rappel sec 3 : introduction

Introduction aux probabilités
Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si son résultat dépend du hasard
c’est-à-dire qu’on ne peut pas prédire avec certitude le résultat de
l’expérience.
Si l’on énumère tous les résultats possibles d’une expérience
aléatoire, on constitue un ensemble appelé l’univers des possibles
et noté Ω ( oméga ).
Exemple 1 :
Lorsque l’on observe la couleur d’une bille tirée au hasard
d’un sac de billes, contenant des billes bleues, rouges et jaunes,
l’univers des résultats possibles est :
Ω = { bleue, rouge, jaune }
Exemple 2 :
Lors du lancer d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6,
l’univers des résultats possibles est :
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Événement
Un événement est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles.
Exemple 1 :
Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes,
« obtenir une dame » est un événement et correspond à:
{dame de coeur, dame de pique, dame de carreau, dame de trèfle}
Exemple 2 :
Lors du lancer d’une pièce de monnaie, « obtenir pile » est un
événement élémentaire, car il représente un seul résultat, soit
{pile}, de l’univers des résultats possibles.
Calcul de la probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement se calcule comme suit:
P(événement) =
Exemple :
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur » ?
P(cœur) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
13
52
=
1
4
On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur .
Remarque: Une probabilité peut être exprimée sous la forme d’une
fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
1
4
=
0,25 =
25 %
Calcul de la probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement composé de plusieurs événements est
égale à la somme des probabilités de chacun de ces événements.
Exemple : Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur »
ou de « choisir une carte trèfle » ?
P(cœur ou trèfle) = P(cœur) + P(trèfle)
13
52
+
13
52
=
26
52
=
1
2
On a donc 1 chance sur 2 de piger une carte de cœur ou une carte de trèfle.
Exemple 2 :
Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité de « choisir une carte rouge » ou
de « choisir une carte noire » ?
P(rouge ou noire) = P(rouge) + P(noire)
26
52
+
26
52
=
52
52
= 1
C’est un événement certain.
Remarque: La probabilité d’un évènement est toujours comprise
entre 0 et 1.
Lorsque la somme des probabilités de deux évènements
est égale à 1, alors les deux évènements sont dits
complémentaires.
Exemple 3
On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité
« d’obtenir une somme de 7 ».
Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
+
Nombre de cas possibles:
6 X 6 = 36
Nombre de cas favorables: 6
P (obtenir une somme de 7) :
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
=
6
36
11 12
P (obtenir une somme de 7) :
=
1
6
1
6
Probabilité théorique
La probabilité théorique d’un événement est un nombre qui quantifie la
possibilité que cet événement se produise. Ce nombre est déterminé
uniquement à l’aide d’un raisonnement mathématique. Dans le cas où
tous les résultats sont équiprobables, on peut calculer la probabilité
théorique d’un événement de la façon suivante.
Probabilité théorique =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Lorsqu’on tire une bille d’un sac contenant 4 billes vertes, 5 billes
blanches et 3 billes orange, la probabilité théorique de l’événement
« obtenir une bille blanche » se calcule comme suit :
Probabilité théorique =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
P(obtenir une bille blanche) =
5
12
=
5
12
Probabilité fréquentielle
La probabilité fréquentielle d’un événement est obtenue à la suite
d’une expérimentation. Elle est souvent utilisée lorsque la probabilité
théorique est impossible à calculer.
Probabilité = nombre de fois que le résultat attendu s’est réalisé
fréquentielle
nombre de fois que l’expérience a été répétée
Exemple 1:
Dans une usine fabriquant des engrenages, on constate qu’à toutes
les mille pièces usinées deux sont défectueuses.
Probabilité fréquentielle:
2
1 000
= 0,002 = 0,2 %
Exemple 2:
On sait que la probabilité théorique « d’obtenir pile » est de 1/2 .
Pour s’amuser, on lance une pièce de monnaie 1 000 fois, on obtient
alors 650 fois le côté « pile ».
Probabilité fréquentielle:
650
1 000
= 0,650 = 65 %
On peut alors présumer que la pièce de monnaie est truquée.
Dans le cas d’une probabilité fréquentielle, plus le nombre de répétitions
est grand, plus on a de chances que la probabilité fréquentielle se
rapproche de la probabilité théorique.
Cette constatation que l’on fait dans les expériences aléatoires est
appelée la loi des grands nombres.
Probabilité subjective
La probabilité subjective qu’un événement se produise est attribuée
selon le jugement ou la perception d’une personne possédant un
certain ensemble de renseignements sur la situation ou l’expérience
aléatoire.
On annonce 75 % de probabilité d’averses de neige pour demain.
Chances pour
Les chances pour une victoire de l’équipe locale à un tournoi sont
de 3 : 2. Cela signifie que l’équipe locale a 3 chances de gagner et 2
chances de perdre.
Chance pour =
Probabilité =
3
nombre de résultats favorables possibles
=
nombre de résultats défavorables possibles
2
nombre de résultats favorables possibles
nombre de résultats favorables possibles +
nombre de résultats défavorables possibles
=
3
3+2
=
3
5
Chances contre
Les chances contre un joueur ou une joueuse qui mise sur « 0 » à la
roulette sont de 36 : 1. Cela signifie que le joueur ou la joueuse a 36
chances de perdre et 1 chance de gagner.
Chance contre = nombre de résultats défavorables possibles =
nombre de résultats favorables possibles
Probabilité =
nombre de résultats défavorables possibles
nombre de résultats défavorables possibles +
nombre de résultats favorables possibles
=
36
1
36
36+1
=
36
37
Les paris sportifs utilisent cette façon de calculer afin de déterminer
les gains ou les pertes des parieurs.
Exemple: Les chances favorisant une victoire de l’équipe locale de
soccer au prochain match sont de 5 : 4.
On voudrait connaître la somme d’argent que pourrait gagner une
personne qui parie 10,00 $ pour l’équipe locale.
Il s’agit simplement de construire une
proportion.
mise
chances pour :
=
chances contre :
somme à gagner
5
4
=
10 $
x
x=8$
La somme à gagner est donc de 8,00 $.
La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale = 8 + 10 = 18,00 $.
Les chances favorisant une victoire de l’équipe locale de
soccer au prochain match sont de 5 : 4.
On voudrait connaître la somme d’argent que pourrait gagner une
personne qui parie 10,00 $ contre l’équipe locale.
chances contre :
chances pour :
4
5
=
=
mise
somme à gagner
10 $
x = 12,50 $
x
La somme à gagner est donc de 12,50 $.
La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale
12,50
+
10,00
= 22,50 $
Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1 pour l’emporter. Quelle
somme recevra-t-on si on mise 20,00$ que ce cheval gagne la course ?
Attention: Une cote de 8 contre 1 indique les chances contre;
donc 8 chances contre et 1 chance pour.
chances contre
chances pour
8
1
somme à gagner
=
mise
=
x
x = 160 $
20 $
La somme à gagner est donc de 160,00 $.
La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale =
160
+
20
= 180,00 $