Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

UPV - MathsL1S1 1 II Dénombrement
Dénombrement
Probabilité uniforme sur un ensemble fini
I Dénombrement
1) Factorielles :
Pour n entier ≥ 1, il y a : n! = n.(n - 1). (n - 2) … 2.1
façons d’aligner n objets distincts (ou de les ranger dans n cases, à raison d’un objet par case) :
n choix possibles pour la première case. A chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix
possibles pour la seconde case … Et ainsi de suite, jusqu’à la dernière case pour laquelle il ne
reste qu’un objet.
Par convention 0! = 1 et n! = 0 pour n < 0, ce qui est d’ailleurs naturel : il n’y a qu’une façon
d’aligner 0 objet («"Voilà. C’est fait"»), et comment en aligner -3 ?
Pour n pas trop grand, on peut représenter ceci à l’aide d’un arbre.
Exemple : 4 objets {a, b, c, d}.
Du tronc partent 4 branches : les 4 choix possibles pour la première case, aboutissant aux
“noeuds” a, b, c et d.
De chacun de ces noeuds partent 3 branches : les trois choix restant pour la seconde case (du
noeud a partent les branches aboutissant à b, c et d, etc…).
De chacun des 12 noeuds partent 2 branches : les choix possibles pour la troisième case.
De chacun des 24 noeuds part une seule branche : le “choix” du dernier objet..
n! a une croissance extrêmement rapide. Expérimentez sur votre calculatrice.
Par exemple 10! = 3.628.800, 20! = 2.432.902.008.176.640.000 et 50! =
30.414.093.201.713.378.043.612.608.166.064.768.844.377.641.568.960.512.000.000.000.000
(Exercice : Vérifier à la main ce dernier résultat, et dessiner l’arbre sur une très grande feuille
de papier.)
2) Arrangements :
Pour p et n entiers, 1 ≤ p ≤ n, il y a :Anp = n.(n - 1) … (n - p + 1)
façons d’aligner p objets choisis parmi n objets distincts (ou de les ranger dans p cases, à raison
d’un objet par case) :
• n choix possibles pour la première case

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• à chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix possibles pour la seconde case
• et ainsi de suite, jusqu’à la p.ème pour laquelle il reste (n - (p - 1)) choix.
De manière naturelle (?) An0 = 1 (une seule façon de ranger 0 objet pris parmi n dans n cases!), et
par convention Anp = 0 pour p < 0 ou p > n.
Dans les calculs on utilise la formule ci-dessus (ou, bien mieux sa calculatrice).
Dans les formules on écrit, plus élégamment :
Anp = n! / (n - p)!
3) Combinaisons :
Pour 0 ≤ p ≤ n, il y a : Cnp = Anp / p! = n! / p!(n - p)!
façons de choisir p objets parmi n objets distincts.
Autrement dit : un ensemble à n éléments a Cnp sous ensembles à p éléments.
En effet pour ranger p objets choisis parmi n objets distincts dans p cases, on peut :
(1) Choisir p objets parmi les n : il y a Cnp façons de le faire.
(2) Une fois les objets choisis, les ranger dans les p cases : il y a p! façons de le faire.
A chacun des Cnp choix d’objets correspondent les p! façons de les ranger. Donc Anp = p! Cnp
4) Propriétés des combinaisons :
De la formule : Cnp = n! / p!(n - p)! résulte immédiatement :
1) Cnp = Cnn-p. (On peut aussi remarquer qu’un ensemble a n éléments a autant de sous
ensembles à p éléments que de sous ensembles à (n - p) éléments : à chaque sous
ensemble à p éléments correspond son complémentaire qui a (n - p) éléments).
2) Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p .
(On le démontrera de deux façons en TD.) Cette formule permet de démontrer par récurrence :
3) Formule du binôme : (a + b)n = Σ p=0 p=n Cnp ap bn-p
5) Triangle arithmétique de Pascal :
La formule 2) ci-dessus permet de calculer les Cnp (les coefficients du binôme) de manière
beaucoup plus commode que la formule de départ : c’est l’algorithme du triangle arithmétique
de Pascal :
La première colonne ne contient que des 1 (les Cn0).
La première ligne est complétée par une infinité de 0 (les C0p pour p > 0).
On obtient alors ligne par ligne tous les Cnp en utilisant la formule 2). Naturellement on n’écrit
qu’un nombre fini de lignes, et on s’épargne d’écrire les 0 (qui sont d’ailleurs en nombre infini!)

