Elec3

Travaux Pratiques de physique
Elec 3 :
Circuit RLC
Version du 18/03/2016
Elec 3 : Le circuit RLC
Plan
• Rappels Théoriques
–
–
–
–
–
Circuits RC et RL
Circuit « idéal » LC
Circuit RLC en tension continue
Circuit RLC en tension sinusoïdale, résonance
Applications
• Manipulation
– Circuit LC, pas d’expérience, juste un calcul!
– Circuit RLC en signal carré
– Circuit RLC en signal sinusoïdal, mesure de la courbe de
résonance.
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Générateur de
tension
V  V0
V  V0 cos(t )
Résistance
V  RI
Condensateur
Q = CV
Self
dI
V L
dt
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit LC
Imaginons un circuit idéal composé d’un seul condensateur...
+ + + + + +
+ + + + + +
C-
C-
- - - - - - - - - -
1
- - - - - + + + +
+ + ++
On charge le
condensateur
2
+
+
+
+
Un courant instantané apparaît pour
neutraliser le condensateur.
I
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit LC
Imaginons un circuit idéal composé d’un condensateur et d’une bobine...
Courant I
Courant I
C
1
+Q
-Q
0
0
C
L
On charge le condensateur.
Les charges + veulent rejoindre les charges –
création d’un courant auquel s’oppose la
bobine qui augmente au fur et à mesure
I
2
L
A cause du courant, la bobine emmagasine de
l’énergie.
Lorsque les charges se compensent sur la plaque,
la bobine a emmagasiné beaucoup d’énergie.
2
1
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit LC
C
3
+
Imaginons un circuit idéal composé d’un condensateur et d’une bobine...
-Q
+Q
C
L
Pour se libérer de cette énergie, la bobine
force le courant à se maintenir
La plaque du dessous continue de recevoir des
charges et se charge positivement.
I
Cette charge se maintient jusqu’à ce que la
bobine ait perdu toute son énergie c’est-àdire lorsque la plaque du dessous est
chargée +Q.
2
3
1
4
L
4
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit LC
C
Imaginons un circuit idéal composé d’un condensateur et d’une bobine...
-Q
+Q
L
6
La situation se répète : la bobine
emmagasine de l’énergie tandis que
la plaque supérieure se charge
positivement etc.
Courant sinusoïdal
5
Les charges + veulent rejoindre les
charges –
création d’un courant (en sens opposé) qui
augmente au fur et à mesure
I
2
3
1
4
6
t
5
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit LC
I
C
L
t
Dans un circuit LC le courant va osciller infiniment…
Loi des mailles de Kirchhoff :
Q
dI
 L 0
C
dt
Q
d 2Q
L 2 0
C
dt
Q  Q0 cos 0t
avec 0 
1
LC
La charge sur le condensateur oscille avec
une fréquence de plus en plus grande
lorsque L et C diminuent.
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Analogie avec le ressort
d ²x
m
 kx
dt ²
On tire le ressort
: on lui donne
une
grande
énergie potentiel
x
La balle prend de
la
vitesse
et
passe en position
d’équilibre où la
force du ressort
est nulle
A
cause
de
l’inertie, la balle
continue et la
force du ressort
change de sens.
d 2Q
Q
L 2 
dt
C
On charge le
condensateur :
on lui donne un
grand potentiel
Le
courant
augmente jusqu’à
rendre
le
condensateur
neutre.
A cause de la
bobine, le courant
continue
et
charge
le
condensateur de
manière opposée
C
C
C
+Q
-Q
0
0
L
L
-Q
+Q
L
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC continu
Circuit RLC = résistance + condensateur + bobine en série
Il n’existe pas de véritables circuits LC : les composants ont toujours une certaine
résistance…
La résistance permet au système de perdre de l’énergie : on aura donc une
oscillation du courant avec une diminution de son intensité au fil du temps…
Q
C
L
t
R
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC continu
Pour obtenir l’équation différentielle du circuit, on utilise la loi des mailles de
Kirchhoff.
Loi des mailles de Kirchhoff :
C
L
Q
dI
  RI  L  0
C
dt
Q
dQ
d 2Q
R
L 2 0
C
dt
dt
Cette équation est analogue à l’équation du ressort amorti !
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Ressort amorti
d ²x
k
b dx
m
 x
dt ²
m
m dt
Position
d’équilibre
t
RLC
Q
d 2Q
Q
dQ
L 2  R
dt
C
dt
t
La résistance joue
le rôle des forces
de frottements
C
L
R
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC continu
τ est le temps de
Q
C
relaxation = donne une
idée du temps pour que le
signal décroisse
t
L
ω est la fréquence
R
angulaire du signal
La solution de cette équation est donnée par :

t
Q  Q0 e  cos t 
avec 0 
1
2L
; 
et
LC
R
  ( 
2
0
1

)
2
1
Q0  CV0
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie

Q  Q0 e cos t
Circuit RLC continu
Si résistance faible :
 
2
0

  ( 
2
0
1

)
2
1
2
I
1

t
2
Oscillation avec
amortissement
0
t
4L
R 2
C
Si résistance forte :
 
2
0
1
2
I
0
4L
R 2
C
Amortissement
critique
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC tension sinusoïdale
Si on ajoute une tension alternative, les charges sur
le condensateur vont également osciller.
V~
Q(t)
C
L
V(t)
temps
R
Loi des mailles de Kirchhoff :
Q
dQ
d 2Q
V0 cos t    R
L 2 0
C
dt
dt
Q
dQ
d 2Q
V0 cos t    R
L 2
C
dt
dt
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC tension sinusoïdale
V~
Q(t)
V(t)
C
L
temps
R
Solution pour un générateur oscillant à la fréquence angulaire ω
Q(t )  Q0 cos(t   )
tg 
 RC
 2 LC  1
Q0 
V0
1 2

