Les Suites.

chapitre 6
Les Suites.
Exercice d’approche : complétez les lignes suivantes :
1 4
7
10 …
2 6
18 54 …
3 5
8
13 …
chapitre 6
Les Suites.
Exercice d’approche : complétez les lignes suivantes :
1 4
7
10 13
2 6
18 54 162
3 5
8
13 21
chapitre 6
Les Suites.
Exercice d’approche : complétez les lignes suivantes :
1 4
7
10 13
10 + 3 = 13
2 6
18 54 162
54 × 3 = 162
3 5
8
13 21
8 + 13 = 21
chapitre 6
Les Suites.
I Suite numérique réelle :
1°) Définition :
Une suite réelle est une fonction définie sur N ( ou N* ) à valeurs
dans R.
chapitre 6
Les Suites.
I Suite numérique réelle :
1°) Définition :
Une suite réelle est une fonction définie sur N ( ou N* ) à valeurs
dans R.
2°) Notations :
f : x → f(x)
mais on va l’écrire
(un) : n → un
f(x) est appelée « l’image »
un est appelé « le nième terme »
Le 1er terme est u0 si la suite est définie sur N, u1 si définie sur N*.
un est appelé le « terme général de la suite ».
un peut être calculé à partir de n ( par exemple un = f(n) = n² + 1 )
et on dit que la suite est définie de façon explicite ;
ou à partir d’autres termes ( par exemple un = f(un-1) = 2un-1 + 3 )
et on dit que la suite est définie par récurrence.
un = f(un-1) est une relation de récurrence d’ordre 1,
un = f(un-1 ; un-2) est une relation de récurrence d’ordre 2.
( par exemple un= 2un-1 + 3un-2 )
3°) Sens de variation d’une suite.
(un) : n → un
La suite est strictement croissante ( définie sur N ou N* )
si et seulement si un+1 > un ( pour tous les n de N ou N* )
3°) Sens de variation d’une suite.
(un) : n → un
La suite est strictement croissante ( définie sur N ou N* )
si et seulement si un+1 > un ( pour tous les n de N ou N* )
La suite est croissante si et seulement si un+1 ≥ un
3°) Sens de variation d’une suite.
(un) : n → un
La suite est strictement croissante ( définie sur N ou N* )
si et seulement si un+1 > un ( pour tous les n de N ou N* )
La suite est croissante si et seulement si un+1 ≥ un
La suite est strictement décroissante si et seulement si un+1 < un
La suite est décroissante si et seulement si un+1 ≤ un
3°) Sens de variation d’une suite.
(un) : n → un
La suite est strictement croissante ( définie sur N ou N* )
si et seulement si un+1 > un ( pour tous les n de N ou N* )
La suite est croissante si et seulement si un+1 ≥ un
La suite est strictement décroissante si et seulement si un+1 < un
La suite est décroissante si et seulement si un+1 ≤ un
La suite est constante si et seulement si un+1 = un
En utilisant votre calculatrice, quelles semblent
être les sens de variation des suites ?
La suite (un) est définie par un = 2n + 5
La suite (vn) est définie par vn = 3×109×(0,69n)
La suite (wn) est définie par wn = 2 wn-1 – 5 et w0 = - 4
La suite (tn) est définie par tn = 6 tn-1 – 9 et t0 = 1,8
On tape 2X+5 dans le tableur avec un Pas de 1
ou - 4 EXE puis 2 ANS – 5 EXE EXE EXE EXE etc…
La suite (un) est définie par un = 2n + 5
Pour des n augmentant, un augmente : suite croissante.
La suite (vn) est définie par vn = 3×109×(0,69n)
Pour des n augmentant, vn diminue : suite décroissante.
La suite (wn) est définie par wn = 2 wn-1 – 5 et w0 = - 4
Pour des n augmentant, wn diminue : suite décroissante.
La suite (tn) est définie par tn = 6 tn-1 – 9 et t0 = 1,8
Pour des n augmentant, tn ne varie pas : suite constante.
4°) Courbe d’une suite.
(un) : n → un
va donner le point M( n ; un ) de la courbe.
Comme la suite est définie sur N, tous les points ont des abscisses
entières, donc aucun point ne touche un autre : la courbe
représentative d’une suite est constituée de points distincts : la
courbe n’est pas continue.
0
1
2
3
4
4°) Courbe d’une suite.
(un) : n → un
Si l’on connaît une règle de calcul un = f(n) de tout
terme de la suite, avec f une fonction définie sur R ( f : x → f(x) ),
les points de la courbe de la suite appartiennent à la courbe de f.
On peut dire que la courbe de f est la ligne support de la courbe de la suite.
0
1
2
3
4
Conséquence de la discontinuité :
Une suite n’est pas dérivable, même si la fonction f définie sur les
réels l’est.
0
1
2
3
4
Conséquence de la discontinuité :
Une suite n’est pas dérivable, même si la fonction f définie sur les
réels l’est ( on n’a aucune demie-tangente à gauche et à droite
d’un point de la suite ).
0
1
2
3
4
Propriété :
Si la fonction f définie sur les réels a un sens de variation sur un
intervalle [ a ; b ], alors ...
0
1
2
3
4
Propriété :
Si la fonction f définie sur les réels a un sens de variation sur un
intervalle [ a ; b ], alors la suite a le même sens de variation sur
l’ensemble des entiers de l’intervalle [ a ; b ].
0
1
2
3
4
Propriété :
Si la fonction f définie sur les réels a un sens de variation sur un
intervalle [ a ; b ], alors la suite a le même sens de variation sur
l’ensemble des entiers de l’intervalle [ a ; b ].
0
1
fonction croissante
2
3
4
Propriété :
Si la fonction f définie sur les réels a un sens de variation sur un
intervalle [ a ; b ], alors la suite a le même sens de variation sur
l’ensemble des entiers de l’intervalle [ a ; b ].
suite croissante
0
1
fonction croissante
2
3
4
Mais la réciproque est …
Si la suite a un sens de variation sur l’ensemble des entiers de l’intervalle
[ a ; b ], alors la fonction ...
0
1
2
3
4
Mais la réciproque est fausse :
Si la suite a un sens de variation sur l’ensemble des entiers de
l’intervalle [ a ; b ], alors la fonction f n’a pas forcément le même sens
de variation sur [ a ; b ] :
fct croissante sur [ 0 ; 4 ]
suite croissante sur { 0 ; 1 … ; 4 }
fct non croissante sur [ 0 ; 4 ]
0
1
2
3
4
Quelles semblent être les sens de variation
des suites ?
(un)
(vn)
(wn)
0
(tn)
1
2
3
4
Quelles semblent être les sens de variation
des suites ?
(un)
(vn)
constante
str. croissante
(wn)
0
(tn)
1
2
3
4
alternativement
croissante et décr.
str. décroissante