Probabilité - Modélisation d`une expérience aléatoire Notion d

Probabilité - Modélisation d’une expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter autant de fois que l’on veut, mais dont l’issue peut
changer, de manière imprévisible, à chaque répétition.
Pour vérifier qu’une expérience est aléatoire, on doit pouvoir observer que les fréquences statistiques de réalisation de
chacune des issues possibles se «stabilisent» : il y a «moins» de fluctuations de ces fréquences entre des échantillons de
grande taille (de 10000 répétitions par exemple) qu’entre des échantillons de petite taille (100 répétitions par exemple).
Définitions :
•
Modéliser une expérience aléatoire c’est définir l’ensemble Ω = { x 1, x 2, …, x n } des issues(1)
et associer à chaque issue x i un nombre p i entre 0 et 1, ces nombres étant tels que p 1 + p 2 + … + p n = 1 .
En choisissant ces nombres, on dit que l’on définit une loi de probabilité sur Ω .
Le nombre p 2 est la probabilité de l’issue x 2 .
•
1
La loi de probabilité uniforme sur Ω = { x 1, x 2, …, x n } est celle où p 1 = p 2 = … = p n = --- .
n
On dit alors que l’on a une situation d’équiprobabilité.
Remarques :
1
1 1
1
1. Ce choix définit bien une loi de probabilité car on a alors p 1 + p 2 + … + p n = --- + --- + … + --- = --- × n = 1 .
n
n n
n
2. Le fait d’adopter la loi uniforme pour modéliser une expérience aléatoire n’a pas vraiment à être justifié : la seule justification
serait d’ordre statistique en répétant l’expérience un grand nombre de fois. Mais ceci ne doit toutefois être fait qu’avec
précautions, après avoir identifié l’ensemble des issues, et soupesé les raisons pour lesquelles on estime que toutes ces issues
ont les «mêmes chances» de se produire.
3. Il peut y avoir plusieurs modélisations correctes, certaines avec équiprobabilité, et d’autres sans.
Notion d’événement
En ce qui concerne l’expérience aléatoire, un événement est quelque chose susceptible de se produire, ou de ne pas se
produire, lors de chaque répétition de cette expérience. Chaque événement est donc déterminé en précisant les issues dites
favorables pour lesquelles il se produit (on dit aussi «pour lesquelles il est réalisé»). En ce qui concerne la modélisation :
Définitions :
•
un événement A est une partie de Ω ; sa probabilité p(A) est la somme des nombre p i associés à chacun des
éléments de A .
•
un événement est dit élémentaire s’il ne contient qu’une issue. Sa probabilité est le nombre p i correspondant.
•
∅ est l’événement impossible : p(∅) = 0 .
Ω est l’événement certain : p(Ω) = 1
Propriétés / Définitions :
•
Si la loi de probabilité est uniforme on a
card A
nombre d’issues favorables
p(A) = --------------- = ------------------------------------------------------------------nombre total d’issues
card Ω
étant donnés des événements A : «l’issue est comme ceci» et B : «l’issue est comme cela»
•
A : «l’issue n’est pas comme ceci»
A est l’événement contraire de A ;
•
A ∩ B «l’issue est comme ceci et comme cela à la fois»
A ∪ B «l’issue est comme ceci ou comme cela ou les deux à la fois»
A Ω
A
p(A) = 1 − p(A)
A
A∩B
B
A∪B
Ω colorié
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
•
Si A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont des événements incompatibles et on a
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
A
1. Ω (lire «oméga») est parfois appelé «univers des possibles». On suppose ici qu’il y a un nombre fini d’issues.
B
Ω
Exercice 1
2°)
Dessiner une roulette pour obtenir une expérience aléatoires avec 4 issues A, B, C et D dont
les probabilités sont 0.3, 0.1, 0.4 et 0.2 .
3°)
Comment simuler cette dernière expérience avec un tableur ?
120°
A
Modéliser l’expérience aléatoire consistant à faire tourner la roulette et noter le résultat A ou
B suivant le secteur s’arrêtant en face du repère.
B
1°)
Correction
1°)
Les probabilités des deux issues A et B sont proportionnelles aux angles des secteurs correspondants :
issue
A
B
somme
probabilité
a
mesure du secteur en degrés
120
a+b = 1
b
360 − 120
= 240
360
1 × 120
1
1 × 240
2
On a donc a = ------------------ = --- et b = ------------------ = --- .
360
3
360
3
(autrement dit, la roulette, s’arrête deux fois plus souvent sur A que sur B! ceci suppose que la roulette ne soit pas
truquée)
issue
A
B
C
D
somme
probabilité
0.3
0.1
0.4
0.2
1
mesure du secteur en degrés
108
36
144
72
360
D
A B
3°)
Même principe que précédemment
C
2°)
Pour faire apparaitre un résultat aléatoire A, B, C ou D dans une cellule avec
0.2
0.3 0.1
0.4
les probabilités précédentes on se sert de la fonction ALEA() qui donne un
nombre aléatoire entre 0 et 1. On affiche alors A, B, C ou D selon que le
résultat obtenu est dans l’un des 4 intervalles dont les largeurs sont égales aux
probabilités voulues
0
0.30.4
0.8
1
Formules à utiliser :
dans la cellule A1 la formule est =ALEA()
dans la cellule B1 la formule est =SI(A1<0.3;"A";SI(A1<0.4;"B";SI(A1<0.8;"C";"D")))
ces deux formules sont recopiées vers le bas jusqu’à la ligne 1000.
En recalculant tout (touche F9) on observe que les fréquences fluctuent, mais que les fluctuations autours des
probabilités sont d’autant plus faibles que le nombre de répétition est grand..
