Processus ponctuels

Processus ponctuels
Caractéristiques et Modèles
de répartitions spatiales
Un exemple de répartition spatiale
Objectifs
●
●
●
Décrire la répartition de points sur un plan,
qualitativement et quantitativement
Construire des modèles aléatoires de répartition
d'un ensemble de points dans une surface finie
Définir une collection de modèles suffisamment
riche pour correspondre aux différentes
situations
Visualisation des données
Visualisation des données
Caractéristiques qualitatives
●
●
Abondance ou rareté des points
Présence notable de groupes de points ou
dispersion régulière
Typologie des répartitions
Caractéristiques quantitatives
●
Agrégation
–
On calcule le nombre de voisins de chacun des
points dans un cercle de rayon r. On fait varier r.
(statistique de Ripley)
Quels modèles?
●
●
Descriptifs ou explicatifs?
Déterministes ou aléatoires?
Modèles aléatoires
de répartition spatiale
Processus ponctuels
Processus ponctuels
●
●
●
On considère que le semis de points observé
est le résultat d'un tirage aléatoire selon une
certaine loi de probabilité
Le tirage aléatoire concerne le semis dans son
ensemble et non chaque point du semis
individuellement
La construction de la loi de probabilité constitue
le modèle
Loi de probabilité diffuse
●
Rappel : Loi uniforme sur [0,1]
–
–
●
La probabilité de tirer une valeur particulière X=0,3
est toujours nulle
On définit la loi de probabilité en fixant la probabilité
que x appartienne à un sous-intervalle [a,b]
P(X[a,b])=b-a.
La loi de probabilité du processus ponctuel est
diffuse
–
–
La probabilité associée à un semis fixé est nulle
On définit la loi de probabilité du processus en
fixant la probabilité d'ensembles de semis
particuliers analogues des intervalles
Construction de la probabilité
●
Ensemble de semis
–
–
–
●
Pour chaque partition finie en rectangles (Bi) du
rectangle A
Pour chaque suite d'entiers (ni) correspondant aux
(Bi)
On définit S l'ensemble des semis comportant ni
points dans Bi
Définition de la loi de probabilité
–
–
On définit P(S) comme fonction des (Bi,ni). Cette
fonction doit être cohérente avec la définition des
probabilités
L'ensemble I des semis ayant une infinité de points
a une probabilité nulle
Processus ponctuels indépendants
●
●
Processus de Poisson homogène
Processus de Poisson inhomogène
Processus de Poisson homogène
●
Rappel : Loi de Poisson P() définie sur N
–
●
Exercice : Montrer que la somme de deux variables
de Poisson est une variable de Poisson
Processus de Poisson homogène d'intensité 
–
–
Pour tout rectangle B dans A, le nombre de points
dans B suit une loi de Poisson de paramètre a(B)
où a(B) est l'aire de B.
Si B et C sont deux rectangles sans intersection,
les nombres de points dans B et C sont deux
variables indépendantes
Propriétés
●
●
Si on réunit les semis obtenus à partir de deux
processus de Poisson indépendants on obtient
un processus de Poisson dont l'intensité est la
somme des intensités des deux processus
d'origine
Le processus de Poisson sert de référence aux
autres processus, en tant que processus le plus
aléatoire : les points du semis apparaissent de
façon indépendante les uns des autres, et de
façon uniforme sur A.
Simulation
●
Le processus de Poisson homogène peut être
simulé de la façon suivante
–
–
On tire le nombre total N(A) de points du semis
suivant une loi de Poisson de paramètrea(A)
On tire successivement et indépendamment N(A)
points suivant une loi de probabilité uniforme sur A
●
Exercice : montrer qu'on obtient bien un processus de
Poisson correspondant à la définition précédente
Processus de Poisson inhomogène
●
●
Le processus inhomogène est une modification
du processus homogène dans lequel les points
apparaissent préférentiellement dans certaines
zones de A. Soit (x) une fonction intégrable
définie sur A.
Processus de Poisson inhomogène d'intensité 
–
–
Pour tout rectangle B dans A, le nombre de points
dans B suit une loi de Poisson de paramètre (B)
où (B) est l'intégrale de la fonction  sur B.
Si B et C sont deux rectangles sans intersection,
les nombres de points dans B et C sont deux
variables indépendantes
Propriétés
●
●
Si on réunit les semis obtenus à partir de deux
processus de Poisson indépendants on obtient
un processus de Poisson dont l'intensité est la
somme des intensités des deux processus
d'origine
Le processus de Poisson inhomogéne est tel
que les points du semis apparaissent de façon
indépendante les uns des autres, mais pas de
façon uniforme sur A. On voit apparaître des
agrégats de points dans les zones où la
fonction d'intensité est grande.
