relations sur R« < », « 6», « > », « >».
La relation sur Z« | » : a|bsi « adivise b».
La relation sur Z«[n]» : ab[n]si que aest congru à bmodulo n.
La relation sur P(E)«» : ABsi que Aest inclus dans B.
La relation sur les droites du plan « // » : d//dsi la droite dest parallèle à d.
La relation sur les droites du plan « » : ddsi la droite dest perpendicu-
laire à d.
Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-
gramme sagittal (du latin sagitta : flèche). Par exemple la relation 6sur [[0,3]]
01
23
1.2 Compatibilité d’une relation avec une loi interne
Définition 2 : Soient Rune relation binaire sur E.
La relation Rest compatible avec la loi de composition interne sur Esi :
(aRbet cRd)(ac)R(bd)
Exemples :
La loi 6sur Rest compatible avec l’addition mais pas avec la multiplication.
La loi [n]sur Zest compatible avec l’addition et la multiplication.
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1. GÉNÉRALITÉS
1.3 Qualité d’une relation binaire
Définition 3 : Soit Rune relation binaire sur E.
On dit que Rest réflexive si : xE,xRx
On dit que Rest symétrique si : x,yE,xRyyRx
On dit que Rest antisymétrique si : x,yE,(xRyet yRx)x=y
On dit que Rest transitive si : x,y,zE,(xRyet yRz)xRz
Exemples :
La relation d’égalité =sur Eest réflexive, symétrique, antisymétrique et tran-
sitive.
Les relations 6et >sur Rsont réflexives, antisymétrique et transitives. Elles
ne sont pas symétriques.
Les relation <et >sur Rsont antisymétriques et transitives. Elles ne sont ni
réflexives, ni symétriques.
La relation de divisibilité |sur Zest réflexive et transitive. Elle n’est ni symé-
trique, ni antisymétrique : (2|(2)et 2|2 mais 26=2)
La relation [n]de congruence modulo nsur Zest réflexive, symétrique et
transitive. Elle n’est pas antisymétrique.
1.4 Relation totale ou partielle
Définition 4 : Soit Rune relation binaire sur E.
On dit que xet yde Esont comparable par Rsi : xRyou yRx.
On dit que la relation Rest totale si deux éléments quelconques de Esont
comparable : x,yE,xRyou yRx
On dit que la relation Rest partielle dans le cas contraire.
Exemple :
Les relations 6et >sur Rsont totales mais <et >sont partielles car on ne
peut comparer deux éléments identiques.
La relation de divisibilité |sur Zest partielle : on ne peut comparer 3 et 5 car
l’un des deux n’est pas un diviseur de l’autre.
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2. RELATION DÉQUIVALENCE
2 Relation d’équivalence
2.1 Définition
Définition 5 : Soit Rune relation binaire sur E.
On dit que Rest une relation d’équivalence sur Esi Rest réflexive, symétrique
et transitive.
Remarque : Une relation d’équivalence est notée parfois
Une relation d’équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont
similaires pour une certaine propriété.
Exemples :
La relation [n]sur Zest une relation d’équivalence. On vérifie facilement
qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
Soit αR. Une autre relation [α]sur Rest une relation d’équivalence :
xy[α]⇔ ∃kZ,x=y+kα.
Réflexivité : a=a+0×αdonc aa[α]
Symétrie : ab[α]a=b+kαb=a+ (k)αba[α]
Transitivité : (ab[α]et bc[α]) (a=b+kαet b=c+kα)
a=kα+kα= (k+k)αac[α]
2.2 Classe d’équivalence. Ensemble quotient
Théorème 1 : Soit Rune loi d’équivalence sur E.
On appelle classe d’équivalence d’un élément xde E, l’ensemble C(x)des élé-
ments de Een relation avec xpar R:
C(x) = {yE,yRx}
L’ensemble des classes d’équivalence pour Rforment une partition de E: leur
réunion forme Eet sont deux à deux disjointes.
L’ensemble des classes d’équivalence de Epour Rest appelé l’ensemble quo-
tient de Epar Rnoté E/R
Remarque : Toute classe d’équivalence peut être exprimée en français sous la
forme « avoir le même [. . . ] ». Par exemple « avoir le même reste dans la division
par n» dans Z. Notation usuelle pour la classe d’équivalence de x:xou ˙
x
Pour la relation [3]
Trois classes d’équivalence : 0 , 1 , 2
correspondant aux trois restes dans la
division par 3
Son ensemble quotient se note : Z/3Z
0
reste 0
1
reste 1
2 reste 2
Z
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3. RELATION DORDRE
L’ensemble quotient E/Rest donc un ensemble d’ensembles inclus dans P(E)
Démonstration : Montrons que E/Rforme une partition de E.
Notons xla classe d’équivalence de xpour R.
xE,xxcar réflexivité xRxon en déduit que E=SxEx.
Montrons que si xy6=alors x=y.
zxy(zRx
zRy(Par symétrie et transitivité
xRyx=y
Exemple :
Un bipoint (A,B) est un couple de
points du plan.
On définit la relation R(équipollence)
telle que :
(A,B) R(C,D) si les segments [AD] et
[BC] ont même milieu.
A
B
C
D
I
Rest une relation d’équivalence car :
[AB] et [BA] ont même milieu donc (A,B) R(A,B).
(A,B) R(C,D) m[AD] = m[BC]m[CB] = m[DA](C,D) R(A,B)
((A,B) R(C,D)
(C,D) R(E,F) (m[AD] = m[BC]
m[CF] = m[DE](ABDC et CDFE
parallélogrammes
((AB)// (CD)// (EF)
AB =CD =CF (ABFE parallélogramme
m[AF] = m[BE](A,B) R(E,F)
La classe d’équivalence du bipoint (A,B) est le vecteur
AB .
C’est une façon de définir proprement un vecteur dans le plan.
3 Relation d’ordre
3.1 Définition
Définition 6 : Soit Rune relation binaire sur E.
On dit que Rest une relation d’ordre si Rest réflexive, antisymétrique et
transitive.
Remarque : On note généralement une relation d’ordre : 6,4,-, . . .
La réflexivité est imposé dans la définition des relations d’ordre. On privilégie les
relations d’ordre « large » du type « inférieur ou égal ».
La transitivité et l’antisymétrie permettent de hiérarchiser les éléments d’un en-
semble.
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