Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

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II Dénombrement
Dénombrement
Probabilité uniforme sur un ensemble fini
I Dénombrement
1) Factorielles :
Pour n entier ≥ 1, il y a :
n! = n.(n - 1). (n - 2) … 2.1
façons d’aligner n objets distincts (ou de les ranger dans n cases, à raison d’un objet par case) :
n choix possibles pour la première case. A chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix
possibles pour la seconde case … Et ainsi de suite, jusqu’à la dernière case pour laquelle il ne
reste qu’un objet.
Par convention 0! = 1 et n! = 0 pour n < 0, ce qui est d’ailleurs naturel : il n’y a qu’une façon
d’aligner 0 objet (« Voilà. C’est fait »), et comment en aligner -3 ?
Pour n pas trop grand, on peut représenter ceci à l’aide d’un arbre.
Exemple : 4 objets {a, b, c, d}.
Du tronc partent 4 branches : les 4 choix possibles pour la première case, aboutissant aux
“noeuds” a, b, c et d.
De chacun de ces noeuds partent 3 branches : les trois choix restant pour la seconde case (du
noeud a partent les branches aboutissant à b, c et d, etc…).
De chacun des 12 noeuds partent 2 branches : les choix possibles pour la troisième case.
De chacun des 24 noeuds part une seule branche : le “choix” du dernier objet..
n! a une croissance extrêmement rapide. Expérimentez sur votre calculatrice.
Par exemple 10! = 3.628.800, 20! = 2.432.902.008.176.640.000 et 50! =
30.414.093.201.713.378.043.612.608.166.064.768.844.377.641.568.960.512.000.000.000.000
(Exercice : Vérifier à la main ce dernier résultat, et dessiner l’arbre sur une très grande feuille
de papier.)
2) Arrangements :
Pour p et n entiers, 1 ≤ p ≤ n, il y a : An p = n.(n - 1) … (n - p + 1)
façons d’aligner p objets choisis parmi n objets distincts (ou de les ranger dans p cases, à raison
d’un objet par case) :
• n choix possibles pour la première case
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II Dénombrement
• à chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix possibles pour la seconde case
• et ainsi de suite, jusqu’à la p.ème pour laquelle il reste (n - (p - 1)) choix.
De manière naturelle (?) An0 = 1 (une seule façon de ranger 0 objet pris parmi n dans n cases!), et
par convention Anp = 0 pour p < 0 ou p > n.
Dans les calculs on utilise la formule ci-dessus (ou, bien mieux sa calculatrice).
Dans les formules on écrit, plus élégamment :
An p = n! / (n - p)!
3) Combinaisons :
Pour 0 ≤ p ≤ n, il y a :
Cn p = An p / p! = n! / p!(n - p)!
façons de choisir p objets parmi n objets distincts.
Autrement dit : un ensemble à n éléments a Cn p sous ensembles à p éléments.
En effet pour ranger p objets choisis parmi n objets distincts dans p cases, on peut :
(1) Choisir p objets parmi les n : il y a Cnp façons de le faire.
(2) Une fois les objets choisis, les ranger dans les p cases : il y a p! façons de le faire.
A chacun des Cnp choix d’objets correspondent les p! façons de les ranger. Donc Anp = p! Cnp
4) Propriétés des combinaisons :
De la formule : Cn p = n! / p!(n - p)! résulte immédiatement :
1) Cn p = Cn n-p. (On peut aussi remarquer qu’un ensemble a n éléments a autant de sous
ensembles à p éléments que de sous ensembles à (n - p) éléments : à chaque sous
ensemble à p éléments correspond son complémentaire qui a (n - p) éléments).
2) C n p
= Cn - 1p - 1 + Cn - 1p .
