2 - Inria Sophia Antipolis
publicité
Penser, modéliser et maîtriser le calcul informatique Gérard Berry Chaire Informatique et sciences numériques Collège de France, 19 novembre 2009 Le calcul humain assisté Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 2 Curt Herzstark, 1936-1945 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 3 La révolution du microprocesseur coeur 1 coeur 2 Si vous m’instruisez bien, je sais tout faire tout seul, en tournant moi-même la manivelle ! Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 4 La révolution du microprocesseur coeur 1 coeur 2 Rapidité, exactitude, stupidité Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 5 Sans la main => sans la pensée ! Modèles de calcul Maîtrise Calculer sur ? le calcul Intuition Rapidité Rigueur Exactitude Lenteur Stupidité Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 6 Anatomie d’un modèle de calcul pensée algorithmique machines implantation conception et programmation noyau intuitif et mathématique optimisation raisonnement sur la correction langages vérification Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 7 Pourquoi plusieurs modèles de calcul, alors que tous les ordinateurs semblent marcher pareil ? Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 8 Quatre classes de modèles 1. Modèles de la calculabilité 2. Modèles séquentiels 3. Modèles parallèles 4. Modèles diffus Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 9 La sémantique : concepts ↔ symboles • Domaine des concepts : la somme du nombre 34 et du nombre 56 est le nombre 90 • Domaine des symboles 34 et 56 sont des symboles en représentation décimale et + le symbole d’un algorithme Machine : 34+56 3+5+1 → 0 9 4+6 → 1 0 090 Il n’y a pas de nombres dans un ordinateur rien que des symboles Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 10 Le diagramme sémantique Concepts somme du nombre « 34 » et du nombre « 56 » nombre « 90 » dénotation Symboles notation 34+56 manivelle 090 Pour comprendre l’informatique, il faut arriver à être aussi bête qu’un ordinateur Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 11 Causalité des calculs (3+4)+(8-3) 7+(8-3) résidu (3+4)+5 7+5 création 12 La causalité détermine la liberté du calcul Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 12 Déterminisme / non-déterminisme • Déterminisme : un seul résultat – calcul mathématique standard – circuits électroniques – pilotage d’avions, conduite de voitures, etc. • Non-déterminisme : plusieurs résultats – navigateur Internet, moteur de recherches, etc. – incertitude : on ne peut pas connaître en même temps la position et le contenu d’une page Web – encore quelques voitures (hélas) Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 13 Le crible d’Eratosthène Un nombre est premier s’il n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 11 21 31 41 51 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 14 Le crible d’Eratosthène Un nombre est premier s’il n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 11 21 31 41 51 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 15 Le crible d’Eratosthène Un nombre est premier s’il n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 11 21 31 41 51 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 16 Le crible de Darwin : p, kp → p 7 9 7 3 7 7 2 4 28 Banâtre - Le Métayer : GAMMA Berry - Boudol : CHAM Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 17 Comparaison des cribles séquentialité causalité complexe déterminisme du calcul déterminisme du résultat terminaison triviale limité au fini parallélisme massif causalité minimale non-déterminisme du calcul déterminisme du résultat terminaison probabiliste passe à l’infini Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 18 Comment définir la calculabilité ? 