Probabilités - La Faculté des Sciences Sociales de l`Université de
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Probabilités Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2 2016 – 2017 Séance 3 Previously in « Probabilité » Loi de l’addition : 𝐴∪𝐵 𝑝 𝐴⋃𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 Loi de Morgan : 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 et 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 Loi de la multiplication : 𝐴∩𝐵 Événements indépendants 𝒑 A∩B = 𝒑 𝑨 × 𝒑 𝑩 Événements dépendants 𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑𝑨 𝑩 × 𝐩(𝐀) Previously in « Probabilité » Le principe multiplicatif 𝑝 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶 × × Ω Ω Ω 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 = = Ω × Ω × Ω Ω3 Previously in « Probabilité » Formule de Bayes Si p(B)≠0 𝑝𝐵 𝐴 = 𝑝𝐴 𝐵 ×p(A) p(B) Previously in « Probabilité » Formule de Bayes, si on va plus loin On remarque que : 𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝𝐴 𝐵 × 𝑝 𝐴 + 𝑝𝐴 (𝐵) × 𝑝(𝐴) Alors : 𝑝𝐵 𝐴 = 𝑝𝐴 𝐵 ×p(A) 𝑝𝐴 𝐵 ×𝑝 𝐴 + 𝑝𝐴 (𝐵)×𝑝(𝐴) Previously in « Probabilité » Toujours lire attentivement l’énoncé Previously in « Probabilité » Vous venez de passer un test pour le dépistage d’un cancer. Le médecin vous convoque et vous annonce que le résultat est positif. Ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population. Patient, fébrile - Le test est-il fiable? Médecin. - Si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 97% des cas. Quelle est la probabilité que vous ayez ce cancer ? Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 9 300 309 𝑷 1 9 690 9 691 Total 10 9 990 10 000 Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 90 % 3% 3% 𝑷 10 % 97 % 97 % Total 100 % 100 % 100 % Fréquence en colonne : Fréquence en ligne : Test Malade - M 𝑴 Total Positif - P 2,9 % 97,1 % 100 % 𝑷 0,01 % 99,99 % 100 % Total 0,1 % 99,9 % 100 % Previously in « Probabilité » Sur les 309 personnes testées positives, 9 sont malades et 300 sont saines (faux positifs). Si vous êtes positif, vous n’avez que 2,9% (=9/309) de risque d’être malade et 97,1% (=300/309) de chance d’être un faux positif. Pourquoi ce résultat est-il contre-intuitif? Previously in « Probabilité » Soit l’événement M: « être malade » Soit l’événement P: « avoir un résultat positif au test » Confusion entre « la probabilité d’être malade sachant que le test est positif » et « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade ». Previously in « Probabilité » Si vous êtes testé positif et que vous vous demandez si vous avez ce cancer, vous cherchez la probabilité suivante pP(M) : « la probabilité d’être malade sachant que le test est positif » Si le médecin vous dit que si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas, vous cherchez cette probabilité pM(P) : « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade » Previously in « Probabilité » Comment passer de 𝑝𝑃 𝑀 à 𝑝𝑀 𝑃 ? 𝑝𝑃 𝑀 = 𝑝𝑀 𝑃 ∗𝑝(𝑀) 𝑝(𝑃) 𝑝𝑃 𝑀 = 0,90∗0,001 0,0309 𝑝𝑃 𝑀 = 0,029 = 2,9% La probabilité d’être malade sachant que le test est positif 𝑝𝑃 𝑀 = 2,9 % La probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade 𝑝𝑀 𝑃 = 90% Previously in « Probabilité » Le dénombrement Le Dénombrement : Ordonné ? Oui Arrangement Non Combinaison L’arrangement : Disposition ordonnée de p éléments parmi n éléments 𝑝 Noté : 𝐴𝑛 lecture : « arrangement de p éléments parmi n » Previously in « Probabilité » Le dénombrement Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Previously in « Probabilité » Le dénombrement Les factorielles : « ! » 𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 Exemple : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ! = 𝑛! Exemple : 6 x 5! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! 1! = 1 0! = 1 Previously in « Probabilité » Le dénombrement 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! • n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble • p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble Previously in « Probabilité » Le dénombrement Dans une association, on doit élire 1 président, 1 secrétaire et 1 trésorier parmi n candidat. Sachant que tous les candidats se présentent à tous les postes, combien y a-t-il de possibilités avec : n=3 𝐴33 = 3! 3−3 ! = 3! 0! = 3 × 2 ×1 1 =6 n=6 𝐴63 = 6! 6−3 ! = 6! 3! = 6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 3 ×2×1 = 6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 3 ×2×1 = 6 × 5 × 4 = 120 Previously in « Probabilité » Le dénombrement n = 10 𝐴10 3 = 10! 10−3 ! = 10! 7! = 10×9×8×7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 = 10×9×8×7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 7×6 ×5 ×4 × 3 × 2 ×1 10 × 9 × 8 = 720 n = 101 𝐴101 = 3 101! 101−3 ! = 101! 98! = 101 × 100 × 99 = 999 900 = Previously in « Probabilité » Le dénombrement Ordonné ? Quand n=p Oui Non Arrangement Permutation Combinaison Avec remise ? Oui Définition : disposition ordonnée de tous les éléments d’un ensemble Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Arrangement et permutation Dans l’exercice précédent nous avions dit qu’avec n=3 3! 3! 3 × 2 × 1 3 𝐴3 = = = =6 3 − 3 ! 0! 1 𝑝 Soit : 𝐴𝑛 = 𝑛! 𝐴𝑛𝑛 𝑛−𝑝 ! = 𝑛! 𝑛−𝑛 ! 𝐴𝑛𝑛 = 𝑛! 0! = 𝑛! 1 = 𝑛! On note quand n=p : 𝑷𝒏 = 𝒏! 𝑃3 = 3! = 3 × 2 = 6 La permutation est une simplification de la formule de l’arrangement quand n=p Tout va s’arranger Avec remise Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛 𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Tout va s’arranger Avec remise Nombre d’arrangements possibles avec remise 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛 𝑝 • n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble • p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble Arrangement avec remise 1er evt 2ème evt D E F G D E F G D E F G D E F G D E F G Résultats DD DE DF DG ED EE EF EG FD FE FF FG GD GE GF GG L’ordre compte : DE ≠ ED Les arrangements possibles sont (D,D),(D,E),(DF),(D,G), … (G,G) 16 arrangements possibles Soit 4 x 4 = 16 arrangements possibles Tout va s’arranger Avec remise Avec la formule n=4 et p=2 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛 𝑝 𝐴24 = 42 = 4 × 4 = 16 arrangements possibles Tout va s’arranger Avec remise Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: a) Le mot de passe ne comporte que des voyelles en minuscule et fait 5 lettres. n = 6 (voyelles dans l’alphabet) p = 5 (lettres dans le mot de passe) 𝐴56 = 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7 776 Tout va s’arranger Avec remise Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: b) Le mot de passe ne comporte que des voyelles en minuscule et fait 10 lettres. n = 6 (voyelles dans l’alphabet) p = 10 (lettres dans le mot de passe) 10 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 𝐴10 6 =6 60 466 176 mots de passes différents possibles Tout va s’arranger Avec remise Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si: c) Le mot de passe fait 6 lettres et peut comporter chacune des 26 lettres de l'alphabet