Le Grand Théor`eme de Fermat Livre 01

Le Grand Th´eor`eme de Fermat
Livre 01 - Th´eorie des Nombres Classique
Version 2.0
Pascal Picard∗
18 janvier 2010
∗Je suis grand amateur de Math´ematiques et de Physique Th´eorique, convaincu que ces sciences sont accessibles `a tous, `a
condition de les expliquer progressivement et m´ethodiquement, et de les introduire par les pr´erequis n´ecessaires. Depuis quelques
ann´ees, je m’att`ele `a ´ecrire des textes th´eoriques sous forme de pi`eces de th´eˆatre. Trois personnages y bavardent : B´eatrix est
la Candide, c’est elle qui pose les questions ; Euristide est un peu philosophe, un peu physicien, il est l’intuitif du groupe ;
Mathine est notre math´ematicienne, c’est elle qui pr´esente les calculs et les d´emonstrations. Ces textes sont mis `a disposition
gratuitement sur Internet, parce que j’aime ¸ca. Le pr´erequis pour la lecture des documents, quelque complexes qu’ils soient, est
le programme de Terminale S en France.
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`a Pascale, Marine et Morgane
Remerciements... Ce document est en phase de relecture. Les relecteurs motiv´es recevront mes remercie-
ments chaleureux.
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TABLE DES MATI` ERES 3
Table des mati`eres
1 Acte I - Introduction 6
2 Acte II - Nombres particuliers 7
2.1 Sc`ene II.1 - Nombres figur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Sc`ene II.2 - Triangle arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Sc`ene II.3 - Nombres de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Acte III - Divisibilit´e 37
3.1 Sc`ene III.1 - Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Sc`ene III.2 - Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Sc`ene III.3 - Crible d’Eratosth`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Sc`ene III.4 - Infinit´e des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Acte IV - Congruences 67
4.1 Sc`ene IV.1 - D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Sc`ene IV.2 - Petit th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Sc`ene IV.3 - Equation de congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Sc`ene IV.4 - Th´eor`eme de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Sc`ene IV.5 - Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Acte V - Analyse diophantienne 84
5.1 Sc`ene V.1 - Equation du premier degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Sc`ene V.2 - Equation pythagoricienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Sc`ene V.3 - Equation en puissance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Acte VI - R´eciprocit´e quadratique 95
6.1 Sc`ene VI.1 - R´esidus quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Sc`ene VI.2 - Lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Sc`ene VI.3 - Loi de r´eciprocit´e quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Acte VII - Fonctions de la th´eorie des nombres 110
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TABLE DES FIGURES 4
Table des figures
Fig. 1 - Nombres triangulaires 7
Fig. 2 - Nombre triangulaire de base 39
Fig. 3 - Nombres triangulaires tˆete-bˆeche 9
Fig. 4 - Nombres carr´es 11
Fig. 5 - Nombres pentagonaux 12
Fig. 6 - Nombres hexagonaux 14
Fig. 7 - Equation pythagoricienne 88
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TABLE DES FIGURES 5
R´esum´e
BEATRIX : J’aime beaucoup la th´eorie des nombres classiques. C’est une discipline tr`es pure...
Des nombres, rien que des nombres...
EURISTIDE : C’est vrai. C’est une belle th´eorie, et ses applications sont tr`es nombreuses. Au quo-
tidien d’abord, puisque nous manipulons les nombres, les op´erations, les divisions chaque jour de notre
vie, sans y r´efl´echir. Les nombres premiers, un des piliers de la th´eorie des nombres, sont d’une grande
utilit´e lorsqu’il s’agit de faire de la cryptographie ; en effet, il est impossible pour un ordinateur mˆeme
tr`es puissant, de d´eterminer si un tr`es grand nombre (plusieurs dizaines de chiffres, par exemple)
est un nombre premier ou s’il est le facteur de plusieurs nombres premiers. Cette difficult´e est un
aubaine pour la plupart des syst`emes de cryptographie, permettant de coder des mots de passe ou des
informations secr`etes, en ne laissant aucune chance `a un ordinateur mˆeme tr`es puissant de trouver le code.
MATHINE : Et la th´eorie des nombres poss`ede une place de choix dans la g´en`ese des math´ematiques ; c’est
un peu la th´eorie originelle, `a partir de laquelle les math´ematiques se sont construites.
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