Chap. 9

Chapitre 9
hn
INFLUENCE D’UN CHAMP
MAGNÉTIQUE SUR LES
NIVEAUX D’ÉNERGIE
QUANTIFICATION
SPATIALE
Guy COLLIN,
2014-12-29
Préambule
• On a vu que pour chacun des atomes le moment
magnétique de spin vient s’ajouter au moment orbital. Si
l’on immerge un atome dans un champ magnétique
intense, comment interagit ce champ magnétique avec le
moment magnétique de l’atome ?
• Ce dernier s’oriente-t-il dans le sens du champ
uniquement comme le fait l’aiguille d’une boussole dans
le champ magnétique terrestre ? Peut-il prendre d’autres
orientations ?
• Comment peut-on observer ces orientations ?
hn • Que peut-on déduire de ces observations ?
2014-12-29
Rappels

Dans le cas des atomes hydrogénoïdes, la
solution de l’équation de SCHRÖDINGER
introduit trois nombres quantiques n,  et m :
quantifie l’énergie ;
  quantifie le moment angulaire orbital ; et
 le nombre m fixe la projection du moment
cinétique sur l’axe Oz par la relation :
n
hn
mh
Pz =
=m
2
2014-12-29
Rappels : nombres quantiques
Nombre
Grandeur quantifiée
n

Entier positif
n 1    0
m
+ m  
Énergie : En = h c RH /n2
Moment angulaire orbital
L = [ ( + 1) ] 1/2 
Moment angulaire orbital selon
un axe Oz
En l’absence de toute intervention extérieure, les niveaux
d’énergie correspondant aux valeurs possibles de m sont
hn
dégénérés, c’est-à-dire qu’ils possèdent la même énergie.
2014-12-29
Moment magnétique
associé au moment orbital

Un électron qui tourne autour du noyau sur une
orbite sous l’action de la force centrale de
COULOMB développe un moment cinétique L
constant :
 

L = r  me u
hn
L
r
me u
2014-12-29
Vecteur moment cinétique
u dt
e
M
M'
me u
dS
r
Noyau
hn
En valeur absolue, ce vecteur L est égal à l’aire du
parallélogramme construit sur les vecteurs me uet r .
2014-12-29
Vecteur moment cinétique
u dt
e
M
M’
L = r me u et
me u
2dS = r u dt
dS
D’où L/2 dS = me /dt
r
noyau
ou dS/dt = L / 2 me
dS/dt vitesse aérolaire
dS/dt = n S
L’orbitale est équivalente à une spire, de surface S, parcourue par un
électron n fois par seconde. Dans ce cas, le moment magnétique est
hn
égale à : M = I S =  n e S et n S =  M / e.
2014-12-29
Moment cinétique
et moment magnétique

À un moment cinétique p de l’électron
est associé un moment magnétique dont
la valeur est donnée par :
e
M= L2m
e

hn
Le vecteur M est un vecteur
colinéaire à L mais de sens
opposé.
2014-12-29
Magnéton de BOHR
On se souvient de l’unité de moment cinétique h / 2 
On peut associer à cette unité de moment cinétique
une unité de moment magnétique appelée magnéton
de BOHR dont la valeur absoluehest : e
he
.
µB =
=
(SI)


2
2 me
4  me
où µB = 0,927 3 × 1023 J/(Wb/m2)
Suivant la valeur du nombre quantique orbital : 0, 1, 2, 3, etc.,
le moment magnétique associé au mouvement orbital d’un
électron sera : 0, µB , 2 µB , 3 µB, etc.
La valeur exacte du moment magnétique associé est donc :



hn
ML =  L (L + 1)
µB
2014-12-29
Moment magnétique
associé au spin de l’électron


hn
S’il ne peut être calculé théoriquement, le
moment magnétique associé au spin peut être
mesuré directement.
Au moment cinétique (1/2) (h/2 )
est associé 1 magnéton de BOHR :
MS =  2 S (S + 1)
µB
2014-12-29
Moment magnétique
et champ magnétique
µ ( H + H/  z)
q
H
µ
W =  M H =  M H cos q
Fz =  dW/dz et
Fz =  M dH/dz cos q
+µ
hn
Fz
2014-12-29
Jet atomique et champ magnétique
Source
d’atomes
Pièce polaire sud
Pièce polaire nord
hn
jet atomique en
l’absence de champ
magnétique
écran
refroidit
jet atomique en
présence de champ
magnétique
vers la
pompe à vide
2014-12-29
Expérience de
STERN et GERLACH
avec des atomes ayant un spin = 1/2
En l’absence de champ,
les atomes d’argent, de
sodium,… viennent se
condenser en une seule
tache.
En présence de champ, le
faisceau se sépare en deux
hnfaisceaux distincts.
pôles
magnétiques
nord
+ 1/2
faisceau
d’atomes
 1/2
sud
2014-12-29
L’interprétation pour
des atomes dans un état S1/2


hn

L’expérience de STERN et GERLACH montre
donc que le moment magnétique de spin peut
s’orienter dans deux positions seulement par
rapport à un champ magnétique : dans le sens
du champ et dans le sens opposé au champ.
L’expérience permet de mesurer le moment
magnétique associé au spin.
On trouve un magnéton de BOHR pour les
atomes dans l’état 2S1/2.
2014-12-29
Atomes dans un état quelconque
Le magnétisme a deux origines : les moments cinétiques
orbitaux et de spin

