Le triangle rectangle (3)

Le triangle rectangle (8)
I.
Rappel : cercle circonscrit à un triangle
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le
centre du cercle circonscrit au triangle.
Deux médiatrices suffisent pour tracer ce cercle.
C
A
O
B
1
II.
Définition
C
Angle droit
A
B
BAC  90
Le triangle ABC est rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse (le plus grand des côtés)
D’autre part, la somme des angles d’un triangle est toujours égale à
180°, donc :
A + B + C  180
A  90
donc
B + C  90
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires
2
III.
Triangle rectangle et cercle circonscrit
1. Propriété
Le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle
rectangle.
C
O
A
B
2. Conséquence
OA = OB = OC
(AO) est la médiane relative à l’hypoténuse.
BC
AO =
2
La longueur de la médiane relative à
l’hypoténuse est égale à la moitié de
l’hypoténuse.
3
3. Réciproque
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses
côtés, alors ce triangle est rectangle.
diamètre
Nature du quadrilatère ?
4
IV.
Comment reconnaître un triangle rectangle ?

Si un triangle a un angle droit, il est rectangle.
C
 = 90°
Donc le triangle ABC est rectangle
en A.
B
A

Si le point A est situé sur le cercle de diamètre [BC], alors le
triangle ABC est rectangle en A.
A
B
C
5

Si dans un triangle, la médiane relative à un côté a pour longueur
la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle.
C
A
O
B
6