Si pour l’exemple pris, l’affirmation est vraie, on fait à nouveau un ou plusieurs tests.
Si pour tous les tests, l’affirmation est vraie, on émet une conjecture : Il semble que …….
Puis on le prouve, on le démontre dans le cas général, en passant notamment par le calcul littéral.
1. Si n désigne un nombre premier, répondre aux questions suivantes, en justifiant la
réponse :
a. 2n est-il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n= 5, alors 2n = 10 : 10 n’est pas un nombre premier !
Quelque soit n entier différent de 1(premier ou pas) , 2n n’est pas un nombre premier.
2n s’écrit de la forme 2×entier donc c’est un multiple de 2 donc il n’est pas premier.
b. n + 1 est-il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n = 2 alors n+1 = 3 : 3 est un nombre premier.
On fait un autre essai :
Si n = 3, alors n+1 = 4 : 4 n’est pas un nombre premier !
Si n= 5, alors n + 1 = 6 : 6 n’est pas un nombre premier.
Dans les nombres premiers inférieurs à 100, les seuls nombres consécutifs sont 2 et 3
Conjecture, si n est premier, supérieur strictement à 2 alors n + 1 n’est pas premier.
n et n + 1 sont des entiers consécutifs, donc l’un des 2 au moins est pair
donc ils ne peuvent pas être tous les deux premiers.
Si n premier différent de 2, n + 1 n’est pas premier.
c. n² est –il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n = 3, n² = 9. 9 n’est pas premier.
Conjecture : si n est premier, alors n² n’est pas premier.
n est premier donc n1.
n² = n×n donc il a au moins 3 diviseurs : 1, n² et n donc n² n’est pas premier.
Si n premier, n² n’est pas premier.
2. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ?
On commence par faire des essais :
5 + 7 = 12 pair
13 + 15 = 28 pair
11 + 27 = 38 pair
Conjecture : Il semble que la somme de 2 nombres impairs est paire.
La forme générale d’un nombre impair est 2n + 1 avec n entier.
Prenons 2 nombres impairs : 2p + 1 et 2k + 1 où p et k sont deux nombres entiers.
Calculons leur somme : 2p + 1 + 2k + 1 = 2p + 2k + 2
On peut factoriser l’expression par 2 : = 2( p + k + 1)
Donc la somme est de la forme 2 × (un entier) donc le résultat est un nombre pair.