(On le démontrera de deux façons en TD.) Cette formule permet de démontrer par récurrence :
3) Formule du binôme : (a + b)n
= Σ p=0 p=n Cn p ap bn-p
5) Triangle arithmétique de Pascal :
La formule 2) ci-dessus permet de calculer les Cn p (les coefficients du binôme) de manière
beaucoup plus commode que la formule de départ : c’est l’algorithme du triangle arithmétique
de Pascal :
La première colonne ne contient que des 1 (les Cn0 ).
La première ligne est complétée par une infinité de 0 (les C0 p pour p > 0).
On obtient alors ligne par ligne tous les Cn p en utilisant la formule 2). Naturellement on n’écrit
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II Dénombrement
Par exemple les six premières lignes (coefficients de (a + b)n pour n allant de 0 à 5) sont :
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3 1
6 4
10 10
1
5
1
Conséquences :
1) Vous n’avez plus le droit d’hésiter plus de 5 secondes sur les
développements de (a + b)3 ou (a + b)4 .
2) Si vous avez à calculer (a + b)10 vous avez maintenant le choix entre
deux méthodes : développer la formule, c’est long, pénible, et il y a avec beaucoup de risques
d’erreurs ou écrire les 11 premières lignes du triangle de Pascal, c’est rapide, élégant et les
risques d’erreurs sont minimes.
3) 2n = (1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cn p
D’où : Un ensemble à n éléments a 2n sous ensembles.
4) 0 = (-1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cn p (-1)p
Un ensemble fini a autant de sous ensembles de cardinal pair que de sous ensembles de
cardinal impair. C’est tout aussi rigolo, mais sûrement moins utile.
II Application : Probabilité uniforme sur un ensemble fini
Le résultat d’une épreuve dépend du hasard. On suppose que l’ensemble Ω des résultats
possibles, ou événements élémentaires, est fini.
L’ensemble P ( Ω ) des parties (ou sous-ensembles) de Ω est associé à l’ensemble des
événements.
Exemples :
1) On lance une pièce : Ω ={p, f} (pile et face).
2) On lance une pièce deux fois de suite : Ω ={pp, pf, fp, ff}.
3) On lance un dé deux fois de suite :
Ω ={ (1, 1) , (1, 2) , … , (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , … , (2, 6) , … , (6, 1) , (6, 2) , … , (6, 6) }.
Si Ω a n éléments, P (Ω) a 2n éléments. Dans le premier exemple P (Ω) a donc 4 éléments :
P (Ω) = {Ø, {p}, {f}, Ω}
Dans le second exemple P (Ω) a déjà 16 éléments.
Dans le dernier, il a 23 6 = 68.719.476.736 éléments. (Evidemment ! Néanmoins vous voyez qu’il
ne serait pas habile de s’embarquer dans la description de tous les événements possibles, bien
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II Dénombrement
L’application P : P (Ω) ---> R+ définie par :
P(A) = card(A) / card(Ω).
(où card(A) = nombre d’éléments de A) est la probabilité uniforme sur Ω . En particulier si
Ω a n éléments, chacun des événement élémentaires a la même probabilité : 1/n.
On verra en TD que P est un cas particulier de probabilité sur Ω , c’est à dire une application :
P : P (Ω ) ---> R+ vérifiant :
(i) P(Ω ) = 1.
(ii) Si A ∩ B = Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
ce dont découle :
P est à valeurs dans [0, 1]
P(Ø) = 0
P(Ac ) = 1 - P(A), Ac désignant le complémentaire de A dans Ω
Dans les trois exemples ci-dessus, Ω est muni d’une probabilité uniforme si la pièce ou le dé
sont équilibrés.
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II Dénombrement
TD Dénombrement
I Dénombrement
Exercice 1 : Démontrer la formule Cn p = Cn - 1p - 1 + Cn - 1p :
1) De manière rasoire, à l’aide de la formule Cn p
= n ! / p !(n-p)!
2) De manière plus divertissante à l’aide de considérations ensemblistes :
Soit E = {x1 , x2 , … , xn} un ensemble fini de cardinal n. On choisit arbitrairement un
de ses éléments, disons xn , et l’on remarque (brillamment) que parmi les sous-ensembles
de cardinal p de E, il y a ceux qui contiennent xn et ceux qui ne le contiennent pas.