français. n = 26 (lettres dans l’alphabet) p = 6 (lettres dans le mot de passe) 𝐴626 = 266 = 308 915 776 mots de passes différents possibles Tout va s’arranger Avec remise Une personne veut entrer dans un ordinateur, il ne connait pas le mot de passe mais a vu le propriétaire le taper : il n’utilisait que les lettres du clavier et a frappé 6 fois sur le clavier. Quelle est la probabilité de trouver le mot de passe avec 10 essais ? Card (A) = 10 (essais) Card(Ω) = ? Arrangement avec remise 𝒑 Card(Ω) = 𝑨𝒏 avec n=26 et p=6 Card(Ω)= 𝐴626 = 266 = 308 915 776 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴) 10 p A = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 308 915 776 = 0,000 000 032 Soit, en 10 essais, on a 0,000 000 32% de chance de trouver le mot de passe Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛 𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! ? La combine Un moyen astucieux Ordonné ? Oui Non Arrangement Disposition non ordonnée de p éléments parmi n éléments Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Oui Non 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑝! ∗ 𝑛 − 𝑝 ! Combinaison 𝒑 𝑪𝒏 𝑝 𝐶𝑛 Sans remise 𝒏! = 𝒑! × 𝒏 − 𝒑 ! 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 De l’arrangement à la combinaison 𝑝 𝐶𝑛 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! 𝑝! 𝑛! 𝑛−𝑝 ! 1 ∗ 𝑝! 𝐶𝑛 = 𝑝 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 ! 𝑝 𝐶𝑛 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 ! = De l’arrangement à la combinaison - Illustration On tire au hasard trois billes d'un sac contenant une bille rouge (R), une bille bleue (B), une bille jaune (J) et une bille verte (V). 24 arrangements possibles en tenant compte de l'ordre : (R, B, J), (R, B, V), (R, J, B), (R, J, V), (R, V, B), (R, V, J), (B, R, J), (B, R, V), (B, J, R), (B, J, V), (B, V, R), (B, V, J), (J, R, B), (J, R, V), (J, B, R), (J, B, V), (J, V, R), (J, V, B), (V, R, B), (V, R, J), (V, B, R), (V, B, J), (V, J, R), (V, J, B). 6 permutations possibles: 6 façons différentes de tirer trois billes de couleur si l'on tient compte de l'ordre Si l’on tient pas compte de l’ordre, RBJ=RJB=BRJ= BJR=JRB=JBR 4 combinaisons possibles : (R, B, J), (R, B, V), (J, B, V), (J, V, R). Donc on divise 24 par 6 4 De l’arrangement à la combinaison Avec la formule p=3 billes choisies parmi n=4 billes 𝒑 𝑪𝒏 𝐶43 = 𝐶43 = 𝐶43 = 4! 3! 4−3 ! 4×3×2×1 3×2×1 ×1 24 6 =4 𝒏! = 𝒑! 𝒏 − 𝒑 ! C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ? Ordre ? Remise ? C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ? Ordre ? NON Remise ? NON 𝒑 Combinaison sans remise : 𝑪𝒏 = 𝒏! 𝒑! 𝒏−𝒑 ! C’est quoi la combine ? Dans un jeu de 32 cartes, combien de mains de 5 cartes peut-on recevoir ? 𝒑 Combinaison sans remise : 𝑪𝒏 = 𝒏! 𝒑! 𝒏−𝒑 ! Avec p=5 cartes parmi n=32 5 𝐶32 = 5 𝐶32 = 32! 5! 32−5 ! 32×31×30×28×27! 5! × 27! = 32×31×30×29×28 5×4×3×2 = 201 376 𝑚𝑎𝑖𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Oui 𝒑 𝑪𝒏 (𝒏 + 𝒑 − 𝟏)! = 𝒑! × 𝒏 − 𝟏 ! Non 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑝! × 𝑛 − 𝑝 ! Combinaison Avec remise Nombre de combinaisons possibles avec remise 𝒑 𝑪𝒏 (𝒏 + 𝒑 − 𝟏)! = 𝒑! × 𝒏 − 𝟏 ! • n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble • p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble Combinaison Avec remise Dans un festival, vous avez 5 tickets boisson. Le bar peut vous servir 8 boissons différentes pour 1 ticket… Combien de possibilités avez-vous ? Ordre ? Remise ? Combinaison Avec remise On tire au hasard trois billes dans une urnes qui contient 1 bille rouge, 2 billes violettes distinctes, et 3 billes kaki distinctes. Combien existe-t-il de combinaisons possibles si l’on effectue les tirages avec répétition ? 