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Vecteurs géométriques
et forces
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous étudierons les conditions d’équilibre de
translation de systèmes de forces à l’aide de vecteurs géométriques.
La méthode d’analyse par les vecteurs géométriques consiste à
construire le polygone des forces du système. Pour un système en
équilibre, le polygone est fermé et les longueurs des côtés des
polygones sont proportionnelles à l’intensité des forces. Par la
résolution du polygone, en utilisant les ressources de la trigonométrie,
on détermine alors l’intensité des forces en cause.
Les situations que nous allons présenter ne comporteront que trois
forces car, lorsque le système comporte plus de trois forces, l’approche
géométrique devient plus complexe et on utilise alors la méthode dite
des composantes en utilisant les vecteurs algébriques (chapitre 6).
En préparation à cette étude, nous rappelons les lois du mouvement
de Newton.
Première loi
Lois du mouvement
Tout corps au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, reste au
repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, aussi longtemps qu’il ne
subit pas l’action d’une force extérieure.
Deuxième loi
Une force extérieure s’exerçant sur un corps lui communique une
accélération proportionnelle à la force et inversement proportionnelle
à la masse du corps. La deuxième loi se décrit mathématiquement par
la relation :
F
a=
ou
F=ma
m
Troisième loi
À toute force d’action correspond une force de réaction de même
grandeur, de même direction et de sens contraire.
Action et réaction
Dans cette présentation, nous utiliserons plus spécifiquement la
troisième loi dans les cas suivants :
Lorsqu’une force est appliquée pour tirer sur un câble, celui-ci
réagit en tirant dans le sens contraire. Le câble est alors en tension.
Lorsqu’une force pousse sur une tige dans le sens de sa longueur,
celle-ci réagit en poussant dans le sens contraire. La tige est alors en
compression.
Équilibre de translation
L’effet sur un corps libre de forces dont les
lignes d’action sont concourantes est une
translation.
Lorsque la somme de ces forces est nulle, le
corps est en équilibre de translation, ce qui
signifie qu’il ne subit pas d’accélération, il est
soit au repos soit en mouvement rectiligne
uniforme.
DÉFINITION
Équilibre de translation
Un corps soumis à un système de forces concourantes est en équilibre
de translation si :
SF = 0
Équilibre de rotation
Lorsque les lignes d’action ne sont pas
concourantes, la translation s’accompagne
d’une rotation du corps sur lui-même.
Lorsque la somme des moments est nulle, le
corps est en équilibre de rotation.
L’équilibre de rotation signifie que le corps ne tourne pas sur luimême ou qu’il tourne à une vitesse constante. La notion de moment
sera étudiée au chapitre 9 sur les produits de vecteurs.
DÉFINITION
Équilibre de translation
Un corps soumis à un système de forces non concourantes est en
équilibre de rotation si :
SM = 0
où M est le moment d’une force agissant sur le corps.
Résultante et équilibrante
DÉFINITION
Force résultante et force équilibrante
La résultante d’un ensemble de forces est la force qui peut, à elle
seule, remplacer toutes les autres.
L’équilibrante est la force qui équilibre l’action de la résultante : elle
est de même grandeur et de même direction que la résultante, mais
de sens contraire.
Polygone des forces
Pour analyser une situation à l’aide des vecteurs, que ce soit pour
connaître les conditions d’équilibre ou pour trouver la résultante, il
faut repérer toutes les forces agissant sur le corps (ou la structure).
En approche géométrique, on procède à l’analyse en construisant un
polygone des forces. Lorsque le système est en équilibre, le polygone
des forces est fermé (la résultante et nulle).
Dans un tel polygone, le poids de l’objet, s’il n’est pas négligeable,
est représenté par le vecteur P.
Les tensions sont représentées par T.
Les compressions sont représentées par C.
De plus, pour simplifier l’écriture, l’usage est de représenter
l’intensité d’une force par une lettre en caractère gras,
F
= F.
Il est à remarquer que dans ce diaporama, tout est déjà en
caractères gras. Dans le livre, la distinction est plus facile.
Exemple 5.3.3
La masse suspendue dans l’assemblage en
équilibre ci-contre exerce une force de 700 N.
a) Trouver
Construire
le diagramme des
forces agisb)
géométriquement
l’intensité
des
sant auagissant
point A.au point A.
forces
L’intensité
forcesune
étant force
proportionnelle
à
La
masse des
exerce
due à la
la longueur elle
des est
côtés,
on a : vers le bas.
gravitation,
orientée
≈ 834 N
et Ttension
≈ 1 089etNexerce au point A
LaC corde
est en
une force de réaction dont le sens est de A
P
700
vers
B.
Latan
tension
dans
le
câble est donc de
=
40° =
P C 700
1 089 N et laCpression
sur la barre rigide
La barre
rigide
sin 40°
= est =en compression et exerce
est de 834 N.
T
au point A une700
force de Tréaction dont le sens
d’où
C = A.
≈ 834 N
est de
C vers
700
tan 40°
d’où T =
≈ 1 089 N
Le système est en
la résultante est
sinéquilibre,
40°
nulle et le triangle des forces est fermé.
Formons le triangle des forces.
S
S
Système de forces en équilibre
Procédure
pour analyser géométriquement un système en équilibre de
translation
1. Représenter par un vecteur chaque force du système.
2. Construire le triangle des forces en respectant les directions des
forces du système (le triangle est fermé lorsque le système est en
équilibre).
