Cours #1: Introduction

Cours #1: Introduction à la modélisation
et au contrôle de procédés industriels
Guy Gauthier, ing., Ph.D.
Session été 2013.
Source de l’image:
www.mlssystems.com/thermoforming.htm
Présentation du plan de cours
Plan de cours: http://plan-de-cours.etsmtl.ca/SYS823.pdf
Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm
2
SYS-823 - Été 2013
Introduction
3
SYS-823 - Été 2013
Modélisation
 La modélisation permet de représenter un procédé de façon
simplifié. Cela aide à en faire l’analyse.
 La modélisation implique de faire des hypothèses sur le
procédé ou certains de ses paramètres pour pouvoir faire
certaines simplifications.
 Il faut toutefois s’assurer de ne pas négliger des paramètres
importants du procédé.
4
SYS-823 - Été 2013
Modélisation
 Par exemple, imaginez un réservoir rempli d’eau. On doit
modéliser le comportement du niveau et de la température
de l’eau dans le réservoir.
 On assume un mélange parfaitement homogène.
 Ajout d’eau froide augmente le niveau et refroidit le contenu du
réservoir.
 Le chauffage de l’eau augmente la température. Sur une plage de variation
de 60 °C le volume varie d’environ 1.7 %. On peut choisir de négliger
cette variation dans le modèle, puisqu’elle affectera peu la commande en
température ou de niveau.
• http://bernard.pironin.pagespersoorange.fr/aquatech/Equipements/expansion.htm
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SYS-823 - Été 2013
Les raisons de modéliser
 Entraînement des opérateurs;
 Design des procédés;
 Sécurité;
 Design des systèmes de contrôle.
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SYS-823 - Été 2013
L’entrainement de opérateurs
 Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation
d'un processus de production.
 Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;…
 Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les
opérateurs en effectuant des simulations.
 Simulateur de vol;…
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SYS-823 - Été 2013
Le design de procédés industriels
 Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être
utilisé lors de la phase de design pour faciliter le
dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité
de production voulu.
 Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une
certaine capacité de production.
8
SYS-823 - Été 2013
La sécurité d’un procédé
 La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un
modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un
équipement, le système va en se détériorant ou non.
 Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un
certain seuil après la défaillance d’une valve.
 On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le
design d’un système de sécurité.
9
SYS-823 - Été 2013
Le design de systèmes de contrôle
 Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour
assurer que les variables du procédé restent à des valeurs
désirées.
 Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un
échangeur de vapeur.
 Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent
être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils
peuvent être implantés sur le procédé réel.
10
SYS-823 - Été 2013
Modélisation d’un système
dynamique
11
SYS-823 - Été 2013
Éléments d’un système dynamique
États du
système
12
SYS-823 - Été 2013
Système dynamique
 Le modèle d’un système dynamique repose sur des équations
différentielles (linéaires ou non). Ces équations peuvent être
d’un ordre quelconque et mettent en relations les entrées
(contrôlables ou perturbantes) et les sorties.
 Pour comprendre et analyser le comportement du système,
on doit résoudre ces équations différentielles.
 On introduit des variables d’état permettant de suivre ce qui
se passe dans le système, d’en analyser les points d’équilibre,
et d’étudier la stabilité à ces points.
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SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
14
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
15
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
16
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
17
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
18
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
 Sorties du système:
y(t )  g  x(t ), u(t ), w(t ), p(t ), t 
19
SYS-823 - Été 2013
Équations d’un système dynamique
 États du système:
 Équations différentielles:
dx(t )
 x(t )  f  x(t ), u(t ), w (t ), p(t ), t 
dt
 Sorties du système:
y(t )  g  x(t ), u(t ), w(t ), p(t ), t 
20
SYS-823 - Été 2013
Ces équations proviennent de…
 …lois et relations mathématiques des domaines suivants:
21
SYS-823 - Été 2013
Exemples
Loi d’Arrhenius
Lois de Newton
Relation courant tension d’une
inductance
Les principes de la thermodynamique
Pharmacocinétique (modèles à 1, 2
ou 3 compartiments)
22
SYS-823 - Été 2013
Types…
 Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être:
Linéaire
Non-linéaire
 Le système peut-être invariant dans le temps.
 Paramètres indépendants de la variable t.
 Le système peut ne pas avoir d’entrées.
 Il est alors qualifié d’« autonome ».
 L’équation différentielle est qualifiée d’homogène.
 Le système peut être continu ou discret.
 Dans ce dernier cas, certains signaux sont échantillonnés.
23
SYS-823 - Été 2013
Différentes approches de modélisation
 Équations différentielles ordinaires;
 Transformées de Laplace;
 Équations d’état.
24
SYS-823 - Été 2013
Exemple des 3 approches
u(t)
k
 Soit un système mécanique:
 u(t) = force externe (entrée);
 y(t) = déplacement de la masse (sortie).
m
y(t)
b
25
SYS-823 - Été 2013
 Équation différentielle ordinaire
my (t )  by (t )  ky (t )  u (t )
Approche – équations différentielles
u(t)
k
 Solution:
 Divisant par m :
y y y 
b
m
m
k
m
u
m
y(t)
b
26
SYS-823 - Été 2013
y  2n y   y  f (t )
2
n
Obtention de la sortie y(t)
 Puis (dans le cas où dzêta<1):