Exercice 2 : Démontrer qu’un ensemble fini de cardinal n a 2n sous-ensembles :
1) A l’aide de la formule du binôme appliquée à (1 + 1)n
2) Par récurrence.
Exercice 3 : Combien de mots de 5 lettres (ayant ou non un sens) peut-on fabriquer avec les
lettres du mot LAPIN ? Et de mots de 8 lettres avec celles du mot ADRESSES ?
Exercice 4 : On dispose de n cages et de k lions, tant féroces qu’il faut séparer deux des
icelles bêtes par une cage vide au moins. On note Lnk le nombre de façons de répartir les gros
chats dans les cages.
1) Que vaut Ln0 ? et L0k pour k ≥ 1? et Ln1 ?
2) On fixe n. Pour quelles valeurs de k a-t-on Lnk = 0 ?
3) Que vaut Ln2 ?
4) En distinguant les deux cas : la première cage est vide puis la première cage est occupée,
trouver une formule de récurrence permettant de calculer de proche en proche les Lnk. Les écrire
sous forme de tableau (n est l'indice de ligne et k l'indice de colonne) pour n ≤ 6. Comparer au
TAP.
Exercice 5 : n personnes (n ≥ 3) sont placées autour d'une table ronde (pour un dîner chez
la duchesse de Guermantes, par exemple). Une autre disposition de ces mêmes n personnes (pour
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II Dénombrement
chaque convive a la même personne à sa droite et la même personne à sa gauche que lors du
premier dîner.
1) Combien y-a-il de plans de table lorsque :
a) n = 3 ?
b) n = 4 ?
c) En général ?
2) Que devient ce nombre si l'on exige seulement que chaque convive ait les mêmes voisins
immédiats, (voisin de droite et de gauche peuvent avoir été permutés).
Questions subsidiaires pour départager les ex aequo :
a) Qui sont la duchesse et la princesse de Guermantes ?
b) Quel sont les prénom du duc et de la duchesse de Guermantes ?
c) Donner quelques exemples de convives qui auraient pu participer à cette sauterie.
Exercice 6 :
Soit A = {a1 , a2 , … , am} et B = {b1 , b2 , … , bm} deux ensembles à m
éléments d'intersection vide et k un entier compris entre 0 et m.
1) Combien A a-t-il de sous ensembles à k éléments ?
2) On veut choisir à la fois un sous ensemble à k éléments de A et un sous ensemble à (m
- k) éléments de B. De combien de façons peut-on effectuer un tel choix ?
3) Montrer que Σ k = 0 k = m ( Cm k ) 2 = C2 mm .
Vérifier cette formule pour m = 5.
II Probabilité uniforme sur un ensemble fini
Exercice 7 : On lance un dé deux fois de suite. Quels sont les sous-ensembles associés aux
événements :
1) La somme des points obtenus est un multiple de 5.
2) La somme des points obtenus est un nombre premier (c’est à dire ayant exactement
deux diviseurs : 1 et lui-même)
3) Le produit des points obtenus est un nombre premier.
Exercice 8 : Soit Ω un ensemble fini, et P la probabilité uniforme sur Ω .
1) Montrer que P est une probabilité sur Ω , c’est à dire une application :
P : P (Ω ) ---> R+ vérifiant les axiomes :
(i) P(Ω ) = 1.
(ii) Si A ∩ B = Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
2) Montrer qu’une probabilité sur Ω , a les propriétés suivantes :
P est à valeurs dans [0, 1]
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II Dénombrement
P(Ø) = 0
P(Ac ) = 1 - P(A), Ac désignant le complémentaire de A dans Ω
Exercice 9 : On lance un dé équilibré deux fois de suite. Quelle est la probabilité des
événements :
1) La somme des points obtenus est un multiple de 5.
2) La somme des points obtenus est paire.