  R 2  ( L 
) 
C 

V  Z .I
1
2
1 2

avec Z   R 2  ( L 
) 
C 

1
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC tension sinusoïdale
Q0 
Q(t )  Q0 cos(t   )
avec
Q0
V(t)
Q0
Q(t)
temps
temps
temps
2
3
2
Q0
Analogie de l’oscillateur
forcé et de la balançoire
2
V(t)
Q(t)
1
1 2

  R 2  ( L 
) 
C 

1
Q(t)
V(t)
Q0
V0
Phénomène de
résonance
1
3
ω
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC tension sinusoïdale
Q0
Qmax
Phénomène de résonance
Qmax / 2
Largeur = R/L
ω
Résonance à la fréquence :
  0 
1
LC
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Circuit RLC tension sinusoïdale
Q(t )  Q0 cos(t   )
avec
tg 
 RC
 2 LC  1
Q(t)
V(t)
V(t)
V(t)
Q(t)
Q(t)
temps
temps
temps
1
2
ϕ
ϕ
3
ϕ
1
0
-π/2
2
3
-π
ω/ω0
0,1
1
10
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Applications : radio FM
Radio =
Circuit RLC
adapté pour
recevoir la
bonne
fréquence
Antenne =
générateur
f1
Emetteurs
radios avec
deux
fréquences
différentes
C
f1 
1
2 LC1
f2 
1
2 LC2
L
R
f2
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
Applications
 Emission réceptions d’ondes électromagnétiques :
GSM, GPS, babyphones, …
 Jeux radio-télécommandés,
 Excitation des spins protoniques et détection du signal
en Imagerie par Résonance Magnétique (IRM).
Elec 3 : Le circuit RLC
Théorie
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC
Plan
• Rappels Théoriques
–
–
–
–
–
Circuits RC et RL
Circuit « idéal » LC
Circuit RLC en tension continue
Circuit RLC en tension sinusoïdale, résonance
Applications
• Manipulation
– Circuit LC, pas d’expérience, juste un calcul!
– Circuit RLC en signal carré
– Circuit RLC en signal sinusoïdal, mesure de la courbe de
résonance.
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
Circuit LC
C
Pas d’expérience, simplement un calcul à partir des données
des notes.
L
Même si on ajoute pas de résistance externe, il faut tenir
compte de la résistance du générateur (RG) et de la bobine
(RL)
=> calculer la résistance équivalente d’un circuit LC.
RV
C
1. Estimer la fréquence de résonance du circuit et la période
T correspondante.   1 LC , T  2 
V~
0
RL
L
0
2. Estimer le temps de relaxation (τ = 2L/R) du circuit.
3. Comparez T et τ . Ce circuit est-il vraiment un circuit LC
idéal?
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
Circuit RLC continu
Ch1
Ch2
Ch1
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions carrées
GND
L
R = 22 Ω
C = 4300 pF
GS
VC
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
Circuit RLC continu
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions carrées
3. Déduire L par deux méthodes :
1
Méthode de la période 0 
1
2

LC
T
On peut trouver L via une
mesure de T
VC
T
t
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
Circuit RLC continu
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions carrées
3. Déduire L par deux méthodes :
2
Mesure du temps de demi-vie T1/2
VC
VC0
VC0/2

T1/2 2L

ln 2 R
On peut trouver L via une
mesure de T1/2
t
T1/2
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
Circuit RLC continu
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions carrées
3. Déduire L par deux méthodes
4. Changer la résistance et observer qualitativement le signal
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
RLC en tension sinusoïdale
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions
sinusoïdales
V(t)
Ch1
Ch2
GND
L
temps
R = 22 Ω
C = 0,1 µF
GS
Q(t)
temps
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
RLC en tension sinusoïdale
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions sinusoïdales
3. Réaliser un graphique de VQ en fonction de la fréquence pour R = 22 Ω et 470 Ω
V(t)
Q0
Q0
Q(t)
V(t)
V(t)
Q(t)
temps
temps
Q0
Q(t)
temps
VQ
f
f1
f2 f3
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
RLC en tension sinusoïdale
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions sinusoïdales
3. Réaliser un graphique de VQ en fonction de la fréquence pour R = 22 Ω et 470 Ω
4. Mesurer le déphasage en fonction de la fréquence
Q(t)
V(t)
V(t)
Q(t)
V(t)
Q(t)
temps
temps
temps
Q
A
V
B
B
  arcsin  
 A
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
RLC en tension sinusoïdale
1. Monter le circuit suivant.
2. Envoyer des impulsions sinusoïdales
3. Réaliser un graphique de VQ en fonction de la fréquence pour R = 22 Ω et 470 Ω
4. Mesurer le déphasage en fonction de la fréquence
5. Détermination de la fréquence de résonance du circuit
Elec 3 : Le circuit RLC
Manipulations
continu
V (t )  V0
LC
RLC
Q  Q0 cos 0t
1 1 

Q  Q0 e  cos (02  2 ) 2 t 



0 
alternatif
V (t )  V0 cos(t )
1
LC

0 
t
1
LC
2L
R
Q0  CV0
Q(t )  Q0 cos(t   )
tan  
Q0 
V0  ZI 0

 RC
 2 LC  1
V0
1 2

  R 2  ( L 
)
C 

1 2

Z   R 2  ( L 
) 

C


1
1
2
2
Elec 3 : Le circuit RLC