3. Utiliser la trigonométrie du triangle pour trouver l’intensité des
forces.
4. Interpréter les résultats selon le contexte.
Exemple 5.3.4
Considérons l’assemblage en équilibre cicontre.
a) Trouver
b)
Déterminer
géométriquement
si les barres légères
la valeur
(barres
de
dont la dans
l’effort
massechacune
est négligeable)
des barres.
du montage
sont en tension ou en compression.
L’intensité des forces étant proportionnelle à
la longueur
côtés, une
on a :force due à la
La
masse des
exerce
1,41 vers le bas.
gravitation, elle
tanest
D orientée
=
0,82
La
AB
est en
tension
et exerce au
La barre
tension
dans
la barre
horizontale
est point
donc
1,41
Bdeune
sens est de
B
2,15force
etdelaréaction
pressiondont
sur
lalelongueur
de la
d’où
DkN
= arctan
= 58,819…°
vers
A.oblique est de0,82
barre
2,49 kN.
La
On barre
a alorsCB
: est en compression et exerce au
point
B une
de réaction
T = 1,25
tan force
D = 2,149…
≈ 2,15dont
kN le sens est
de C vers B.
C =système
1,25 sec est
D =en
2,486…
≈ 2,49
Le
équilibre,
la kN
résultante est
nulle et le triangle des forces est fermé.
Formons ce triangle.
S
S
Exercice
La masse suspendue dans l’assemblage en
équilibre ci-contre exerce une force de 1,24 kN.
a) Trouver
Construire
le diagramme des
forces agisb)
géométriquement
l’intensité
des
sant auagissant
point A.au point A.
forces
L’intensité
forces une
étant force
proportionnelle
à
La
masse des
exerce
due à la
la longueur elle
des est
côtés,
on a : vers le bas.
gravitation,
orientée
C corde
≈ 1,98 est
kN en
et T
≈ 2,34 et
kNexerce au point A
La
tension
une force de réaction dont le sens est de A
1,24
P
vers B.
=
tan 32° =
P
1,24
C
C
= compression
sin 32°
=dans
La
rigide
est en
et exerce
La barre
tension
le
câble
est
donc
de
T
T
au
point
A la
une
force de
le est
sens
1,24
2,34
kN et
pression
surréaction
la barredont
rigide
d’où
C = A. 1,24≈ 1,98 kN
est
C kN.
vers
de de
1,98
tan 32°
d’où T =
≈ 2,34 kN
Le système est en
équilibre,
la résultante est
sin 32°
nulle et le triangle des forces est fermé.
Formons le triangle des forces.
S
S
Exemple 5.3.5
Les trois câbles de la situation illustrée cicontre supportent une masse qui exerce une
force de 2,54 kN. À l’aide des vecteurs
géométriques, déterminer la tension dans
chacun des câbles.
Par
loi des est
sinus,
on adealors
La la
tension
donc
1,57: kN dans le
La
masse
exerce
une
duecelui
à la
Td de droite
P de
câble
et
2,14force
kN dans
de
,
cela
donne
:
gravitation,
=elle est orientée vers le bas.
gauche.
sin 38°
sin 85°
2,54sont
sin 38°
Les câbles
en tension et exercent au
Td =A des forces de réaction
= 1,569…
≈ 1,57
point
notées
Td kN
etTg.
sin 85°
Tg
Le système
étant Pen équilibre,
la résultante
, cela donne
:
=
57° est nulle
sin 85°
dessin
forces
et le triangle des forces est
fermé. 2,54 sin 57°
Tg =
= 2,138… ≈ 2,14 kN
sin
85°
Formons ce triangle.
S
Exercice
La masse suspendue dans l’assemblage en
équilibre ci-contre exerce une force de 900 N.
À l’aide des vecteurs géométriques, déterminer les forces agissant au point A.
La tension est donc de 900 N dans le câble
La
masse
une l’autre
force câble
due et
à la
la
vertical,
de exerce
977 N dans
gravitation,
elle
estune
orientée
vers
bas.N.
Par larigide
loi des
sinus,
onpression
a alors
:dele796
barre
subit
La corde
et exerce au point A
T est en tension
P
, celade
donne
: B
=réaction dirigée
unesin
force
de
A
vers
70°
sin 60°
La barre 900
rigide
sin est
70°en compression et exerce
= 976,55…≈
977 N de C
T = A une
au point
force de
réaction dirigée
sin 60°
vers A.
C
P
, cela donne
:
Le système =étant en équilibre,
la résultante
sin 50°
sin 60°
des forces est nulle et le triangle des forces est
fermé. 900 sin 50°
= 796,09… ≈ 796 N
C=
sin 60°
Formons ce triangle.
S
Conclusion
À l’aide des vecteurs géométriques, on peut faire l’analyse d’un
système de forces en équilibre.
Pour ce faire, on doit construire le polygone des forces. Celui-ci doit
être fermé pour que le système soit en équilibre, ce qui est équivalent
à une résultante nulle.
En pratique, cette approche est rarement utilisée lorsqu’il y a plus de
trois forces en cause parce que la résolution géométrique du polygone
devient assez complexe lorsque le nombre de forces augmente.
Lorsqu’il y a seulement trois forces, le polygone des forces est un
triangle et, pour résoudre, il suffit de faire appel aux ressources de la
trigonométrie.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 5.3, p.134 à 137.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 5.4, p.141, no 10 à 16.