TS. Évaluation 9 -Correction 1 ( 3,5 points ) On note X la variable

TS. Évaluation 9 -Correction ♣
1( 3,5 points ) On note Xla variable aléatoire correspondant à la durée d’attente, en minutes, au guichet d’une banque.
On admet que Xsuit la loi exponentielle de paramètre λ.
1. Déterminer une valeur approchée de λà10−4près sachant que la probabilité qu’un client attende moins de 8mi-
nutes est égale à 0,7.
P(X <8) =0,7 ⇐⇒ Z8
0λe−λxdx=0,7 ⇐⇒ h−e−λxi8
0=0,7
P(X <8) =0,7 ⇐⇒ 1−e−8λ=0,7 ⇐⇒ e−8λ=0,3 ⇐⇒ −8λ=ln(0,3) ⇐⇒ λ=ln(0,3)
−8'0,1505
2. Pour toute la suite de l’exercice, on prendra λ=0,15 et tous les résultats seront arrondis à 10−2près.
Calculer la probabilité qu’un client attende :
a. plus de 5minutes ;
P(X >5) =1−P(X 65) =1−³1−e−5λ´=e−5λ=e−0,75 '0,47
b. entre 15 et 20 minutes.
P(15 <X<20) =Z20
15 λe−λxdx=h−e−λxi20
15 =e−15λ−e−20λ'0,06
3. Déterminer la probabilité qu’un client attende plus de 13 minutes sachant qu’il attend déjà depuis 5minutes.
On recherche PX>5(X >13) =PX>5(X >5+8) =P(X >8)
car X suit une loi exponentielle et vérifie donc la propriété de durée de vie sans vieillissement.
PX>5(X >13) =P(X >8) =e−8λ=0,30
4. Déterminer la durée moyenne d’attente pour un client.
E(X) =1
λ=1 0,15 =100 15 =µ6+2 3¶minutes.
La durée moyenne d’attente pour un client est donc de 6 minutes et 40 s.
5. Par définition, la médiane de X est la valeur a telle que P(X 6a)=0,5.
Déterminer la médiane de Xet interpréter ce résultat.
P(X 6a)=0,5 ⇐⇒ 1−e−aλ=0,5 ⇐⇒ e−aλ=0,5 ⇐⇒ −aλ=ln(0,5) ⇐⇒ a=ln(0,5)
−λ'4,62
Cela signifie que 50% des clients attendent moins de 4 minutes et 37 secondes
et 50% des clients attendent plus de 4 minutes et 37 secondes.
6. On interroge au hasard 10 clients de cette banque. Yest la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant
attendu plus de 5minutes au guichet. On admet que Y suit la loi binomiale de paramètre n=10 et p=P(X >5).
a. Calculer p à 10−2près.
p=P(X >5) '0,47 d’après la question 2. a.
b. Calculer P(Y =6).
P(Y =6) =Ã10
6!×(0,47)6×(0,53)4'0,18
c. Quelle est la probabilité qu’au moins 8clients attendent plus de 5minutes ?
P(Y >8) =P(Y =8)+P(Y =9) +P(Y =10) =1−P(Y <8) =1−P(Y 67) '0,04
Attention : Y est ici une variable aléatoire discrète donc les événements (Y <8) et (Y 67) sont égaux !
Et il faut se rappeler que la calculatrice permet de calculer les valeurs P(Y 6k) pour kentier entre 0 et 10.
d. Déterminer l’espérance de Yet interpréter ce résultat.
E(Y) =np =10×0,47 =4,7
Cela signifie qu’en moyenne, sur 10 clients sélectionné au hasard, il y a entre 4 et 5 clients qui attendent plus
de 5 minutes.

