Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Matrice inverse
et applications

Introduction
Nous présentons dans ce diaporama quelques applications de
l’inversion de matrices.
La première situation relève du domaine de la cryptographie
alors que les autres relèvent des domaines présentés au
chapitre 2, soit les chaînes de Markov et l’analyse de circuits.

Cryptographie
On peut associer une valeur numérique à chaque lettre d’un
message à partir d’un tableau de codage comme celui-ci (p.93).
Considérons le message : «Il fait beau» qui donne :
913 49 6 1 9
22 49 2 5 1 23
913 49 61922 49 2 5 1 23
Représentons le message dans une matrice 26 :

Cryptographie
On peut coder le message, sans perdre d’information, en multipliant
par une matrice inversible.
Le produit CN donne alors le message codé :
La matrice M=CN est le message codé. Pour le décoder, il faut
multiplier par la matrice inverse C–1.En effet, C–1M=C–1CN =N. Il
reste à traduire le message à l’aide des données du tableau de
codage.
2–1
–3 1
Considérons la matrice C =
–4–23 96 7 1 –5
–510 –145 –13 –2–4
2–1
–3 1
•913 46 6 1 9
22 49 2 5 1 23
=

Exemple 4.3.1
Le message consigné dans la matrice Ma été codé à l’aide du tableau
de la page 93 et de la matrice C. Décoder ce message.
Pour décoder le message, il faut d’abord inverser la matrice C.En
utilisant la méthode de l’adjointe, on obtient :
SSS
et
M =
30 54 28 62 24
28 54 10 84 47
4 5 –531 26
C =
2 2 0
–1 2 1
–2 0 1
cof C = 2–1 4
–2 2 –4
2–2 6
2–2 2
–1 2 –2
4–4 6
1
2
C–1=
2–2 2
–1 2 –2
4–4 6
, det C =2 + 2 –1 + 0 4 = 2 ≠ 0 2
La matrice Cest inversible, puisque le déterminant est non nul. On
peut poursuivre.
adj C =
Le produit des matrices donne alors :
C–1 M =
2–2 2
–1 2 –2
4–4 6
1
2
30 54 28 62 24
28 54 10 84 47
4 5 –531 26
= S
6 5 13 9 3
922 122 9
16 15 21 49 32
N=
Àl’aide du tableau de la page 93,on peut remplacer chaque élément
de la matrice par le caractère qui lui est associé.
Cela donne le message suivant :
F E L I C
I T A T I
O N S !
Félicitations !