n t 
y (t )  yss 1  e
cos




yss  A
(m )
2
n
A
k


1   n t 
n 
2
k
m
 sin
  b
Si f(t) est un échelon d’amplitude A/m et les
conditions initiales nulles.
27
SYS-823 - Été 2013


1   2 n t  


2
1 


2 km
Approche – transformée de Laplace
 Solution.
u(t)
k
 Transformée de Laplace :
my (t )  by (t )  ky (t )  u (t )
m
y(t)
b
ms y(s)  bsy(s)  ky(s)  u(s)
2
28
SYS-823 - Été 2013
Approche – transformée de Laplace
 Puis :
y(s)  (ms  bs  k )  u(s)
2
 Ce qui donne:
 1m
y( s)
 2
u( s) s 
29
SYS-823 - Été 2013
b
m
s
k
m
Approche – transformée de Laplace
 Si u(t) est un échelon d’amplitude A:
A
u( s)  s
 Donc :
y ( s) 
30
SYS-823 - Été 2013
1 

A m
s s 
2
b
m
s
k
m

Approche – transformée de Laplace
 Et la transformé de Laplace inverse donne:
  n t

A k  1
e
2
y (t )     2  2
sin
1



t


n
k  m   n  n 1   2






 Donc :
  n t

A
e
2
1
y (t )  1 
sin
1



t

cos

n
2
k
1 


31
SYS-823 - Été 2013




Bilan
Transformée de Laplace
Manipulations plus
simples
Solution
(domaine temporel)
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SYS-823 - Été 2013
Transformée inverse
Problème transformé
(domaine s)
Manipulations
Problème initial
(domaine temporel)
Solution
(domaine s)
Approche – équations d’état
u(t)
k
 Équation de départ :
my  by  ky  u
m
y(t)
b
33
 Solution.
SYS-823 - Été 2013
 Posant :
x1  y
x2  x1  y
Approche – équations d’état
 L’équation se réécrit:
mx2  bx2  kx1  u
 Donc, nous avons le système d’équations suivant :
x1  x2
x2   x1  x2  u
k
m
34
SYS-823 - Été 2013
b
m
1
m
Approche – équations d’état
 Sous forme matricielle :
 x1   0
 x     k
 2  m
1   x1 


