DS1 expressions algébriques et fonctions

Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
Sujet 1
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : f(x) = 4(x – 5)² - 9
Forme 2 : f(x) = (2x – 13)(2x – 7)
Forme 3 : f(x) = 4x² - 40x + 91
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de f(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Résoudre l'équation f(x) = 0
b) Calculer f(0).
c) Déterminer les antécédents de – 9.
d) Calculer l'image de 2.
e) Résoudre l'équation f(x) = 91.
Exercice 2 : (3 points)
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC = 2. On pose AC = a.
Exprimer en fonction de a:
1) Le périmètre du triangle ABC
2) La hauteur issue de B dans ce triangle
3) L'aire du triangle ABC.
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
2x – 1 2x + 1
a)
=
x
x+2
b)
1
2
x–5
–
=
x + 1 x - 1 x² - 1
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur
[-4;3].
1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par f,
puis f(0) et f(1).
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = -4.
3) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x – 6
b) f(x) = x² + x – 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x - 6
1
Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
Sujet 2
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : g(x) = 9(x + 3)² - 16
Forme 2 : g(x) = (3x + 13)(3x + 5)
Forme 3 : g(x) = 9x² + 54x + 65
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de g(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Calculer g(0).
b) Résoudre l'équation g(x) = 0
c) Déterminer les antécédents de – 16.
d) Calculer l'image de 3.
e) Résoudre l'équation g(x) = 2.
Exercice 2 : (3 points)
Soit LMN un triangle isocèle tel que LM = MN = 3. On pose LN = c.
Exprimer en fonction de c :
1) Le périmètre du triangle LMN
2) La hauteur issue de M dans ce triangle
3) L'aire du triangle LMN.
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
2x + 1 2x - 1
=
a)
x-2
x
b)
3
1
x+4
–
=
x – 2 x + 1 (x + 1)(x – 2)
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f
définie sur [-3;4].
4) Déterminer graphiquement l'image de -3 et de 3
par f, puis f(0) et f(2).
5) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = 4.
6) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x + 6
b) f(x) = x² + x + 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x + 6
2
Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
Sujet 1
CORRECTION
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : f(x) = 4(x – 5)² - 9
Forme 2 : f(x) = (2x – 13)(2x – 7)
Forme 3 : f(x) = 4x² - 40x + 91
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de f(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Résoudre l'équation f(x) = 0
b) Calculer f(0).
c) Déterminer les antécédents de – 9.
d) Calculer l'image de 2.
e) Résoudre l'équation f(x) = 91.
1) Forme 1 : f(x) = 4(x² - 10x + 25) – 9 = 4x² - 40x + 100 – 9 = 4x² - 40x + 91
Forme 2 : f(x) = 4x² - 14x – 26x + 91 = 4x² - 40x + 91
Les formes 1 et 2 développées correspondent bien à la forme 3.
2) La forme factorisée de f(x) est la forme 2.
3) a)
f(x) = 0
(2x – 13)(2x – 7) = 0 (forme 2)
2x – 13 = 0 ou 2x – 7 = 0
7
13
ou x =
x=
2
2
3 7
S= ; 
2 2
b)
f(0) = 4×0² - 40×0 + 91 = 91 (forme 3)
c)
On résout l'équation f(x) = -9
4(x – 5)² - 9 = -9 (forme 1 )
4(x – 5)² = 0
(x – 5)² = 0
x=5
-9 a un seul antécédent : 5
d)
e)
f( 2) = 4×( 2)² - 40 2 + 91 = 8 - 40 2 + 91 = 99 - 40 2 (forme 1)
f(x) = 91
4(x – 5)² - 9 = 91
(forme 1)
4(x – 5)² = 100
(x – 5)² = 25
x – 5 = 5 ou x – 5 = -5
x = 10 ou x = 0
S = {0;10}
3
Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
CORRECTION
Exercice 2 : (3 points)
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = BC = 2. On pose AC = a.
Exprimer en fonction de a:
1) Le périmètre du triangle ABC
2) La hauteur issue de B dans ce triangle
3) L'aire du triangle ABC.
