Sommes - Euler

Sommes
Le symbole 
Soit n un entier naturel et In la somme des entiers
impairs 1, 3, 5, …,2n – 1.
In = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1)
Pour n = 5 : I5 = 1 + 3 + 5 + 7+ 9
Pour n = 4 : I4 = 1 + 3 + 5 + ?+ 7
Pour n = 3 : I3 = 1 + 3 + 5 + ?+ 5 ???
Le symbole 
n
On introduit la notation : I n   (2k  1)
k 1
•Plus concis
•Ecriture compréhensible même si n = 1, n = 2…
•Permet de savoir combien il y a de termes.
La somme n’est pas fonction de k.
n
On peut tout aussi bien écrire : I n   (2 j  1)
j 1
(k et j sont des variables muettes)
Le symbole 
Quelques exemples
5
 j ( j  1)
j 1
n
1  n
k 1
n
 a  an
k 1
 1 2  2  3  3  4  4  5  5  6
Le symbole 
Propriété 1
Pour tout entier naturel n et pour toutes suites de nombres (un) et (vn) :
n
 u
k 0
k
n
n
k 0
k 0
 vk    uk   vk
Propriété 2
Pour tout entier naturel n, pour toute suite de nombres (un)
n
et pour tout nombre réel a :
 au
k 0
n
k
 a  uk
k 0
Propriété 3
Pour tous entiers naturel n (n > 1) et p tels que p < n, et pour toute
p
n
suite de nombres (un) :
u  u
k 0
k
k 0
k

n
u
k  p 1
k
Calcul de sommes d’entiers
Soit n un entier naturel non nul.
On se propose de calculer les sommes :
n
S1 ( n)   k
k 1
n
S 2 (n)   k 2
k 1
n
S3 ( n)   k 3
k 1
n
Calcul de S1 (n)   k
k 1
Un exemple historique
S1 (100)  1
 2
 3
 ...  98  99  100
S1 (100)  100  99  98  ...  3  2  1
2S1 (100)  101  101  101  ...  101  101  101
1 00
S1 (100)   k
k 1
100
100
k 1
k 1
d'où 2S1 (100)   k   101  k 
100
S1 (100)   101  k 
k 1
100
2S1 (100)    k  101  k  
100 101
S1 (100) 
2
k 1
somme S1
n
Calcul de S1 (n)   k
k 1
Première méthode : Un changement de variable


n
n

k 1
 d'où 2S1 (n)   k    n  1  k 
n
k 1
k 1
S1 (n)    n  1  k  

k 1
n
S1 (n)   k
n
n
k 1
k 1
2S1 (n)    k   n  1  k      n  1
n(n  1)
S1 (n) 
2
n
Calcul de S1 (n)   k
k 1
Deuxième méthode : Une somme « télescopique »
2
Pour tout nombre k : k 2   k  1  2k  1
n
n
Donc :   k   k  1     2k  1

 k 1
k 1
2
2
nn
nn
nn
nn
kk11
k 1
k 1
kk11  22kk  11
kk 
k k11
22
kk
11
n2
n(n  1)
S1 (n) 
2
22
2S1 (n)
n
n
et :   2k  1  n 2
k 1
n
Calcul de S2 (n)   k
2
k 1
Une somme télescopique
Pour tout nombre k : k 3   k  1  3k 2  3k  1
3
Donc :   k   k  1     3k 2  3k  1

 k 1
k 1
n
3
3
nn
nn
kk11
kk11
n
nn
n
n
nn
kk11
kk 
11
kk11
33 
22  3
k
k

1

3
k


k  
 k  1  3
k  3 kk 

11
33
3S 2 (n) 3S1 (n)
n3
n(n  1)
3S2 (n)  n  3
n
2
3
n
n
3S2 (n)  2n2  3(n  1)  2
2
n(n  1)(2n  1)
S2 (n) 
6
n
Calcul de S3 (n)   k
3
k 1
Pour tout entier naturel k non nul :
kk22(k  1)22 kk22((kk1)1)2 2
 S1 (k )   S1 (k 1) 

44
4
k3
2
2
La différence des carrés de nombres triangulaires
successifs est un cube.
n
S3 ( n )   k
k 1
n
3
Donc
S3 (n)    S1 (k )    S1 (k  1)    S1 (n) 
k 1
 n(n  1) 
S3 ( n)  

2


2
2
2
2
Somme des termes d’une suite
géométrique
Soit q un réel non nul.
n
On pose, pour tout entier naturel n : Sn   q k
k 0
n
alors qSn  Sn   q
k 0
k 1
n
  qk
k 0
q n 1  1
q n 1  1
Si q  1, Sn 
q 1
Si q  1, S n  n  1
Du bon usage des pointillés
Quel sens donner aux écritures :
1 1 1
1
1    ...  n  ...
2 4 8
2
0,33333…
0,99999…
Du bon usage des pointillés
Soit n un entier naturel quelconque.
n(n  1)
1  2  3  ...  n 
(1)
2
n(n  1)
1  2  3  ...  (n  1) 
(2)
2
n(n  1)
Donc: 1  2  3  ...  (n  1)  1 
+1
2
n
n(n  1)
Donc: 1  2  3  ...  n 
+1
2
n(n  1)
n(n  1)
Donc :
+1 =
d'où n(n  1)  2  n(n  1)
2
2
 n  2  n d'où n  1
Où est l’erreur ?
Du bon usage des pointillés
On pose : S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 – 1 +…
Alors : S =1 – (1 – 1 + 1 – … – 1 + 1 – …)
S=1–S
S = 0,5
Où est l’erreur ?
Aire sous la parabole
La parabole ci-contre représente
la fonction f définie par :
f (x) =  x2 + 4 .
L’objectif est de calculer l’aire
sous l’arche de parabole
hachurée ci-contre
Aire sous la parabole
A = Aire (ASA’) = 8
4
2
2ème étape
On ajoute les aires des 4 triangles
A’I’m’, I’m’S, SIm, ImA .
Ces 4 triangles ont une hauteur commune
égale à 1 (AA’/4), une même base
Im = OS/4
Leur aire cumulée est donc A /4 = 2
Aire sous la parabole
3e étape : on ajoute des
triangles dont l’aire cumulée
équivaut à celle d’un triangle
de hauteur AA’ et de base
OS/16. elle est donc égale à
A /16.
A chaque étape, on rajoute
ainsi des triangles dont l’aire
totale est le quart de l’aire
totale des triangles rajoutés à
l’étape précédente.
Aire sous la parabole
Pourquoi la base est-elle ainsi à chaque fois divisée par 4 ?
A la première étape, la base vaut
OS. A l’étape suivante, en posant
a=0 et b=2, la base vaut :
 ab
f

 2 
1
2
 a  b  f (a)  f (b) 1
f
  a  b   OS

2
4
4
 2 
Et ainsi de suite …
ab
2
L’aire totale de l’arche de la parabole vaut donc :