b 
 m   x2 
 La sortie y(t) s’écrit :
 x1 
y 1 0 
 x2 

35
SYS-823 - Été 2013

 0
 1 u
 m
Approche – équations d’état
 x1 
 x1 

A
 x 
 x   Bu
 2
 2
 Valeurs propres de la matrice A :
1,2
 b  b  4mk

2m
2
 Le comportement du système déprendra de ces valeurs
propres…
36
SYS-823 - Été 2013
Approche – équations d’état
 La sortie y(t) s’écrit :
t
y (t )  1 0  e
0
 0
 k
  m
1 
 ( t  )
b
 m 
0
 1  u ( )d
m
Exponentielle
d’une matrice !!!
37
SYS-823 - Été 2013
Modélisation de la circulation
(modèle simplifié)
Exemple:
38
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ?
 Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation.
39
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Modèle d’une voiture:
 Obstacle:
 Voiture;
 Feu de circulation;
 Arrêt.
 Vitesse de la voiture:
40
SYS-823 - Été 2013
Obstacle
Voiture
x(t)
vc
 xL

l  x  L v  mx  b
 xl
v0

Circulation automobile
 À un feu rouge:
Feu rouge
Voiture #2
Voiture #1
x(t)
B(t)
A(t)
 Distance entre les deux voitures:
x(t )  A(t )  B(t )
41
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Dérivons cette distance:
x(t )  A(t )  B(t )
 Le feu passe au vert:
 Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c;
 Ainsi:
x(t )  c   mx  b 
 mx   c  b 
42
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Cette équation:
x(t )  mx(t )  c  b
 Multipliant par u(t):
x(t )u(t )  mx(t )u(t )   c  b  u(t )
 Puis simplifiant:
 x(t )u(t )  '  x(t )u(t )  mx(t )u(t )  c  b  u(t )
43
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Cela implique que:
 En intégrant:
u(t )  mu(t )  u(t )  emt
t
t
0
0
x(t )u (t )    c  b  u ( )d    c  b  e m d
 Puis simplifiant:
c  b

x(t )u (t ) 
m
44
SYS-823 - Été 2013
mt
e
 1  C1
Circulation automobile
 Finalement:
c  b

x(t ) 
1  e mt
m

 mt

C
e
 1
 Soit la situation suivante à analyser:
 L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h).
 Cela implique que m = 5/4 et b = -5.
20  (5) 

x(t ) 
54
 (5 4) t
(5 4) t
1

e

C
e

 1
 20 1  e(5 4)t   C1e(5 4) t
45
SYS-823 - Été 2013
Circulation automobile
 Avec la condition initiale suivante x(0) = l = 4 m, alors:
x(0)  C1  4
 …et la dynamique de x(t) est:
x(t )  20  16e
 (en mètres).
46
SYS-823 - Été 2013
 5 4t
Circulation automobile
 Vitesse du second véhicule:

B(t )  mx(t )  b  20 1  e
 5 4t
Step Response

Step Response
20
140
18
Référence: arrière voiture #1
120
16
Voiture #1
Voiture #2
Voiture #2
Voiture #3
Voiture #4
12
Position (m)
Vitesse (m/s)
14
Voiture #5
Voiture #6
Voiture #7
10
Voiture #1
8
100
Voiture #3
80
Voiture #4
Voiture #5
Voiture #6
Voiture #7
60
40
6
20
4
0
2
0
-20
0
1
2
3
4
5
6
Temps (sec)
47
SYS-823 - Été 2013
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
Temps (sec)
7
8
9
10
Rappels de notions de systèmes
asservis
48
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Signaux d’entrée
49
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Transformée de Laplace
50
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Transformée de Laplace
 Fonction sinusoïdale amortie:
e
 at
sin t 

 s  a  
2
2
 Fonction « cosinusoïdale » amortie:
e
51
SYS-823 - Été 2013
 at
cos t 
sa
2
s

a




2
Rappel – Propriétés de la transformée
de Laplace
52
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Décomposition en fractions
partielles
 3 cas possibles:
 Les racines du dénominateur sont réels et distincts;
 Les racines du dénominateur sont réelles et multiples;
 Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires
pures.
53
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Décomposition en fractions
partielles – Cas #1
 Exemple:
K1
K2
2
F ( s) 