Sujet 1
1) PABC = AB + BC + AC = 4 + a
2) Soit H le milieu de [AC].
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H pour
calculer la hauteur h = BH issue de B dans le triangle ABC.
a²
AB² = AH² + BH² 4 =
+ h²
4
a²
h² = 4 –
4
16 – a²
h² =
4
h=
3) AABC =
AC×BH a 16 – a²
16 – a²
= ×
= a×
2
2
2
4
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
2x – 1 2x + 1
a)
=
x
x+2
a)
16 – a²
2
2x – 1 2x + 1
=
x
x+2
b)
1
2
x–5
–
=
x + 1 x - 1 x² - 1
(2x – 1)(x + 2) (2x + 1)x
–
=0
x(x + 2)
x(x + 2)
2x² + 4x - x - 2 2x² + x
–
=0
x(x + 2)
x(x + 2)
2x² + 3x - 2 - 2x² - x
=0
x(x + 2)
2x - 2
=0
x(x + 2)
2x – 2 = 0 et x(x + 2) ≠ 0
x = 1 et x ≠ 0 et x ≠ - 2
x=1
S = {1}
4
Seconde 3
b)
DS1 expressions algébriques et fonctions
CORRECTION
1
2
x–5
–
=
x + 1 x - 1 x² - 1
Sujet 1
x–1
2(x + 1)
x–5
–
=0
(x + 1)(x – 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)(x – 1)
x – 1 - 2x - 2 - x + 5
=0
(x + 1)(x – 1)
-2x + 2
=0
(x + 1)(x – 1)
-2x + 2 = 0 et (x + 1)(x – 1) ≠ 0
x = 1 et x ≠ -1 et x ≠ 1
S=õ
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-4;3].
1) Déterminer graphiquement l'image de 3 et de -3 par
f, puis f(0) et f(1).
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = -4.
3) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x – 6
b) f(x) = x² + x – 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x - 6
1) Pour lire l'image de 3 par f, on détermine l'ordonnée
du point d'abscisse 3 de la courbe : f(3) = 6
De même f(-3) = 0
f(0) = -6 et f(1) = -4
2) Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est 0 : soit -3 et 2
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont -3 et 2.
Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = -4, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est -4 : soit -2 et 1
Les solutions de l'équation f(x) = -4 sont -2 et 1.
3) La formule qui convient pour f(x) est : f(x) = x² + x – 6
En effet, elle est la seule à vérifier :
f(0) = -6; f(1) = -4; f(-3) = 0; f(2) = 0; f(-2) = -4; f(1) = -4.
5
Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
CORRECTION
Sujet 2
Exercice 1 : (8 points)
On donne plusieurs expressions d'une même fonction définie sur r.
Forme 1 : g(x) = 9(x + 3)² - 16
Forme 2 : g(x) = (3x + 13)(3x + 5)
Forme 3 : g(x) = 9x² + 54x + 65
1) Développer les formes 1 et 2; vérifier que l'on obtient la forme 3.
2) Quelle est la forme factorisée de g(x) ?
3) Dans chaque situation, choisir la forme la plus appropriée pour répondre à la question
posée.
a) Calculer g(0).
b) Résoudre l'équation g(x) = 0
c) Déterminer les antécédents de – 16.
d) Calculer l'image de 3.
e) Résoudre l'équation g(x) = 2.
1) Forme 1 : f(x) = 9(x² + 6x + 9) – 16 = 9x² + 54x + 81 – 16 = 9x² + 54x + 65
Forme 2 : f(x) = 9x² + 15x + 39x + 65 = 9x² + 54x + 65
Les formes 1 et 2 développées correspondent bien à la forme 3.
2) La forme factorisée de g(x) est la forme 3.