Simulation
●
Le processus de Poisson inhomogène peut être
simulé de la façon suivante
–
–
On tire le nombre total N(A) de points du semis
suivant une loi de Poisson de paramètre(A)
On tire successivement et indépendamment N(A)
points suivant une loi de probabilité de densité
(x)/(A) sur A
Conclusion sur
les processus de Poisson
●
●
●
●
Ces processus sont à la base de la construction
de la plupart des processus ponctuels
Ils présentent des agrégats (pr. inhomogène) ou
pas (pr. homogène)
La position des agrégats est fixe et dépend de
la fonction d'intensité
Dans ces modèles les individus représentés par
les points n'interagissent pas ; ils ignorent la
position de leurs voisins
Processus ponctuels dépendants
●
●
●
Processus de Neymann Scott
Processus de Cox
Processus markoviens
Processus de Neyman-Scott
●
Le processus de Neyman-Scott est défini en
deux étapes indépendantes
–
–
On tire un semis selon un processus de Poisson
homogène
Autour de chaque point obtenu yi, on tire selon un
processus de Poisson inhomogène d'intensité f(x-yi)
Remarques
●
●
Les points centres sont effacés du semis final
Le deuxième tirage n'est pas nécessairement
un processus de Poisson :
–
–
on choisit une loi discrète quelconque pour tirer le
nombre de points
on tire les points indépendamment selon une loi de
distribution identique autour de chacun des centres.
Propriétés
●
●
●
●
Les points ne sont plus indépendants, les points
issus d'un même centre sont plus rapprochés
Les agrégats apparaissent naturellement
Leur position est évidemment aléatoire
Le processus dans son ensemble est
homogène : aucune zone de A ne voit
apparaître plus de points en moyenne
Processus de Cox
●
Les processus de Cox sont également générés
en deux étapes
–
–
On tire une fonction (x) définie sur A par un tirage
aléatoire
On tire un Poisson inhomogène d'intensité (x)
Remarque
●
●
La vraie difficulté consiste en la première étape.
Exemple
–
–
–
On tire un processus de Poisson sur A et pour
chaque point yi obtenu on définit une fonction f(x-yi)
autour du point. On somme toutes les fonctions
pour obtenir la fonction g(x).
On effectue un tirage de Poisson inhomogène
d'intensité g(x).
On obtient le processus de Neyman-Scott
précédent.
Processus markoviens
●
Rappel
–
On considère la loi uniforme sur [0,1]
–
On choisit une fonction f d'intégrale 1. On définit
une nouvelle loi de probabilité par
–
La fonction f appelée densité de Y par rapport à X
introduit une déformation de la loi uniforme. Les
intervalle où f est grande ont une probabilité plus
forte
Principe
●
●
●
On veut déformer la loi de probabilité du
processus de Poisson homogène pour favoriser
les agrégats
On se fixe une fonction de densité f définie sur
un semis S par
 est une fonction d'interaction entre deux
points, elle peut être répulsive ou attractive
selon les distances entre les points
Exemples
●
Processus de Strauss répulsif
–
–
●
<1 et R est le rayon d'interaction
Les semis où deux points sont plus proches que R
sont plus rares
Processus hardcore
–
Les semis où deux points sont plus proches que R
sont interdits
Exemples
●
Processus hardcore attractif
–
–
–
d>1 et R1<R2
Les semis où deux points sont plus proches que R1
sont interdits.
Les semis où deux points sont à distance r telle que
R1<r<R2 sont favorisés
Conclusion sur les processus
dépendants
●
Classes de modèle plus riches, générant des
agrégats selon différents principes :
–
–
–
Neyman-Scott : principe de semis
Cox : principe d'environnement aléatoire
Markov : principe de compétition/coopération entre
individus
Caractéristiques quantitatives
Statistiques définies à partir des données
Abondance/ Rareté
•
Caractérisée par le nombre moyen de points
par unité de surface
•
•
soit globalement (cas homogène)
soit localement (cas inhomogène) : choix d’un
voisinage ou d’une fonction de lissage
Agrégats
•
Caractérisée par le nombre de voisins de
chaque point de l’ensemble
•
•
Fonction de vide
Nombre de voisins
Fonction de vide
•
•
•
F(r) est la probabilité d’avoir un point à une distance
inférieure à r de l’origine.
G(r) est l’espérance pour un point du semis d’avoir
un voisin à une distance inférieure à r.
J(r) = (1- F(r))/ (1- G(r))
•
•
est égale à 1 pour un processus de Poisson homogène
<1 si dispersion, >1 si agrégation
Statistique de fonction de vide
•
•
F(r) est estimé en choisissant une grille fixe de
points et en calculant la proportion de points de la
grille ayant un point du semis à une distance
inférieure à r.
G(r) est estimé en comptant la proportion de points
du semis ayant un point du semis à une distance
inférieure à r.
Statistique de Ripley
●
On suppose connue la fonction d'intensité
du processus. Pour chaque distance r, on
définit la statistique K de Ripley par
–
La statistique compte le nombre de
couples de points à distance inférieure
àr
Processus de Poisson homogène
●
●
●
Dans ce cas, on peut calculer l'espérance de la
statistique de Ripley
L'espérance du nombre de voision à distance r
est égale à l'espérance du nombre de point
dans un disque de rayon r : il n'y a pas d'effet
de la présence du point au centre du cercle
Pour les représentations graphiques, on définit
Interprétation graphique
Conclusion
●
●
●
La statistique de Ripley permet de mesurer un
écart entre les données issues du modèle de
Poisson homogène et les données examinées
On connaît mal sa distribution pour un r fixé (on
peut calculer sa variance) et on sait que les
résultats pour différentes valeurs de r sont très
dépendantes : difficile de construire un test
Si le processus est agrégé, elle ne distingue
pas entre un effet sur la moyenne de nombre
de points (processus inhomogène) ou un effet
de dépendance entre les points (Neyman-Scott,
Cox, Markov)
Problème de la correction de bords
●
Si r est grand par rapport aux dimensions de A
Choix d'une fenêtre plus petite
Cas de deux peuplements