( s  1)( s  2) ( s  1) ( s  2)
2
2
F ( s) 

( s  1) ( s  2)
54
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Décomposition en fractions
partielles – Cas #2
 Exemple:
K0
K3
K1
K2
2
F ( s) 




3
2
3
s( s  1)
s ( s  1) ( s  1) ( s  1)
2
2
2
2
F ( s)  


2
s ( s  1) ( s  1) ( s  1)3
55
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Décomposition en fractions
partielles – Cas #3
 Exemple:
1
F ( s)  2
s  2s  17
( s  a) 2  b 2  s 2  2as   a 2  b 2 
4
( s  1)
1
F (s)   
 0
2
2
( s  1) 2  42
 4  ( s  1)  4
4
1
 
2
2
 4  ( s  1)  4
56
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Diagramme de Bode
 Représentation d’un nombre complexe:
 Soit:
1
F ( s) 
s  s  3
 En posant s = jω, on obtient:
1
F ( ) 
j  j  3

57
C’est un nombre complexe.
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Diagramme de Bode
 Amplitude du nombre complexe:
2
1
1
1
F ( ) 


2
2
3
2
j  j  3
  3
  9
 Exprimé en décibel:
M ()  20log10 F ()
58
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Diagramme de Bode
 Phase d’un nombre complexe:
F ( )  (1)  ( j )    j  3
 
 0  90  tan  
3
1
 Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme
de Bode.
59
SYS-823 - Été 2013
Rappel – Diagramme de Bode
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
Phase (deg)
-80
-90
-135
-180
-1
60
10
SYS-823 - Été 2013
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Rappel – Diagramme de Nyquist
 Partie réelle et imaginaire en fonction de la
fréquence angulaire.
Nyquist Diagram
2
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-0.2
-0.1
0
Real Axis
61
SYS-823 - Été 2013
0.1
Rappel – Marges de phase et de gain
 Diagramme de Bode:
Bode Diagram
2
G(s) 
2
s  s  3s  2 
100
System: untitled1
Gain Margin (dB): 9.54
At frequency (rad/sec): 1.41
Closed Loop Stable? Yes
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-90
Phase (deg)
-135
System: untitled1
Phase Margin (deg): 32.6
Delay Margin (sec): 0.76
At frequency (rad/sec): 0.749
Closed Loop Stable? Yes
-180
-225
62
SYS-823 - Été 2013
-270
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Rappel – Marges de phase et de gain
 Diagramme de Nyquist:
2
G(s) 
2
s  s  3s  2 
Nyquist Diagram
5
4
3
Imaginary Axis
2
System: untitled1
Gain Margin (dB): 9.54
At frequency (rad/sec): 1.41
Closed Loop Stable? Yes
1
0
-1
System: untitled1
Phase Margin (deg): 32.6
Delay Margin (sec): 0.76
At frequency (rad/sec): 0.749
Closed Loop Stable? Yes
-2
-3
-4
63
SYS-823 - Été 2013 -5-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
Rappel – Lieu des racines
 Position des pôles en boucle fermée:
G(s) 
Root Locus
4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
64
SYS-823 - Été 2013
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
2
2
s  s 2  3s  2 
Rappel – Lieu des racines
 Dénominateur de la fonction de transfert en
boucle fermée:
Den _ T ( s)  K Num _ G ( s)  Den _ G( s)
 2 K  s  s  3s  2 
2
 s 3  3s 2  2s  2 K
Localisation des pôles de T(s) est
fonction du gain K
65
SYS-823 - Été 2013
Outils matlab/simulink
66
SYS-823 - Été 2013
MATLAB®
 Création d’un modèle:
 Système bilinéaire:
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3
 Fonction bilin_ss.m:
67
SYS-823 - Été 2013
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1
MATLAB®
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3
 Points d’équilibre:
 Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles.
 Commande « fsolve »:
68
SYS-823 - Été 2013
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1
MATLAB®
 Pour obtenir la dynamique du système:
 Fonction bilin_dyn.m:
 Exécution:
69
SYS-823 - Été 2013
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3
MATLAB®
0
x1
-0.5
x2
-1
-1.5
États
0
-2
-0.5
-2.5
-3
-1
x2
-3.5
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps (sec)
3.5
4
-1.5
4.5
5
-2
-2.5
-3
-4
70
SYS-823 - Été 2013
-3.5
-3
-2.5
-2
x
1
-1.5
-1
-0.5
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3
MATLAB®
5
4
3
2
x2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
71
-4
-3
SYS-823 - Été 2013
-2
-1
0
x
1
1
2
3
4
SIMULINK®
 Simulation via schémas blocs:
x1 (t )  x2 (t )  x1 (t )  1  u1 (t )
x2 (t )  x1 (t )  x2 (t )  3  u2 (t )
72
SYS-823 - Été 2013
73
SYS-823 - Été 2013
Chimie
 Réaction chimique: C10 H8
 12O2  10CO2  4H 2O
 Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de
la température).