3) a)
g(0) = 9×0 + 54×0 + 65 = 65 (forme 3)
b)
g(x) = 0
(3x + 13)(3x + 5) = 0 (forme 2)
3x + 13 = 0 ou 3x + 5 = 0
5
13
ou x = x=3
3
 13 5
S = - ; - 
3
 3
c)
On résout l'équation g(x) = -16
9(x + 3)² - 16 = -16
9(x + 3)² = 0 (forme 1)
(x + 3)² = 0
x=-3
-16 a un seul antécédent : -3
d)
e)
g( 3) = 9×( 3)² + 54 3 + 65 = 27 + 54 3 + 65 = 92 + 54 3 (forme 3)
g(x) = 2
9(x + 3)² - 16 = 2
(forme 1)
9(x + 3)² = 18
(x + 3)² = 2
x+3 =
2 ou x + 3 = -
2
x = -3 +
2 ou x =- 3 -
2
S = {-3 -
2;-3 +
2}
6
Seconde 3
DS1 expressions algébriques et fonctions
CORRECTION
Sujet 2
Exercice 2 : (3 points)
Soit LMN un triangle isocèle tel que LM = MN = 3. On pose LN = c.
Exprimer en fonction de c :
1) Le périmètre du triangle LMN
2) La hauteur issue de M dans ce triangle
3) L'aire du triangle LMN.
1) PLMN = LM + MN + LN = 6 + c
2) Soit H le milieu de [LN].
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle LHM rectangle en H pour
calculer la hauteur h = MH issue de M dans le triangle LMN.
c²
LM² = MH² + LH² 9 =
+ h²
4
c²
h² = 9 –
4
36 – c²
h² =
4
h=
3) ALMN =
LN×MH c 36 – c² c²
= ×
=
2
2
2
4
Exercice 3 : (4 points)
Résoudre les équations :
2x + 1 2x - 1
a)
=
x
x-2
a)
36 – c²
2
2x + 1 2x - 1
=
x
x-2
b)
36 – c²
3
1
x+4
–
=
x – 2 x + 1 (x + 1)(x – 2)
(2x + 1)(x – 2) (2x – 1)x
–
=0
x(x – 2)
x(x – 2)
2x² -4x + x - 2 2x² - x
–
=0
x(x – 2)
x(x – 2)
2x² -3x - 2 - 2x² + x
=0
x(x – 2)
-2x - 2
=0
x(x – 2)
-2x – 2 = 0 et x(x – 2) ≠ 0
x = -1 et x ≠ 0 et x ≠ 2
S = {-1}
7
Seconde 3
b)
DS1 expressions algébriques et fonctions
CORRECTION
3
1
x+4
–
=
x – 2 x + 1 (x + 1)(x – 2)
Sujet 2
3(x + 1)
x–2
x+4
–
–
=0
(x – 2)(x + 1) (x – 2)(x + 1) (x + 1)(x – 2)
3x + 3 - x + 2 - x - 4
=0
(x – 2)(x + 1)
x+1
=0
(x – 2)(x + 1)
x + 1 = 0 et (x – 2)(x + 1) ≠ 0
x = -1 et x ≠ 2 et x ≠ -1
S=õ
Exercice 4 : (5 points)
Voici la représentation graphique d'une fonction f
définie sur [-3;4].
1) Déterminer graphiquement l'image de -3 et de 3
par f, puis f(0) et f(2).
2) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, puis
l'équation f(x) = 4.
3) Quelle formule convient pour f(x) ?
a) f(x) = -x² + x + 6
b) f(x) = x² + x + 6
c) f(x) = x² + 2x + 5
d) f(x) = 3x + 6
1) Pour lire l'image de -3 par f, on détermine l'ordonnée du point d'abscisse -3 de la
courbe : f(-3) = -6
De même f(3) = 0
f(0) = 6 et f(2) = 4
2) Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est 0 : soit -2 et 3
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont -2 et 3.
Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 4, on détermine les abscisses des
point de la courbe dont l'ordonnée est 4 : soit -1 et 2
Les solutions de l'équation f(x) = 4 sont -1 et 2.
3) La formule qui convient pour f(x) est : f(x) = -x² + x + 6
En effet, elle est la seule à vérifier :
f(-3) = -6; f(-2) = 0 f(0) = 6; f(-1) = 4; f(1) = 6; f(2) = 4; f(3) = 0.
8