Les solides de Platon

Les solides de Platon
Un polyèdre convexe est dit régulier si ses faces sont elles mêmes des polygones réguliers
convexes, si ses faces sont congruentes et si de tout sommet sont issus le même nombre de
côtés. Il n'existe que 5 polyèdres convexes réguliers. Ce sont les cinq polyèdres (ou solides) de
Platon
 Tétraèdre régulier: 4 sommets, 6 arêtes, 4 faces (triangles équilatérals)
 Hexaèdre régulier ou cube: 8 sommets, 12 arêtes, 6 faces (carrés)
 Octaèdre régulier: 6 sommets, 12 arêtes, 8 faces (triangles équilatérals)
 Dodécaèdre régulier: (20 sommets, 30 arêtes, 12 faces (pentagones réguliers)
Icosaèdre régulier: (12 sommets, 30 arêtes, 20 faces (triangles équilatérals)
Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers
isométriques (Un polygone régulier a tous ses côtés isométriques et tous ses angles sont de
même mesure).
Euclide termina son oeuvre Les Eléments en prouvant qu'il existe exactement 5 polyèdres convexes
réguliers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Ces solides sont appelés
communément solides de Platon en raison de ses travaux. Les grecs ont accordé une signification
mystique aux cinq solides réguliers en les rattachant aux grandes entités qui selon eux façonnaient le
monde : le feu est associé au tétraèdre, l'air à l'octaèdre, la terre au cube, l'univers au dodécaèdre et
l'eau à l'icosaèdre.
A la Renaissance Kepler (1571-1630) pensait que le nombre et la disposition des planètes était une
manifestation de la volonté de Dieu et n'était donc pas arbitraire. Il encastra les 6 planètes connues à
l'époque dans les 5 solides parfaits platoniciens. A chaque sphère est associée une planète, le rayon
de la sphère donne la distance moyenne de la planète au soleil. Chaque polyèdre est inscrit dans une
sphère et circonscrit dans une autre. Vénus correspondait à l'octaèdre, la Terre à l'icosaèdre, Mars à
au Dodécaèdre, Jupiter au tétraèdre et Saturne au cube.
Nous pouvons vérifier pour chaque solide de Platon la formule d'Euler obtenue avec le nombre F de
faces, A d'arêtes et S de sommets :
F+S=A+2
Nous définirons également le dual d'un polyèdre :
on appelle polyèdre dual d'un polyèdre régulier P le polyèdre P' dont les sommets sont les centres des
faces du polyèdre P. Si P' est le dual de P, alors le dual de P' est semblable à P. Ainsi le dual d'un
cube est un octaèdre régulier et réciproquement.
L'icosaèdre
Il est composé de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 12 sommets et 30 arêtes. Il a 5
arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l'eau.
Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre
composé de 12 faces et de 20 sommets.

Le dodécaèdre
Il est composé de 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Il a 20 sommets et 30 arêtes. Il a 3
arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l'Univers.
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre
composé de 20 faces et de 12 sommets.
L'octaèdre
Il est composé de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 6 sommets et 12 arêtes. Il a 4 arêtes
en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l'air.
Le dual de l'octaèdre est le cube
composé de 6 faces et de 8 sommets.
Le cube
On voit ci-dessous le patron en forme de Z couché.
Il est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des
sommets.
Chez les grecs, il était le symbole de la Terre.
Le dual du cube est l'octaèdre
composé de 8 faces et de 6 sommets.
Le tétraèdre
Il est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 4 sommets et 6 arêtes. Il a 3 arêtes
en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole du feu. Il est son propre dual.
Nous voyons ici deux patrons.
Le dual du tétraèdre est le tétraèdre lui-même composé de 4 faces et de 4
sommets.

Pourquoi cinq seulement ?
Un polyèdre régulier doit avoir le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets.
Ce nombre est évidemment au minimum de 3. Le maximum dépendra de l'angle du polygone régulier.
En effet si la somme des angles au sommet atteint ou dépasse 360°, nous obtenons un plan ou une
superposition des faces.
Commençons donc par 3. Le polygone régulier ayant 3 côtés est le triangle équilatéral, chaque angle
mesure 60°.
Si nous en plaçons 3 en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le tétraèdre régulier.
Si nous plaçons 4 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons
l'octaèdre régulier.
Si nous plaçons 5 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous
obtenonsl'icosaèdre régulier.
Et si nous essayons 6 triangles, nous avons 6x60°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le
polyèdre, c'est donc impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 4 côtés, il s'agit du carré.
On peut placer 3 carrés en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le cube.
Si nous essayons 4 carrés, nous avons 4x90°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre,
c'est impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 5 côtés, il s'agit du pentagone régulier
dont chaque angle mesure 108°.
On peut placer 3 pentagones réguliers en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le
dodécaèdre.
Si nous essayons 4 pentagones , nous avons 4x108°=432°, supérieur à 360°, il y aura superposition,
nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est impossible, regardons maintenant le polygone
régulier à 6 côtés, il s'agit de l'hexagone régulier dont chaque angle mesure 120°.
Mais 3x120°=360°, c'est impossible. Et les autres polyèdres réguliers ont des angles de plus en plus
grands, inutile alors de continuer. Nous avons ainsi obtenu les cinq seuls solides parfaits de Platon.
Platon est né en 427 et mort en 347 avant notre ère. Il est l'un des plus grands philosophes grecs de
l'Antiquité, chef d'une Ecole, l'Académie ; ses œuvres sont écrites sous forme de dialogues dont l'un
des protagonistes est Socrate, et sa philosophie est l'une des premières philosophies rationalistes.