 Loi d’Arrhenius: k (T )  A exp  E RT
 k : constante de la vitesse de réaction
 E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole);
 R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/kelvin);
 A : Facteur de fréquence;
 T : Température en kelvin.
74
SYS-823 - Été 2013
Physique mécanique
 Lois de Newton:
 1ère loi (principe de l’inertie) :
 Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un
ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos,
soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse
demeure constant).
 F  0  v  constante
75
SYS-823 - Été 2013
Physique mécanique
 Lois de Newton:
 2e loi (théorème du centre d’inertie) :
 Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à
un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son
vecteur accélération.
 F  ma
76
SYS-823 - Été 2013
Physique mécanique
 Loi de Newton:
 3e loi :
 Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce
sur le solide S1, la force directement opposée.
F12  F21
77
SYS-823 - Été 2013
Physique électrique
 Relation tension/courant dans une inductance:
dI
V L
dt
 Relation tension/courant dans un condensateur:
1
V   Idt
C
78
SYS-823 - Été 2013
Thermodynamique
 Les principes:
 0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un
troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique.
 1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une
forme d’énergie à une autre.
 2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à
l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…).
79
SYS-823 - Été 2013
Physiologie
 Modèles à compartiments:
 Dynamique du cholestérol:
80
SYS-823 - Été 2013
Sources d’images/modèles
 Figures aux acétates #38 et #40:
 Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008;
 Modèle de circulation:
 http://www.math.toronto.edu/mathnet/carcompet/model.ht
ml (visité le 6 septembre 2012) , 1997;
 Figure à l’acétate #77:
 Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., « Compartment
models »,
http://www4.ncsu.edu/~msolufse/Compartmentmodels.pdf
(visité le 6 septembre 2012) , 2005.
81
SYS-823 - Été 2013
Système lévitation magnétique
 La force exercée par un électroaimant est représentée par:
kI 2
F 2
S
 Avec I: le courant circulant dans l’électroaimant (en
Ampère), S: la distance entre l’électroaimant et l’objet (en
mètre), k: une constante dépendant de l’électroaimant (en N
m^2/A^2).
82
SYS-823 - Été 2013
Système lévitation magnétique
 Si l’objet en sustentation est de masse M (en kg):
kI 2
My  Mg  2
y
 Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette
position est:
ye 
83
SYS-823 - Été 2013
kI 2
Mg
Système lévitation magnétique
 Considérant l’entrée U = I2:
kU
k
yg
 ye 
2
My
My 2
2kU
U 
3
My
ye ,Ue
y
ye ,Ue
kU e
g
y  ye 
U  2 g
y
Ue
Mg
 Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette
position est:
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SYS-823 - Été 2013