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Exercice 5
Déterminez les tangentes ( quelles équations
réduites et en quels points ) à la courbe de la
fonction f définie sur R par f(x) = x² + 3x + 1
passant par le point B( - 3 ; - 3 ). Faites d’abord
une recherche graphique, avant une
détermination algébrique.
Recherche graphique :
f est une fonction polynôme de degré 2, donc sa
courbe est une parabole.
Recherche graphique :
f est une fonction polynôme de degré 2, donc sa
courbe est une parabole.
a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le
haut.
Recherche graphique :
f est une fonction polynôme de degré 2, donc sa
courbe est une parabole.
a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le
haut.
Elle est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = - b/(2a) = - 3/(2(1)) = - 3/2
Recherche graphique :
f est une fonction polynôme de degré 2, donc sa
courbe est une parabole.
a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le
haut.
Elle est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = - b/(2a) = - 3/(2(1)) = - 3/2
Je peux déterminer son sommet S( - 3/2 ; f(- 3/2 )) = ( - 3/2 ; - 5/4 )
Recherche graphique :
f est une fonction polynôme de degré 2, donc sa
courbe est une parabole.
a = 1 > 0 donc la parabole est orientée vers le
haut.
Elle est symétrique par rapport à la droite
d’équation x = - b/(2a) = - 3/(2(1)) = - 3/2
Je peux déterminer son sommet
S( - 3/2 ; f(- 3/2 ) ) = ( - 3/2 ; - 5/4 )
ou déterminer si elle franchit l’axe des abscisses :
Je détermine le nombre de racines :
∆ = (3)² - 4 (1) (1) = 9 – 4 = 5
∆ > 0 donc deux racines
- b + √∆ - 3 + √5
=
≈ - 0,4…
2a
2
On peut utiliser f(0) = 1
- 3 - √5
et
≈ - 2,6…
2
On a donc une courbe de la forme :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On vient « tangenter » la courbe avec des
droites passant par B :
On obtient deux tangentes en deux points de la
courbe de f :
La détermination algébrique doit donc nous donner
deux réponses.
Détermination algébrique :
soit M( x ; y ) un point quelconque de la
tangente, donc représentatif de tous les points
de la tangente, et A le point de la courbe dont
on cherche la tangente.
yM – yA
y – f(a)
coeff. directeur =
f ‘(a) =
de la tangente
xM – xA
qui donne
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
x–a
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
f ‘(x) = ( x² + 3x + 1)’ = 2x + 3
f ‘(x) = ( x² + 3x + 1)’ = 2x + 3
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
devient
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
devient
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
La tangente passe par B, donc B appartient
à la tangente,
donc ses coordonnées
vérifient l’équation de la tangente :
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
devient
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
La tangente passe par B, donc B appartient à la
tangente,
donc ses coordonnées ( - 3 ; - 3 ) vérifient
l’équation de la tangente :
- 3 = ( 2a + 3 ) ( (- 3) – a ) + ( a² + 3a + 1 )
- 3 = ( 2a + 3 ) ( (- 3) – a ) + ( a² + 3a + 1 )
On développe :
- 3 = - 6a – 9 – 2a² - 3a + a² + 3a + 1
- 3 = ( 2a + 3 ) ( (- 3) – a ) + ( a² + 3a + 1 )
On développe :
- 3 = - 6a – 9 – 2a² - 3a + a² + 3a + 1
On rassemble tout du même côté :
- 3 + 6a + 9 + 2a² + 3a - a² - 3a – 1 = 0
- 3 = ( 2a + 3 ) ( (- 3) – a ) + ( a² + 3a + 1 )
On développe :
- 3 = - 6a – 9 – 2a² - 3a + a² + 3a + 1
On rassemble tout du même côté :
- 3 + 6a + 9 + 2a² + 3a - a² - 3a – 1 = 0
On rassemble les monômes :
- 3 + 6a + 9 + 2a² + 3a - a² - 3a – 1 = 0
a² + 6a + 5 = 0
a² + 6a + 5 = 0
On résout avec la méthode du
discriminant :
∆ = (6)² - 4(1) (5) = 36 – 20 = 16 = 4²
a² + 6a + 5 = 0
On résout avec la méthode du
discriminant :
∆ = (6)² - 4(1) (5) = 36 – 20 = 16 = 4²
On détermine les racines :
a1 = ( - 6 + 4 ) / ( 2(1) ) = - 2 / 2 = - 1
et a2 = ( - 6 - 4 ) / ( 2(1) ) = - 10 / 2 = - 5
On reprend l’équation de la tangente en
remplaçant les valeurs de a trouvées :
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
On reprend l’équation de la tangente en
remplaçant les valeurs de a trouvées :
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
a=-1
y = (2(-1)+3) ( x – (-1) ) + ((-1)²+3(-1)+1)
y = (1) ( x + 1) + ( 1 – 3 + 1 )
y=x+1–1
y=x
y = (2a+3) ( x – a ) + (a²+3a+1)
a=-5
y = (2(-5)+3) ( x – (-5) ) + ((-5)²+3(-5)+1)
y = (- 7) ( x + 5) + (11)
y = - 7x – 35 + 11
y = - 7x - 24