Magnétométries

Réponse linéaire
à un champ électrique
RMN page 1
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Point de vue diélectrique
RMN page 2
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Point de vue diélectrique
 tot
div E 
0
div D   ext
div P    ind
D   0 E  P   0 r E
P(q,  )   0  d (q,  ) E (q,  )
1ère formulation :
div E  i q.E   /  0
div P  i q.P    ind
i q.P(q,  )   0  d (q,  )i q.E (q,  )
   ind (q,  )   d (q,  )  tot
Susceptibilité : réponse de la charge induite créée par la charge totale.
RMN page 3
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Point de vue diélectrique
P(q,  )   0  d (q,  ) E (q,  )
 tot
div E 
0
div D   ext
div P    ind
D   0 E  P   0 r E
2ème formulation : équation Poisson

  
0
 ( q,  )
  q  ( q,  )  
0
2
  ind (q,  )   d (q,  )  tot   0 q 2  d (q,  ) (q,  )
RMN page 4
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Point de vue de la conductivité
appliqué aux diélectriques : on traite la conductivité
électrique des charges induites (pas des charges
extérieures)
RMN page 5
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Point de vue de la conductivité
Conservation de la charge :
0  . j 
 ind
t
0  i q. j  i ind
Loi d’Ohm locale : j (q, )   (q, ) E(q, )
  ind (q,  )   d (q,  )  tot
0  i q. (q,  ) E (q,  )  i d (q,  )  tot (q,  )
0  i q. (q,  ) E (q,  )  i d (q,  )i q.E (q,  ) 0
RMN page 6
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
div E  i q.E   /  0
Point de vue de la conductivité
0  i q. (q,  ) E (q,  )  i d (q,  )i q.E (q,  ) 0
D’où
 (q,  )  i 0 d (q,  )
La conductivité est une autre forme de réponse linéaire
Lien avec la réponse diélectrique :
 r ( q,  )  1 
i ( q ,  )
 0
RMN page 7
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Cas des métaux
1
Modèle de Drude : les électrons subissent un frottement visqueux f   m v

sous l’effet d’un champ électrique dans un métal
d 2x
m dx
m 2  f  eE  
 eE
dt
 dt
mi
 m 2 x 
x  eE

x
1
m
1
2 
i
eE

dx
 E
dt
Ne dx
Ne
Ne i
Ne 2 1
 

i x 
eE 
i

E dt
E
Em  2 
m 1

i 
2
0
Ne 
1


m 1  i 1  i
j   Nev   Ne
RMN page 8
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Cas des métaux
Modèle de Drude
0
Ne 2
1


m 1  i 1  i
Limite statique :
Ne 2

m
En général :
Ne2 1  i
Ne2
1
Ne2 
   'i ' ' 

i
2 2
2 2
m 1  
m 1  
m 1   2 2
RMN page 9
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Cas des métaux
Ne2 1  i
Ne2
1
Ne2 
   'i ' ' 

i
2 2
2 2
m 1  
m 1  
m 1   2 2
pic de Drude
de largeur 1/
RMN page 10
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Ne 2
Origine du temps de scattering  dans  
m
Règle de Matthiessen :
1


1

1
1  2

1
3
...
Les temps de diffusion principaux :
Phonons :
1

 T
Electron-electron :
1

T2
Desordre-impuretés : 1  cste

RMN page 11
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Lien entre approche métallique et diélectrique
On écrit la polarisation prop. au déplacement moyen des électrons * charge :
 r  1 d  1
Ne 1
0 m
1
2 
i
e  1

P  Nqx   Ne
1
1
eE   0  d E
m  2  i

i
 0
C’est la réponse des électrons des dipoles du diélectrique.
Si autres électrons :
 rtot   rautre 
i ( )
 0
Métal opaque
On en déduit la réflectivité :
n 1

n 1
2
R
 r 1
R
2
 r 1
Catastrophe ultraviolette
1
 p  Ne2 /  0 m
 infini
 fini
Métal transparent
p
RMN page 12
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