3) Le produit des points obtenus est pair.
4) La somme des points obtenus est un nombre premier.
5) Le produit des points obtenus est un nombre premier.
Exercice 10 : On tire quatre cartes dans un jeu de 52.
Quelle est la probabilité d’avoir les 4 as ? d’avoir 2 as ? d’avoir au moins 1 as ?
Exercice 11 : Premier jeu : On choisit au hasard un sous-ensemble U à 6 éléments de
l’ensemble
{1, 2, … , 49}.
Une machine (stupide) choisit également un sous-ensemble V à 6 éléments du même
ensemble, plus un septième élément c.
On gagne le gros lot si U = V.
On gagne le lot de consolation si l’intersection de U et V a 5 éléments et si U contient en
outre c.
Et on gagne le lot de consolation du lot de consolation si l’intersection de U et V a 5
éléments, sans que U contienne c.
Second jeu : On lance n fois de suite une pièce équilibrée (à chaque lancer les
probabilités d’obtenir pile et face sont égales). On gagne si les n lancers sont tous des piles.
1) On vous propose de jouer au second jeu avec n = 15 : vous gagnez si vous obtenez 15
piles consécutifs en lançant une pièce équilibrée.
a) A première vue pensez vous avoir beaucoup de chances de gagner à ce jeu ?
b) Comparer la probabilité de gagner à ce jeu avec les probabilités de gagner au
premier jeu :
• le gros lot
• le lot de consolation
• le lot de consolation du lot de consolation.
(Calculer les quatre probabilités, et le rapport de la première à chacune des trois autres).
2) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle vos chances de gagner au second jeu
sont inférieures à vos chances de gagner au premier jeu : a) Le gros lot ?
b) Le lot de consolation ?
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II Dénombrement
Exercice 12 : On admet que toute année a 365 jours, et que pour chaque jour de l'année la
probabilité pour un individu pris au hasard d'avoir son anniversaire ce jour là est de 1/365.
(Ce n'est pas tout à fait exact : vous savez qu'il y a des années bissextiles, et que certaines
saisons incitent plus que d'autres à la reproduction. Mais ce sont deux approximations
acceptables.)
1) 22 joueurs disputent un match de football (c'est le jeu où l'on pousse le ballon avec le
pied). Diriez vous au débotté qu'il y a de fortes chances pour que deux d'entre eux (au moins)
fêtent leur anniversaire le même jour ?
Etant donné un ensemble de n personnes (n ≥ 2), on cherche la probabilité pn de l'événement :
deux d'entre elles (au moins) fêtent leur anniversaire le même jour.
Pour quelles valeurs de n a-t-on pn = 1 ?
2) Que valent p2 et p3 ?
3) Que vaut pn en général ?
Applications : Valeurs de p2 2 et de p4 0
Exercice 13 : n couples {h1 , f1 }, … , {hn , fn} sont réunis pour une petite danse.
Chacun des n cavaliers {h1 , … , hn} choisit au hasard l'une des cavalière {f1 , … , fn}.
On note an la probabilité de l'événement : chacun des hi danse avec sa moitié fi .
1) Que valent a2 , a3 et a4 ?
2) Que vaut an en général ?
Après la danse, n tables de 2 sont préparées pour une collation. Chacun des 2n danseurs choisit
au hasard l'une des 2n places. On note bn la probabilité de l'événement : chacun des hi est assis
avec sa moitié fi .
On pourra supposer que les places sont numérotées (1 et 2), (3 et 4), … , (2n - 1 et 2n)
3) Que valent b2 et b3 ?
4) Que vaut bn en général ? (Vérifier la validité de votre formule pour n = 2 et 3.)
Et si le coeur vous en dit (mais c'est un problème difficile, et n = 2, 3 et 4 serait déjà bien) :
5) Après la collation, on reprend la danse, selon le principe du début.
Quelle est la probabilité cn de l'événement : aucun des hi ne danse avec sa moitié ?