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
A
0.9056152
0.28424685
0.09352772
0.53091255
0.9737772
0.07671322
0.33831032
0.18356583
0.11978521
0.67621357
0.82224408
0.67941485
0.94139608
0.51232759
0.38437749
0.69780199
0.7199997
0.28975512
0.28315885
0.09551284
0.15752385
0.9273567
B
D
A
A
C
D
A
B
A
A
C
D
C
D
C
B
C
C
A
A
A
A
D
C
D
issue
fréquence sur 20 répétitions
fréquence sur 100 répétitions
fréquence sur 1000 répétitions
E
F
G
H
A
0.4
0.27
0.274
B
0.1
0.11
0.111
C
0.3
0.47
0.416
D
0.2
0.15
0.199
1
0.9
0.8
0.7
fréquence sur 20
répétitions
0.6
0.5
fréquence sur 100
répétitions
0.4
0.3
fréquence sur 1000
répétitions
0.2
0.1
0
A
B
C
D
I
Exercice 2
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite une pièce équilibrée : PFP est
un exemple d’issue (avec P pour Pile et F pour Face)
1°)
Utiliser un arbre pour obtenir l’ensemble de toutes les issues.
2°)
Calculer la probabilité de chacun des événements :
a) A : «Obtenir une seule fois Pile»
b) B : «Obtenir exactement deux fois Pile»
c) C : «Obtenir trois fois Pile»
Correction
1°)
Il y a 8 issues.
2°)
On considère que les 8 issues sont équiprobables
3
a) A = { PFF, FPF, FFP } donc p(A) = --- .
8
3
b) B = { PPF, FPP, PFP } donc p(B) = --- .
8
1
c) C = { PPP } donc p(C) = --- ( C est un événement élémentaire)
8
Second
lancé
Premier
lancé
Troisième
issue
lancé
Pile
PPP
Face
PPF
Pile
PFP
Face
PFF
Pile
FPP
Face
FPF
Pile
FFP
Face
FFF
Pile
Pile
Face
Pile
Face
Face
Exercice 3
La somme des points (de 1 à 6) sur les faces opposées d’un dé cubique est toujours égale à 7. On
constate qu’un tel dé est pipé : la probabilité d’obtenir la face 6 est deux fois plus grande que celles d’obtenir l’une des
faces 2 à 5, chacune de ces dernières probabilités (égales entre elles) étant cinq fois plus grande que celle d’obtenir la
face 1.
Déterminer la probabilité de sortie de chaque face.
Correction
Lancer le dé est une expérience à 6 issues mais ces issues ne sont pas équiprobables.
Soit x la probabilité d’obtenir la face 1 ; d’après l’énoncé, on peut dire que
la probabilité d’obtenir 2 (ou 3 ou 4 ou 5) est égale à 5x ;
la probabilité d’obtenir 6 est égale à 2 × 5x = 10x .
issue
1
2
3
4
5
6
probabilité
x
5x
5x
5x
5x
10x
la somme des probabilités des issues doit être égale à 1 :
1
x + 5x + 5x + 5x + 5x + 10x = 1 c’est à dire 31x = 1 d’où x = ------ .
31
issue
1
2
3
4
5
6
probabilité
1
-----31
5
-----31
5
-----31
5
-----31
5
-----31
10
-----31
Exercice 4
Dans un groupe de 20 personnes, 10 personnes s’intéressent à la pêche, 8 à la lecture et 5 personnes ne
s’intéressent ni à la pêche ni à la lecture.
On désigne au hasard une personne de ce groupe.
Calculer la probabilité pour qu’elle s’intéresse :
a) à l’une au moins de ces activités.
b) aux deux activités.
Correction
Désigner au hasard une personne de ce groupe est une expérience aléatoire qui comporte 20 issues équiprobables :
Ω = { x 1, x 2, …, x 20 } (où x 1, x 2, …, x 20 désignent chacun une personne)
a) 5 personnes ne s’intéressent ni à la pêche ni à la lecture donc 20 − 5 = 15 s’interessent à l’une au moins des
15
activités : la probabilité cherchée est ------ .
20
b) 15 − 10 = 5 personnes s’intéressent à la lecture mais pas à la pêche.
8 − 5 = 3 personnes s’intéressent à la lecture et à la pêche.
L ( 20 )
P
P∩L
3
(7)
(5)
(3)
Ω
la probabilité cherchée est ------ .
20
( 10 )
(8)
(5)
Autre manière de rédiger :
Donnons un nom aux événements de probabilité connue d’après l’énoncé :
10
P : «la personne désignée s’intéresse à la pêche» ; probabilité p(P) = -----20
illustration avec les nombres de
personnes entre parenthèses
8
L «la personne désignée s’intéresse à la lecture» ; probabilité p(L) = -----20
5
N «la personne désignée ne s’intéresse ni à la pêche ni à la lecture» ; probabilité p(N) = -----20
5
5
15
a) la probabilité cherchée est p(N) = 1 − p(N) = 1 − ------ = 20
------ − ------ = ------ .
20
20
20 20
b) la probabilité cherchée est p(P ∩ L) ;
or p(P ∪ L) = p(P) + p(L) − p(P ∩ L) d’où p(P ∩ L) = p(P) + p(L) − p(P ∪ L) .
de plus P ∪ L est l’événement «la personne désignée s’intéresse à la pêche ou à la lecture ou aux deux», c’est à
dire «la personne désignée s’intéresse à au moins une des deux actvités».
3
10 8 15
Finalement la probabilité cherchée est p(P ∩ L) = ------ + ------ − ------ = -----20
20 20 20