DS1 expressions algébriques et fonctions

Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 1
1
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : f(x) = 4(x – 5)² - 9
Forme 2 : f(x) = (2x – 13)(2x – 7)
Forme 3 : f(x) = 4x² - 40x + 91
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de f(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Résoudre l'équation f(x) = 0
b) Calculer f(0).
c) Déterminer les antécédents de – 9.
d) Calculer l'image de 2.
e) Résoudre l'équation f(x) = 91.
Exercice 2 : (3 points)
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC = 2. On pose AC = a.
Exprimer en fonction de a:
1) Le périmètre du triangle ABC
2) La hauteur issue de B dans ce triangle
3) L'aire du triangle ABC.
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
a) 2x – 1
x = 2x + 1 x + 2 b) 1 x + 1 – 2 x - 1 = x – 5 x² - 1
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur
[-4;3].
1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par f,
puis f(0) et f(1).
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = -4.
3) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x – 6
b) f(x) = x² + x – 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x - 6

Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 2
2
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : g(x) = 9(x + 3)² - 16
Forme 2 : g(x) = (3x + 13)(3x + 5)
Forme 3 : g(x) = 9x² + 54x + 65
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de g(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Calculer g(0).
b) Résoudre l'équation g(x) = 0
c) Déterminer les antécédents de – 16.
d) Calculer l'image de 3.
e) Résoudre l'équation g(x) = 2.
Exercice 2 : (3 points)
Soit LMN un triangle isocèle tel que LM = MN = 3. On pose LN = c.
Exprimer en fonction de c :
1) Le périmètre du triangle LMN
2) La hauteur issue de M dans ce triangle
3) L'aire du triangle LMN.
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
a) 2x + 1
x = 2x - 1 x - 2 b) 3 x – 2 – 1 x + 1 = x + 4 (x + 1)(x – 2)
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f
définie sur [-3;4].
4) Déterminer graphiquement l'image de -3 et de 3
par f, puis f(0) et f(2).
5) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = 4.
6) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x + 6
b) f(x) = x² + x + 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x + 6

Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 1
CORRECTION
3
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : f(x) = 4(x – 5)² - 9
Forme 2 : f(x) = (2x – 13)(2x – 7)
Forme 3 : f(x) = 4x² - 40x + 91
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de f(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Résoudre l'équation f(x) = 0
b) Calculer f(0).
c) Déterminer les antécédents de – 9.
d) Calculer l'image de 2.
e) Résoudre l'équation f(x) = 91.
1) Forme 1 : f(x) = 4(x² - 10x + 25) – 9 = 4x² - 40x + 100 – 9 = 4x² - 40x + 91
Forme 2 : f(x) = 4x² - 14x – 26x + 91 = 4x² - 40x + 91
Les formes 1 et 2 développées correspondent bien à la forme 3.
2) La forme factorisée de f(x) est la forme 2.
3) a) f(x) = 0  (2x – 13)(2x – 7) = 0 (forme 2)
 2x – 13 = 0 ou 2x – 7 = 0
 x= 13
2 ou x = 7 2
S = 
3
2;7 2
b) f(0) = 4×0² - 40×0 + 91 = 91 (forme 3)
c) On résout l'équation f(x) = -9
4(x – 5)² - 9 = -9 (forme 1 )
 4(x – 5)² = 0
 (x – 5)² = 0
 x = 5
-9 a un seul antécédent : 5
d) f( 2) = 4×( 2)² - 40 2 + 91 = 8 - 40 2 + 91 = 99 - 40 2 (forme 1)
e) f(x) = 91  4(x – 5)² - 9 = 91 (forme 1)
 4(x – 5)² = 100
 (x – 5)² = 25
 x – 5 = 5 ou x – 5 = -5
 x = 10 ou x = 0
S = {0;10}

Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 1
CORRECTION
4
Exercice 2 : (3 points)
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC = 2. On pose AC = a.
Exprimer en fonction de a:
1) Le périmètre du triangle ABC
2) La hauteur issue de B dans ce triangle
3) L'aire du triangle ABC.
1) P
ABC
= AB + BC + AC = 4 + a
2) Soit H le milieu de [AC].
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H pour
calculer la hauteur h = BH issue de B dans le triangle ABC.
AB² = AH² + BH²  4 = a²
4 + h²
 h² = 4 – a²
4
h² = 16 – a²
4
h = 16 – a²
2
3) A
ABC
= AC×BH
2 = a 2×16 – a² 2 = a× 16 – a² 4
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
a) 2x – 1
x = 2x + 1 x + 2 b) 1 x + 1 – 2 x - 1 = x – 5 x² - 1
a) 2x – 1
x = 2x + 1 x + 2  (2x – 1)(x + 2) x(x + 2) – (2x + 1)x x(x + 2) = 0
 2x² + 4x - x - 2
x(x + 2) – 2x² + x x(x + 2) = 0
 2x² + 3x - 2 - 2x² - x
x(x + 2) = 0
 2x - 2
x(x + 2) = 0
 2x – 2 = 0 et x(x + 2) ≠ 0
 x = 1 et x ≠ 0 et x ≠ - 2
 x = 1
S = {1}

Seconde 3 DS1 expressions algébriques et fonctions Sujet 1
CORRECTION
5
b) 1
x + 1 – 2 x - 1 = x – 5 x² - 1  x – 1 (x + 1)(x – 1) – 2(x + 1) (x + 1)(x – 1) - x – 5 (x + 1)(x – 1)= 0
 x – 1 - 2x - 2 - x + 5
(x + 1)(x – 1) = 0
 -2x + 2
(x + 1)(x – 1) = 0
 -2x + 2 = 0 et (x + 1)(x – 1) ≠ 0
 x = 1 et x ≠ -1 et x ≠ 1
S = õ
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-4;3].
1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par
f, puis f(0) et f(1).
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = -4.
3) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x – 6
b) f(x) = x² + x – 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x - 6
1) Pour lire l'image de 3 par f, on détermine l'ordonnée
du point d'abscisse 3 de la courbe : f(3) = 6
De même f(-3) = 0
f(0) = -6 et f(1) = -4
2) Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est 0 : soit -3 et 2
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont -3 et 2.
Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = -4, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est -4 : soit -2 et 1
Les solutions de l'équation f(x) = -4 sont -2 et 1.
3) La formule qui convient pour f(x) est : f(x) = x² + x – 6
En effet, elle est la seule à vérifier :
f(0) = -6; f(1) = -4; f(-3) = 0; f(2) = 0; f(-2) = -4; f(1) = -4.