diagramme de Bode

Chapitre 1
le diagramme de Bode
Ce diagramme représente les
performance d’un système
électrique, mécanique, thermique
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L’analyse fréquentielle d’un quadripôle se fait en régime sinusoïdal pur,
essentiellement avec le calcul complexe.
1. La fonction de transfert T (jw)
La fonction de transfert T (jw) d’un quadripôle
est le rapport
Retenir aussi que Vs = T(jw). Ve.
Elle est aussi appelée transmittance complexe, transmittance isochrone ou
amplification.
Elle n’a pas d’unité.
Son module est le rapport des valeurs efficaces | T (jw) | = T =
Si T = = 5 signifie que Vs = 5 Ve.
Si T > 1 le quadripôle amplifie
alors que si T < 1 le quadripôle atténue
Son argument est le déphasage de la tension de sortie vs par rapport à la tension d’entrée ve.
En effet, arg = arg Vs - arg Ve = js - je = j
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2. Le diagramme de Bode
Le diagramme de Bode est la représentation
du gain GdB = 20 log | T(jw) |
et
de l’argument j = arg T(jw) en fonction de
la fréquence f ou w = 2pf en échelle logarithmique.
log est la fonction logarithme décimal
a) Le gain d’un quadripôle est la valeur
GdB = 20 log |T (jw)| = 20 log T.
« log » est le logarithme décimal,
c’est la fonction inverse de « 10x » :
100 = 1 donc log 1 = 0 ; 101 = 10 donc log 10 = 1 ;
102 = 100 donc log 102 = 2 ; log 103 = 3 ; etc. …
Si T = 1 (montage suiveur) GdB = 20 log 1 = 0 dB,
si T = 10, GdB = 20 log 10 = 20 dB,
si T = 100, GdB = 20 log 100 = 40 dB, si T = 100 000, GdB
= 20 log 105 = 100 dB,
si T = 0,1, GdB = 20 log 10-1 = - 20 dB, si T = 0,01, GdB =
20 log 10-2 = -40 dB, etc. …
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S’il y a amplification, GdB > 0 dB, alors que s’il y a atténuation, GdB < 0 dB.
La relation inverse :
GdB = 20 log T  log T =  T = 10 ^
(
^ = à la puissance)
exemple : 14 dB correspond à une amplification de 10^(14/20) = 5
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b) l’échelle logarithmique :
 f sur l’échelle logarithmique est placé à log f sur l’échelle linéaire
 la décade est l’intervalle de fréquence entre f et 10f
log 10.f = log 10 + log f = 1 + log f
donc entre f et 10f il y a 1 unité de longueur (ici 5 cm).
 l’octave est l’intervalle de fréquence entre f et 2f
 log 2.f = log 2 + log f = 0,3 + log f donc entre f et 10f il y a un module.
En musique, il y a huit degrés dans une gamme.
L’octave est constituée des huit notes suivantes : do(1), ré, mi, fa, sol, la, si et do(8).
La fréquence de do(8) est le double de celle de do(1).
,
 Sur l’axe gradué représenté ci-dessus, il y a 3 modules.
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c) intérêt des diagrammes de Bode
a
On utilise les propriétés mathématiques de la fonction logarithme qui transforme
une multiplication en addition : log (AxB) = log A + log B.
Pour les arguments des nombres complexes, c’est pareil : arg (A.B) = arg A + arg B
D’où la règle pour réaliser facilement des diagrammes de Bode :
la représentation du gain s’obtient en faisant la somme des représentations des
gains
GdB = GdB1 + GdB2 + GdB3 + … + GdBn
et la représentation de la phase s’obtient en faisant la somme des représentations
des phases
j = j1 + j2 + j3 + … + jn.
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3, Les filtres passifs du premier ordre LP1
Le filtre passe-bas du premier ordre LP1
Exemple du filtre RC :
En utilisant la formule du pont diviseur de tension,
on démontre que le circuit RC représenté ci-contre
admet comme fonction de transfert
exemple : si R = 10 kW et C = 10 nF, wo = 10 000 rad/s et fo = 1591 Hz
fo est la fréquence propre du système RC
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 Lorsque w << wo , T ( jw ) = 1
donc GdB = 20 log 1 = 0 dB.
La phase vaut 0°.
La représentation de Bode du système passe bas
 Lorsque w >> wo ,
GdB = f(f) est une droite
de pente - 20 dB / décade.
La phase vaut - 90°.
 Lorsque w = wo
La représentation asymptotique de T ( jw )
diffère de la courbe réelle autour de w = wo.
GdB = - 20 log |1 + j | = - 20 log
= - 20 log = - 20 log
= - 20 log= - 3 dB
fo est aussi appelé fc la fréquence de coupure à -3dB.
La phase pour w = wo vaut arg T(j) = - 45°
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Les courbes réelles
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4. Les systèmes du deuxième ordre
Exemple d’un système passe-bas du deuxième ordre
a) la fonction de transfert
T (jw) =
C’est la forme canonique d’un filtre passe-bas du deuxième ordre, LP2 en anglais
(“low pass”),
où m est le coefficient d’amortissement
et wo est la pulsation propre .
Pour le circuit RLC ci-dessus
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 premier cas m > 1
C’est le régime amorti
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 Deuxième cas m < 1
Si m < 0,7 on a le phénomène de résonance
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5, Les autres filtres
Le filtre passe-haut HP
Le filtre passe-bande BP
Le filtre réjecteur de bande NF (notch filter)
Le filtre passe-tout (AP pour all pass) est un circuit déphaseur
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6, B la bande passante à -3 dB
B la bande passante à -3 dB
est l’intervalle de fréquence
pour lequel le gain GdB est
supérieur au gain maximal
Gmax diminué de 3 dB;
(en anglais “ band width ”)
Pour le filtre passe bande :
c’est aussi l’intervalle de
fréquence pour lequel
l’amplification T est
supérieure à l’amplification
maximale Tmax divisée par
racine de 2 (0,707)
( 7/10ième de l’amplification
maximale Tmax)
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Fin du chapitre
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