Réflectivité :
n 1

n 1
2
R
 r 1
2
 r 1
R
1
Catastrophe ultraviolette
Métal opaque
 p  Ne2 /  0 m
 infini
 fini
Métal transparent
p
RMN page 13
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)

Lien avec la théorie de la réponse linéaire
On peut montrer que la réponse diélectrique ou la conductivité optique sont liées par th.
Fluctuation-dissipation à la réponse courant-courant ou charge-charge :
Raison physique :
Un électron à l’équilibre a un mouvement aléatoire brownien créant des fluctuations du
courant électrique (dû aux vibrations du réseau et des autres électrons).
Sous l’effet d’un champ E : il apparaît  car les électrons se déplacent et subissent des
chocs assimilables à une force visqueuse. Ces chocs sont les mêmes que ceux qui
gouvernent les électrons à l’équilibre. Donc  et les fluctuations à l’équilibre sont liés
aux mêmes forces visqueuses donc liés entre eux.
Si on mesure le bruit à l’équilibre d’une résistance : bruit thermique Johnson
Fluctuations de la tension
RMN page 14
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Dissipation (resistance)
Techniques de mesure
RMN page 15
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Techniques de mesures : la réflectivité
On mesure R par la réflexion d’un rayonnement pour différentes fréquences
Avec Kramers Kronig on peut montrer que si r ( ) 
n 1
 2
alors R( )  r ( )r ( ) 
n 1
2
n( )  1
  ( )ei ( )
n( )  1
*
 ( )  
2


ln  ( ' )
d '
2
2



'


0
vp
Donc en mesurant  sur une large bande de fréquence, on peut remonter à 
Interêt : mesurer l’échantillon en incidence normale donc pouvoir travailler sur
de petits matériaux.
Problème : devoir travailler sur la plus large bande possible spectrale pour KK
RMN page 16
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Techniques de mesures : l’ellipsométrie
On mesure aussi le changement de polarisation donc on accède directement
à la phase donc la mesure complexe de 
Problème : on étudie l’échantillon en incidence rasante et pas
perpendiculairement comme la reflectivité donc moins sensible. Il faut un
meilleur cristal (et plus subtil si effets anisotropes).
RMN page 17
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Techniques de mesures : les techniques pulsées
Dans le domaine temporel, on crée une impulsion courte de lumière qu’on
envoie sur l’échantillon et on étudie sa réponse.
Interêt : réponse à toutes les fréquences contenues dans l’impulsion
(comme la RMN par TF)
Difficulté : créer des impulsions ultra courtes (typiquement à la psec) pour
accéder à de larges domaines fréquenciels (THz)
Exple : impulsion transmise après passage dans du Niobium au dessus (pointillé) et en dessous (plein)
de sa transition supra – déduction de la conductivité optique associée
RMN page 18
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Le monde réel
RMN page 19
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
En réalité : bien plus compliqué car nombreuses excitations
supplémentaires
~ 0.25 meV
~ 2 cm-1
1 eV
10 000 cm-1
2 eV
3 eV
20 000 cm-1
1 mm
~ 5 mm
Superconducting gap
4 eV
30 000 cm-1
500 nm
5 eV
40 000 cm-1
333 nm
250 nm
Plasmon Semiconductors
Phonons
Molecular Vibrations (biology and chemistry)
Polarons
Density-wave gap
Plasmon oxides
Gap Semiconductors
Oxides Charge Transfer
Plasmon metals
@ R. Lobo, ESPCI
RMN page 20
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
De plus, dans les systèmes corrélés, des comportements innatendus
où le modèle de Drude échoue :
8000
1/DC
-1
1 ( cm )
6000
4000
-1
YBCO – 100 K
2000
Drude
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
-1
Fréquence (cm )
@Lobo ESPCI
RMN page 21
- Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)