DM2 corrigé 3eme 2016 - Collège FRANCOIS MITTERRAND

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3ème
Corrigé du Devoir n°2
5 points
Exercice 1 : Des petites roues…
Cet engrenage est composé de trois roues.
a. Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de
chacune des roues B et C.
b. Au bout de combien de tours (pour chacune des roues)
cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première
fois, dans la même position ?
a. Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C.
A tourne dans le sens horaire, B anti-horaire, C horaire.
b. Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et
pour la première fois, dans la même position ?
Pour que l’engrenage soit dans la même position, il faut que chaque roue ait fait un nombre
entiers de tours, donc
A a tourné d’un nombre de dents multiple de 24
B a tourné d’un nombre de dents multiple de 16
C a tourné d’un nombre de dents multiple de 36
On cherche un multiple commun à 24, 16 et 36.
Une méthode est de décomposer ces nombres en produit de facteurs premiers
24 = 3 × 8
24 = 3 ×
24 = × 3
16 = 4 ×4
16 =
Le plus petit multiple commun de 24, 16 et 36 est donc :
144 = 24 × 6
144 = 16 × 9
36 = 4 × 9
36 = 2²×3²
×3² = 16 × 9 = 144
144 = 36 × 4
Pour revenir dans la même position pour la première fois
A aura fait 6 tours, B 9 tours et C 4 tours.
On pouvait aussi chercher les multiples de 24, 16 et 36 « à la main » …..(cf copie d’élèves)
Exercice 2 :Vrai ou faux ?
5 points
1. Si n désigne un nombre premier, répondre aux questions suivantes, en justifiant la réponse :
a. 2n est-il un nombre premier ?
b. n + 1 est-il un nombre premier ?
c. n² est –il un nombre premier ?
2. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ?
Méthode : Pour vérifier une affirmation, on commence par la tester avec un ou plusieurs exemples.
Si pour l’exemple pris, l’affirmation est fausse, on a trouvé un contre-exemple : on peut affirmer
que l’affirmation n’est pas toujours vraie !
Si on veut affirmer qu’elle est toujours fausse, il faut le prouver.
Si pour l’exemple pris, l’affirmation est vraie, on fait à nouveau un ou plusieurs tests.
Si pour tous les tests, l’affirmation est vraie, on émet une conjecture : Il semble que …….
Puis on le prouve, on le démontre dans le cas général, en passant notamment par le calcul littéral.
1. Si n désigne un nombre premier, répondre aux questions suivantes, en justifiant la
réponse :
a. 2n est-il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n= 5, alors 2n = 10 : 10 n’est pas un nombre premier !
Quelque soit n entier différent de 1(premier ou pas) , 2n n’est pas un nombre premier.
2n s’écrit de la forme 2×entier donc c’est un multiple de 2 donc il n’est pas premier.
b. n + 1 est-il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n = 2 alors n+1 = 3 : 3 est un nombre premier.
On fait un autre essai :
Si n = 3, alors n+1 = 4 : 4 n’est pas un nombre premier !
Si n= 5, alors n + 1 = 6 : 6 n’est pas un nombre premier.
Dans les nombres premiers inférieurs à 100, les seuls nombres consécutifs sont 2 et 3
Conjecture, si n est premier, supérieur strictement à 2 alors n + 1 n’est pas premier.
n et n + 1 sont des entiers consécutifs, donc l’un des 2 au moins est pair
donc ils ne peuvent pas être tous les deux premiers.
Si n premier différent de 2, n + 1 n’est pas premier.
c. n² est –il un nombre premier ?
On commence par faire un essai :
Si n = 3, n² = 9. 9 n’est pas premier.
Conjecture : si n est premier, alors n² n’est pas premier.
n est premier donc n≠1.
n² = n×n donc il a au moins 3 diviseurs : 1, n² et n donc n² n’est pas premier.
Si n premier, n² n’est pas premier.
2. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ?
On commence par faire des essais :
5 + 7 = 12 pair
13 + 15 = 28 pair
11 + 27 = 38 pair
Conjecture : Il semble que la somme de 2 nombres impairs est paire.
La forme générale d’un nombre impair est 2n + 1 avec n entier.
Prenons 2 nombres impairs : 2p + 1 et 2k + 1 où p et k sont deux nombres entiers.
Calculons leur somme :
2p + 1 + 2k + 1 = 2p + 2k + 2
On peut factoriser l’expression par 2 :
= 2( p + k + 1)
Donc la somme est de la forme 2 × (un entier) donc le résultat est un nombre pair.
Exercice 3 : Décompositions
5 points
1. Décomposer 420 et 252 en produit de facteurs premiers.
2. Simplifier
3. On donne 1 176 = 23× 3 ×7²
a. Parmi les nombres suivants quels sont ceux qui divisent 1 176 ?
23×3
23×3²
23 ×7²
2×3
49
35
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de deux multiples de 1 176 ?
1. Décomposer 420 et 252 en produit de facteurs premiers.
420 = 42 ×10
= 6 ×7 ×5×2
= 2×3 ×7 ×5×2
= 2²×3 ×5 ×7
2. Simplifier
=
252 = 2 × 126
= 2 × 2×63
= 2 × 2×7 × 9
= 2 × 2×7 ×3²
= 2² ×3²×7
=
=
(on vérifie à la calculatrice ;-))
3. On donne 1 176 = 23× 3 ×7²
a. Parmi les nombres suivants quels sont ceux qui divisent 1 176 ?
23×3
23×3²
23 ×7²
2×3
49
35
1 176 = 23× 3 ×7² donc 23×3 divise 1 176
1 176 = 23× 3 ×7² n’est pas divisible par 23×3² (il manque un 3 dans la décomposition de 1 176)
1 176 = 23× 3 ×7² donc 23 ×7² divise 1 176
1 176 = 23× 3 ×7² = 2×2×2×3×7×7 donc 2×3 divise 1 176
1 176 = 23× 3 ×7² donc 49 = 7² divise 1 176
1 176 = 23× 3 ×7² n’est pas divisible par 35 = 5×7 (il manque un 5 dans la décomposition de 1 176)
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de deux multiples de 1 176 ?
1 176 = 23× 3 ×7² donc ses multiples s’écrivent de la forme : 23× 3 ×7²×(un entier) de votre
choix !
Exemples possibles : 23× 3 ×7²×11 ou 23× 3 ×7²×19 ou 23× 3² ×7² ou 24× 3 ×73
Exercice 4 : Une frise
4 points
Sur une feuille A4 ( format paysage),
1. Reproduire le motif de base ci-dessous en prenant AC = CB = 3 cm. Attention le
placer bien à gauche de la feuille…
2. Construire le symétrique du motif dans la symétrie
d’axe (BC). Le symétrique de A sera appelé A’.
3. Construire le symétrique du dessin obtenu dans la symétrie de centre A’. L’image de A sera
appelée A’’.
4. Faire glisser le dessin (entier) obtenu de A vers A’’.
Des extraits de copies :
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