𝒑 Ordre ? Non, Remise ? Oui Combinaison avec remise : 𝑪𝒏 = Avec p=3 billes choisies parmi n=8 billes 𝐶73 = (7+3−1)! 3! 7−1 ! 𝐶73 = 9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 3∗2∗1∗6∗5∗4∗3∗2∗1 = 9! 3!∗6! = 504 6 = 84 combinaisons possibles (𝒏+𝒑−𝟏)! 𝒑!× 𝒏−𝟏 ! Combinaison Avec remise On peut aussi passer par la formule de la combinaison sans répétition en remplaçant n par n+p-1 𝑝 𝐶𝑛 3 𝐶7+3−1 = 𝐶93 3 𝐶7+3−1 = 9! 3! 9−3 ! 3 𝐶7+3−1 = 84 𝑛! = 𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! S’arranger avec nos combinaisons Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Oui 𝑝 𝐶𝑛 (𝑛 + 𝑝 − 1)! = 𝑝! × 𝑛 − 1 ! Non 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑝! × 𝑛 − 𝑝 ! Quelques illustrations pour digérer Vers l’infini et l’au-delà ! Probabilités • 1er semestre Statistique descriptive • 2ème semestre • 3ème et 4ème semestres Statistiques inférentielles Statistiques inférentielles ? Variable aléatoire Définition : Variable qui prend différentes valeurs numériques selon le résultat d’une expérience aléatoire Grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat de l’expérience aléatoire Variable aléatoire Illustrons ! On lance un dé à 6 faces. Si le résultat est pair, le joueur gagne le double du résultat. Si le résultat est impair, le joueur perd le double du résultat. Soit X, la variable aléatoire, qui est égale au gain du joueur. Quelles sont les valeurs possibles de X? Quelle est la loi de probabilité de X? Variable aléatoire Illustrons ! Quelles sont les valeurs possibles de X? Résultats 1 2 3 4 5 6 Valeur de X -2 4 -6 8 -10 12 Intérêt du tableau : lister toutes les valeurs de X sans en oublier Plus petite valeur: -10 Plus grande valeur: 12 Variable aléatoire Illustrons ! Quelle est la loi de probabilité de X ? La loi de probabilité d’une variable aléatoire (v. a.) X est donnée par le tableau suivant: Valeurs de X xi x1 x2 x3 Probabilités pi p(X=x1) p(X=x2) p(X=x3) p1 p2 p3 … xn p(X=xn) pn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaa Notation abrégée Somme des probabilités est égale à 1 : 𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 =1 Variable aléatoire Illustrons ! Exemple du dé : Résultats 5 3 1 2 4 6 Valeurs de X -10 xi -6 -2 4 8 12 Probabilités pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Variable aléatoire Illustrons ! Exemple du dé : Valeurs de X -10 xi -6 -2 4 8 12 Probabilités pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 𝑝𝑖 = 1 Variable aléatoire et loi de probabilité La loi de probabilité d’une variable aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles de X (xi) et les probabilités associées (pi) Lister toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X xi Pour chaque valeur de X, calculer la probabilité qu’elle soit obtenue pi A retenir ! Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui 𝑝 𝐴𝑛 = 𝑛𝑝 Non 𝑝 𝐴𝑛 𝑛! = 𝑛−𝑝 ! Si n=p Permutation 𝑃𝑛 = 𝑛! Oui 𝑝 𝐶𝑛 (𝑛 + 𝑝 − 1)! = 𝑝! × 𝑛 − 1 ! Non 𝑝 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑝! × 𝑛 − 𝑝 ! A retenir ! Variable aléatoire Variable qui prend différentes valeurs numériques selon le résultat d’une expérience aléatoire Majuscule pour la variable aléatoire (v. a.), minuscule pour les valeurs prises par la v. a. Loi de probabilité Ensemble des valeurs possibles de X et des probabilités associées 𝑝𝑖 = 1