2( 4 points ) Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3près.
1. Une coopérative de fruits doit calibrer sa production de cerise pour un fabricant de fruits confits. Le diamètre des
cerises, en millimètre, est une variable aléatoire, notée D, qui suit la loi normale N¡22 ; 1,62¢. Pour effectuer le tri,
les cerises sont placées sur un tapis roulant à travers deux calibreuses : la première ne laisse passer que les cerises de
diamètre inférieur à 23 mm et la seconde est réglée pour laisser passer les cerises de diamètres inférieurs à 21 mm .
Les cerises acceptées sont celles qui passent le premier calibre et sont rejetées par le second calibre.
a. Quelle est la probabilité qu’une cerise soit acceptée ?
Une cerise est acceptée si et seulement si elle est à la fois d’un diamètre inférieur à 23 mm et d’un diamètre
supérieur à 21 mm . On obtient à l’aide de la calculatrice : P(21 6D623) '0,468
La probabilité qu’une cerise soit acceptée est d’environ 0,468.
b. Quelle est la probabilité qu’une cerise ne passe pas le premier calibre ?
Une cerise ne passe pas le premier calibre si et seulement si son diamètre est supérieur à 23 mm
P(D >23) =0,5–P(22 6D623) =0,5–0,234 '0,266
La probabilité qu’une cerise ne passe pas le premier calibre est d’environ 0,266.
c. Quelle est la probabilité qu’une cerise qui a passé le premier calibre, passe le second calibre ?
Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle :
P(D<23)(D <21) =P((D <23) ∩(D <21))
P(D <23) =P(D <21) P(D <23) =0,5−P(21 <D<22) 0,5+P(22 <D<23) '0,266 0,734 '0,362
La probabilité qu’une cerise qui a passé le premier calibre passe le second est de 0,362.
2. La coopérative reçoit une nouvelle commande pour un fabricant de fruits surgelés. Il s’agit de sélectionner les 10%
de cerises au diamètre le plus large.
a. Justifier que le diamètre minimal dmi n des cerises sélectionnées pour ce fabricant vérifie P(D6dmin)=0,9.
Déterminer dmin .
On cherche le nombre dmin tel que P (D>dmin)=0,1, ce qui équivaut à P(D6dmi n)=0,9.
On trouve avec la fonction inverse normale de la calculatrice dmin '24,05
ce qui signifie que 10% des cerises auront un diamètre supérieur ou égal à 24,05 mm .
b. Les cerises qui ne sont pas sélectionnées ni pour le confisage ni pour la congélation sont gardées pour la fabri-
cation de fruits au sirop. Donner sous forme d’intervalle les diamètres de ces cerises.
Une cerise de diamètre inférieur à 21 mm est rejetée car son diamètre est insuffisant pour les fruits confits.
D’autre part, les cerises de diamètre compris entre 23 et 24,05 mm sont de diamètre trop gros pour les fruits
confits, sans pour autant faire partie des 10% des cerises sélectionnées pour les surgelés.
Les cerises qui sont gardées pour les fruits au sirop sont celles dont le diamètre est dans l’ensemble :
E=[0 ; 21]∪[23 ; 24,05]
3. On admet que la coopérative vend chaque année à ses différents commanditaires un nombre Xde cerises, exprimé
en tonnes. Xsuit la loi normale N¡µ;σ2¢. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 11 000 est de 0,1 et la
probabilité que ce nombre soit supérieur à 21 000 est de 0,2.
a. Justifier que les paramètre µet σvérifient le système (S) ½µ−1,282σ=11 000
µ+0,842σ=21 000 puis résoudre (S) .
Si X suit la loi normale N¡µ;σ2¢, alors la variable aléatoire centrée et réduite associée à X : Z =X−µ
σsuit
la loi normale N¡0 ; 12¢.
P(X 611 000) =0,1 ⇐⇒ PµZ611 000 −µ
σ¶=0,1 et P(X >21 000) =0,2 ⇐⇒ PµZ>21 000 −µ σ¶=0,8.
À l’aide de la calculatrice on trouve P(Z 6−1,282) '0,1 , et de même P(Z >0,842) '0,8
d’où l’on déduit que les paramètres µet σsont solutions du système (S).
11 000−µ
σ= −1,282
21 000−µ
σ=0,842
⇐⇒ (S) ½µ−1,282σ=11 000
µ+0,842σ=21 000
Ce système a pour solution S=©¡µ0;σ0¢ªavec µ0'17035,782 et σ0'4708,098
b. On suppose maintenant que Xsuit la loi normale N¡17 036 ; 4 7082¢. Chaque tonne vendue rapporte 120 €à
la coopérative. Les charges annuelles à payer par la coopérative sont de 1 500 000 €. Calculer la probabilité que
l’entreprise ne fasse pas de perte cette année.
Soit B le bénéfice algébrique de la coopérative, on a B =120X −1 500 000.
B>0⇐⇒ 120X −1 500 000 >0⇐⇒ X>12 500
P(X >12 500) =0,5 +P(12 500 6X617 036) '0,832
La probabilité que l’entreprise ne fasse pas de perte cette année est d’environ 0,832.

3( 2,5 points ) Un skieur doit traverser un glacier en suivant une piste de longueur 6km .
Il y a sur ce glacier une seule crevasse dont la localisation n’est pas connue du skieur. La probabilité qu’il rencontre cette
crevasse sur son chemin est p. Si cette crevasse est sur le chemin du skieur, on admet que sa répartition suit une loi uniforme
sur [0 ; 6]. À la distance d du point de départ (0<d<6) se trouve un refuge. On considère les événements :
•C : « la crevasse se situe sur le chemin parcouru par le skieur » ;
•A : « la crevasse se situe entre le départ et le refuge » ;
•B : « la crevasse se situe entre le refuge et l’arrivée ».
1. Interpréter les probabilités PC(A),PC(B) et P(C ∩A), puis exprimer ces probabilités en fonction de p et de d.
•PC(A) est la probabilité que « la crevasse se situe entre le départ et le refuge sachant qu’elle se situe sur le chemin
parcouru par le skieur » ;
PC(A) =d
6
•PC(B) est la probabilité que « la crevasse se situe entre le refuge et l’arrivée sachant qu’elle se situe sur le chemin
parcouru par le skieur » ;
PC(B) =6−d
6
•P(C∩A) est la probabilité que « la crevasse se situe sur le chemin parcouru par le skieur et se situe entre le départ
et le refuge ».
P(C ∩A) =PC(A) ×P(C) =d
6×p=pd 6
2. Construire un arbre de probabilités faisant intervenir C,C,Aet B. Calculer alors P(A) et P(B) en fonction de p et d.
•
C
A
B
C
p
d
6
1−d
6
1−p
P(A) =P(A ∩C) =pd
6et P(B) =P(B∩C) =p×µ1−d 6¶=p−pd 6
3. Sachant que le skieur est parvenu sans rencontrer de crevasse au refuge, quelle est la probabilité qu’il rencontre une
crevasse sur la suite du parcours ? Combien vaut cette probabilité si p =1? Interpréter le résultat.
PA(B) =P(A ∩B)
P(A) =P(B)
1−P(A) =p−pd
6
1−pd
6
=6p−pd
6−pd
Si p=1, alors PA(B) =1.
En effet, si la crevasse est toujours sur le chemin parcouru par le skieur et qu’il est parvenu sans la rencontrer au
refuge, alors il est certain qu’il la rencontrera sur la suite du parcours.