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Par exemple les six premières lignes (coefficients de (a + b)n pour n allant de 0 à 5) sont :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Conséquences : 1) Vous n’avez plus le droit d’hésiter plus de 5 secondes sur les
développements de (a + b)3 ou (a + b)4.
2) Si vous avez à calculer (a + b)10 vous avez maintenant le choix entre
deux méthodes : développer la formule, c’est long, pénible, et il y a avec beaucoup de risques
d’erreurs ou écrire les 11 premières lignes du triangle de Pascal, c’est rapide, élégant et les
risques d’erreurs sont minimes.
3) 2n = (1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cnp
D’où": Un ensemble à n éléments a 2n sous ensembles.
4) 0 = (-1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cnp (-1)p
Un ensemble fini a autant de sous ensembles de cardinal pair que de sous ensembles de
cardinal impair. C’est tout aussi rigolo, mais sûrement moins utile.
II Application!: Probabilité uniforme sur un ensemble fini
Le résultat d’une épreuve dépend du hasard. On suppose que l’ensemble Ω des résultats
possibles, ou événements élémentaires, est fini.
L’ensemble P
P(Ω) des parties (ou sous-ensembles) de Ω est associé à l’ensemble des
événements.
Exemples : 1) On lance une pièce : Ω ={p, f} (pile et face).
2) On lance une pièce deux fois de suite : Ω ={pp, pf, fp, ff}.
3) On lance un dé deux fois de suite :
Ω ={ (1, 1) , (1, 2) , … , (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , … , (2, 6) , … , (6, 1) , (6, 2) , … , (6, 6) }.
Si Ω a n éléments, P
P(Ω) a 2n éléments. Dans le premier exemple P P(Ω) a donc 4 éléments :
P
P(Ω) = {Ø, {p}, {f}, Ω}
Dans le second exemple P
P(Ω) a déjà 16 éléments.
Dans le dernier, il a 236 = 68.719.476.736 éléments. (Evidemment!! Néanmoins vous voyez qu’il
ne serait pas habile de s’embarquer dans la description de tous les événements possibles, bien
qu’il ne s’agisse que d’un pauvre dé, que l’on lance deux fois de suite!!)

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L’application P : P
P(Ω) ---> R+ définie par":
P(A) = card(A) / card(Ω).
(où card(A) = nombre d’éléments de A) est la probabilité uniforme sur Ω . En particulier si
Ω a n éléments, chacun des événement élémentaires a la même probabilité": 1/n.
On verra en TD que P est un cas particulier de probabilité sur Ω , c’est à dire une application":
P : P
P(Ω) ---> R+ vérifiant :
(i) P(Ω) = 1.
(ii) Si A ∩ B = Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
ce dont découle :
P est à valeurs dans [0, 1]
P(Ø) = 0
P(Ac) = 1 - P(A), Ac désignant le complémentaire de A dans Ω
Dans les trois exemples ci-dessus, Ω est muni d’une probabilité uniforme si la pièce ou le dé
sont équilibrés.

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TD Dénombrement
I Dénombrement
Exercice 1 : Démontrer la formule"Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p":
1) De manière rasoire, à l’aide de la formule Cnp = n!! / p!!(n-p)!
2) De manière plus divertissante à l’aide de considérations ensemblistes":
Soit E = {x1, x2, … , xn} un ensemble fini de cardinal n. On choisit arbitrairement un
de ses éléments, disons xn , et l’on remarque (brillamment) que parmi les sous-ensembles
de cardinal p de E, il y a ceux qui contiennent xn et ceux qui ne le contiennent pas.
Exercice 2 : Démontrer qu’un ensemble fini de cardinal n a 2n sous-ensembles":
1) A l’aide de la formule du binôme appliquée à (1 + 1)n
2) Par récurrence.
Exercice 3 : Combien de mots de 5 lettres (ayant ou non un sens) peut-on fabriquer avec les
lettres du mot LAPIN"? Et de mots de 8 lettres avec celles du mot ADRESSES"?
Exercice 4 : On dispose de n cages et de k lions, tant féroces qu’il faut séparer deux des
icelles bêtes par une cage vide au moins. On note Lnk le nombre de façons de répartir les gros
chats dans les cages.
1) Que vaut"Ln0 ? et"L0k pour k ≥ 1? et"Ln1 ?
2) On fixe n. Pour quelles valeurs de k a-t-on"Lnk = 0"?
3) Que vaut"Ln2 ?
4) En distinguant les deux cas : la première cage est vide puis la première cage est occupée,
trouver une formule de récurrence permettant de calculer de proche en proche les"Lnk. Les écrire
sous forme de tableau (n est l'indice de ligne et k l'indice de colonne) pour n ≤ 6. Comparer au
TAP.
Exercice 5 : n personnes (n ≥ 3) sont placées autour d'une table ronde (pour un dîner chez
la duchesse de Guermantes, par exemple). Une autre disposition de ces mêmes n personnes (pour
un dîner chez la princesse de Guermantes la semaine suivante) donne le même "plan de table" si