J

=


L + S
Que se passe-t-il si on fait l’expérience de
STERN et GERLACH avec un atome dont le
moment cinétique total est J ?
 On
hn
observe 2 J + 1 taches disposées
symétriquement par rapport à la tache centrale.
 La valeur du moment magnétique déduite de la
mesure n’est pas J mB mais g J mB.
2014-12-29
Calcul du facteur g
(facteur de LANDÉ)
Rappel :
ML =  L (L + 1) µB
MS =  2

hn
S (S + 1)
µB
Les deux vecteurs moments magnétiques orbitaux et
de spin n’ayant pas la même valeur absolue, on
montre que leur somme fait intervenir un facteur de
proportionalité que l’on peut calculer :
J(J + 1) + S(S + 1)  L(L + 1)
g=1+
2 J(J + 1)
2014-12-29
Cas particuliers
du facteur de LANDÉ
J(J + 1) + S(S + 1)  L(L + 1)
g=1+
2 J(J + 1)

Si S = 0, on a J = L et g = 1.

Si L = 0, on a J = S et g = 2.

Si g = 1 + 0/0, (L =  S), l’atome n’a pas de moment
magnétique propre.
Si g = 0, le niveau correspondant n’est pas subdivisé en sous
hn niveaux en présence de champ magnétique.

2014-12-29
Quelques facteurs de LANDÉ
Spin S
1/2
1
J
État P
L=1
État D
L=2
État F
L=3
L + 1/2
L  1/2
L+1
L
L1
4/3
2/3
3/2
3/2
0/0
6/5
4/5
4/3
7/6
1/2
8/7
6/7
5/4
13/12
2/3
hn
2014-12-29
Effet ZEEMAN normal
Lorsque l’atome émetteur est placé dans un champ
magnétique, on assiste à un dédoublement des
raies d’émission.
 L’effet normal est observé lorsque le niveau
d’énergie correspond à un spin S = 0, c’est-à-dire
lorsqu’il s’agit d’un niveau simple (2 S + 1 = 1).
 Rappelons que dans ce cas, le facteur g = 1 .
 On montre que M = L cos q
et que
M =  L,  L + 1, ...... ,+ L.
hn

2014-12-29
Dédoublement d’un niveau
dans un champ magnétique
Énergie
M
+1
µB H
Niveau
primitif
1
hn
P1
0
1
Niveau dans le champ magnétique.
2014-12-29
Dédoublement d’un niveau
M
Énergie
+2
µB H
Niveau
primitif
1D
hn
2
+1
0
1
2
Niveau dans le champ magnétique.
2014-12-29
Effet ZEEMAN normal
sur l’atome d’hélium
1P
1
M
+1
0
1
µB H
1S
0
0
sans champ
hn
hn0
avec champ
E
hn0
E
Rappel : +   M   
2014-12-29
Effet ZEEMAN normal
sur une transition du Cd
M
+2
+1
0
1
2
µB H
1D
2
E0 + µB H
1P
1
sans champ
hn
M
+1
0
1
E0
hn0
E
E0  µB H
hn0
E
Règle de sélection : D M = 0, ± 1
2014-12-29
Effet ZEEMAN anormal
sur la transition D1 du Cd
avec champ
2P
1/2
2S
1/2
sans champ
hn
n0
E
n0
M
Mg
+ 1/2 + 1/3
 1/2  1/3
M
+ 1/2
Mg
+1
 1/2
1
E
Rappel : + J  M  2014-12-29
J
Effet ZEEMAN anormal
sur la transition D2 du Cd
+ 3/2
+ 1/2
 1/2
 3/2
g µBH
2P
3/2
+ 6/3
+ 2/3
 2/3
 6/3
hn0
2S
1/2
sans champ
hn
hn0
E
n0
M
+ 1/2
Mg
+1
 1/2
1
E
Règle de sélection : D M =2014-12-29
0, ± 1
Notation atomique
Multiplicité du niveau
2S+1
Moment cinétique orbital
hn
XJ = L + S
Somme vectorielle
des moments
2014-12-29
Conclusion
Le moment magnétique de l’atome, en présence d’un
champ magnétique externe prend des orientations
privilégiées de telle manière que le moment
magnétique de l’atome est égal à un nombre entier de
magnéton de BOHR.
 La mise en évidence de cette quantification spatiale
est observée lors de la déviation subie par un faisceau
d’atomes de sodium, par exemple, circulant entre les
mâchoires d’un électroaimant développant un champ
intense.
hn
 Le faisceau originel se dédouble en 2J + 1 faisceaux.

2014-12-29
Conclusion


Par ailleurs, l’effet ZEEMAN normal (et anormal)
permet de « voir » ces orientations à travers le
dédoublement de raies d’émission résultant d’un
saut électronique.
Ces expériences permettent de caractériser les
niveaux d’énergie impliqués dans les transitions.
hn
2014-12-29