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Principe d`incertitude
• On ne peut jamais mesurer simultanément une position
x et son impulsion associée p avec une meilleure
précision que
x.p  
Relation d`incertitude: (Heisenberg)
x.p  
Principe d`incertitude
•
Pour une balle de 140 g se déplaçant à 40 m/s avec p/p=10-8
xmin =1.2
x10-26 m
Principe d`incertitude
•
Pour une balle de 140 g se déplaçant à 40 m/s avec p/p=10-8
xmin =1.2
x10-26 m
négligeable
Principe d`incertitude
•
Pour une balle de 140 g se déplaçant à 40 m/s avec p/p=10-8
x10-26
m
xmin =1.2
négligeable
•
Pour un électron se déplaçant à une vitesse v=c/100 avec
p/p=10-8
p= 2.73x10-24 kg.m/s (voir cours précédent)
p=2.73x10-32 kg.m/s
xmin=h/(2p Dp)= 3.65 mm
Principe d`incertitude
•
Pour une balle de 140 g se déplaçant à 40 m/s avec p/p=10-8
x10-26
m
xmin =1.2
négligeable
•
Pour un électron se déplaçant à une vitesse v=c/100 avec
p/p=10-8
p= 2.73x10-24 kg.m/s (voir cours précédent)
p=2.73x10-32 kg.m/s
xmin=h/(2p Dp)= 3.65 mm
Non-négligeable
Dualité onde-corpuscule???
Rudiments de quantique
Classique
Quantique
t0
t1
r’(t0), v’(t0)
r(t0), v(t0)
r(t1), v(t1)
P(r, t )  | (r, t ) |2 dr
t2
Classique
Quantique
t0
t1
t2
r’(t0), v’(t0)
r(t0), v(t0)
r(t1), v(t1)
P(r, t )  | (r, t ) |2 dr
état
Proba. de présence en r
Fonction d`
onde
Classique
Quantique
t0
t1
t2
r’(t0), v’(t0)
r(t0), v(t0)
dv
m  F (r )
dt
dr
v
dt
r(t1), v(t1)
P(r, t )  | (r, t ) |2 dr
Newton
Schrödinger
  (r , t )
i
 H  (r , t )
t
Classique
Quantique
t0
t1
r’(t0), v’(t0)
r(t0), v(t0)
r(t1), v(t1)
P(r, t )  | (r, t ) |2 dr
Énergie continue
1 2
E  m v  V (r )
2
Énergie quantifiée
H  E (r )  E E (r )
t2
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
  (r , t )
i
 H  (r , t )
t
i2= -1
Fonctions
d`onde complexes
Évolution
Hamiltonien
dépend
du champ de forces
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
  (r , t )
i
 H  (r , t )
t
i2= -1
Fonctions
d`onde complexes
Évolution
Hamiltonien
dépend
du champ de forces
  2  2
 2  ...  V (r , t )
H  
 2m  x
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
Exemple d`évolution temporelle non triviale (état non stationnaire):
excitations vibrationnelles de H2+ dans un champ laser IR intense
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
• Se réduit à
H  E (r)  E E (r)
pour des états « stationnaires »,
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
• Se réduit à
H  E (r)  E E (r)
pour des états « stationnaires » , d`énergie E bien
déterminée,
Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
• Se réduit à
H  E (r)  E E (r)
pour des états « stationnaires » , d`énergie E bien
déterminée, d`un système conservatif
État non stationnaire
État stationnaire
|1(R,t)+ 0(R,t)|2
-0.14
-0.145
E(u.a) -0.14
-0.15
t=0
-0.155
-0.145
-0.16
-0.15
|1(R,t)|2
-0.155
-0.165
-0.17
-0.175
-0.16
2.5
-0.165
|0(R,t)|2
-0.17
3
3.5
-0.14
-0.145
t=T/4
-0.15
-0.175
4
-0.155
2.5
3
3.5
4
-0.16
-0.165
R/a0
-0.17
-0.175
2.5
3
3.5
4
-0.14
à tout temps t
-0.145
t=T/2
-0.15
-0.155
-0.16
-0.165
-0.17
-0.175
2.5
3
3.5
R/a0
4
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)
– Vibrations moléculaires
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)
– Vibrations moléculaires
• Rotateur rigide
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)
– Vibrations moléculaires
• Rotateur rigide
– Rotations moléculaires
Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)
– Modèle de polyènes.
– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)
– Vibrations moléculaires
• Rotateur rigide
– Rotations moléculaires
• Atome hydrogénoïde
Particule dans une boîte 1D
Atkins,
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
Atkins, fig.12.1
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
x(t )  x0  v 0t
1 2
E  m v0
2
E=Ecin continue
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
x(t )  x0  v 0t
1 2
E  m v0
2
E=Ecin continue
Énergie cinétique pure
Particule dans une boîte 1D
En quantique, on résoud
 -  2  d 2 ( x)
H (x)   
 E ( x)
2
 2m  dx
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 ( L)  0
Particule dans une boîte 1D
En quantique, on résoud
 -  2  d 2 ( x)
H (x)   
 E ( x)
2
 2m  dx
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 ( L)  0
Opérateur
d`énergie
cinétique
Particule dans une boîte 1D
Solutions
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 n (x) 
 ( L)  0
2  n x 
sin 

L  L 
Particule dans une boîte 1D
Solutions
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 n (x) 
 ( L)  0
2  n x 
sin 

L  L 
 n2h2 

En  
2
 8m L 
Particule dans une boîte 1D
Solutions
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 n (x) 
 ( L)  0
2  n x 
sin 

L  L 
 n2h2 

En  
2
 8m L 
n  N*
(n  0,1,2,3,...)
Particule dans une boîte 1D
Solutions
avec conditions aux bornes
 (0)  0
 n (x) 
 ( L)  0
2  n x 
sin 

L  L 
 n2h2 

En  
2
 8m L 
n  N*
(n  0,1,2,3,...)
Atkins, figs 12.1+12.2
Particule dans une boîte 1D
• Propriétés des solutions
– Énergie discrète:
confinement
quantification
 n (x)
 n (x)
2
Particule dans une boîte 1D
• Propriétés des solutions
– Énergie discrète:
confinement
quantification
– Énergie cinétique précise,
mais
 nh
p  
 2 L

   kn

n
kn   
L
 n (x)
 n (x)
2
Particule dans une boîte 1D
• Propriétés des solutions
– Énergie discrète:
confinement
quantification
– Énergie cinétique précise,
mais
 nh
p  
 2 L

   kn

n
kn   
L
ou
 2n 
p  
 
 L 
p.L  2n 
 n (x)
 n (x)
2
Particule dans une boîte 1D
• Propriétés des solutions
– Énergie discrète:
confinement
quantification
– Énergie cinétique précise,
mais
 nh
p  
 2 L

   kn

n
kn   
L
ou
 2n 
p  
 
 L 
p.L  2n 
– Propriétés nodales des
solutions
 n (x)
 n (x)
2
Particule dans une boîte 1D
• Polyène: ex. du b-carotène
22 électrons  =22
particules dans 1 boîte 1D
2.94 nm
état fondamental
1er état excité
n=12
n=12
n=11
n=11
Particule dans une boîte 1D
• Polyène: ex. du b-carotène
22 électrons  =22
particules dans 1 boîte 1D
1.54 nm
hc
122 h 2
 E 

8 m L2
112 h 2 23 h 2

2
8 m L 8 m L2
longueur d`onde d`absorption maximale
8 m c L2

23 h
m  9.1110-31 kg
L  2.94 10-9 m
λ  339 . 4 nm