1. Par les machines machines de Turing, de von Neumann, automates cellulaires, pavages du plan, etc. 2. Par les langages et calculs algébriques définitions récursives de fonctions -calcul 3. Par les classes algébriques de fonctions fermetures par opérations appropriées Toutes ces définitions sont équivalentes Thèse de Church-Turing : Toute nouvelle définition restera équivalente Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 19 La machine de Turing ••• 3 1 8 4 5 9 2 E G ••• D A : 3 → D, A A : 4 → G, B A : 8 → 3, A B : 3 → D, C A : 7 → G, B A : 7 → 2, A arrêt non-déterminisme Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 20 Machine universelle Théorème : il existe une machine universelle U qui permet de simuler toute machine sur toute donnée Do n n é e s Do cM Do n n é e s M U Le programme enregistré est la clef de l’informatique Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 21 Indécidabilité de l’Arrêt Théorème : il n’existe pas de machine testant si une machine M s’arrête sur une donnée D Do n n é e s Do cM Do n n é e s M A • A s’arrête toujours • A rend 1 si M s’arrête • A rend 0 si M boucle Toute propriété non-triviale est indécidable Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 22 Alan Turing (1912-1954) 1936 : grands théorèmes 1940 : casse le code allemand Enigma 1952 : condamné pour homosexualité castré chimiquement 1954 : suicide (?) 2009 : excuses de Gordon Brown A Turing qui aimait tant l’argument diagonal, donnons le prix Turing à titre posthume ! Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 23 Un langage : la récursion générale • Fact (m) si m1 alors 1 sinon Mult (m, Fact(m1)) • Mult (m, n) si m0 alors 0 sinon si m1 alors n sinon Add (Mult(m1, n), n) • Add (m, n) si m0 alors n sinon si n0 alors m sinon (Add (m1, n1)1)1 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 24 Le -calcul (Church 1936) Donner un vrai statut à la notation des fonctions • Notation classique des fonctions f [ x x+1 ] g [ y y2 ] g○f [ z g(f(z)) ] [ z (z+1)2 ] • -notation f x. x+1 f(2) (x. x+1) (2) 2+1 3 g y. y2 g(3) (y. y2) (3) 32 9 G. Berry, Collège de France, 25/11/2009 25 f x. x+1 g y. y2 ○ u. v. z. u(v(z)) ○g f (u. v. z. u(v(z))) (y. y2) (x. x+1) ○ u(v(z))) (y.gy2) (x.fx+1) ○g f (u. v. z. ○g f z. (y. y2) ((x. x+1) (z)) ○g f z. (y. y2) ((x. x+1) (z)) ○g f z. (y. y2) (z+1) ○g f z. (y. y2) (z+1) ○g f z. (z+1)2 g○f : [ z (z+1)2 ] G. Berry, Collège de France, 25/11/2009 26 Le -calcul pur • x, y, z,... : variables • x. M : abstraction fonction de x de corps M • (MN) : application d’une fonction à un argument • (x. M) N M[N/x] : -réduction mais ce calcul est vide ! Où sont donc les entiers, la récursion, etc ? Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 27 0 f. x. x 1 f. x. fx 2 f. x. f(fx) ... n f. x. f n(x) = f(f(...f(x)...)) ... Le nombre n devient l’algorithme qui applique n fois une fonction f à son argument x +1 n. f. x.f (nfx) -1 λn.λf.λx. n (λg.λh.h(fg)) (λu.x) (λv.v) Collège de France, G. Berry, 28 19/11/2009 Récursion et point fixe let rec Fact m si m1 alors 1 sinon Mult (m, Fact (m1)) FACT f. m. si m1 alors 1 sinon Mult (m, f (m1)) Fact = FACT (Fact) - équation de point fixe Fact = Y (FACT) avec Y = (x. y.y(xxy)) (x. y.y(xxy)) Pour comprendre comment un calcul évolue, le mieux est de comprendre ce qu’il laisse fixe ! Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 29 La carte du -calcul algorithmique récursive machines virtuelles CAM, Krivine programmation fonctionnelle relations avec la logique formelle -calcul domaines de Scott compilation et optimisation des langages fonctionnels SCHEME CAML Haskell Javascript LCF, HOL Isabelle, CoQ Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 30 La carte du -calcul algorithmique récursive machines virtuelles CAM, Krivine programmation fonctionnelle relations avec la logique formelle -calcul domaines de Scott Jean-Jacques Lévy compilation et optimisation des langages fonctionnels SCHEME CAML Haskell Javascript LCF, HOL Isabelle, CoQ Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 31 La carte du -calcul algorithmique récursive machines virtuelles CAM, Krivine programmation fonctionnelle relations avec la logique formelle -calcul -calcul domaines domainesde deScott Scott SCHEME CAML Haskell Javascript Gérard Huet compilation et optimisation des langages fonctionnels LCF, HOL Isabelle, CoQ Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 32 Le théorème des 4 couleurs en CoQ • 1852 Guthrie • 1976 Appel – Haken Georges Gonthier • 2005 Gonthier (en CoQ) Preuve omise, évidente mais longue => génie logicien Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 33 Systèmes d’états finis • Expressions régulières : (ab+b)*ba ba abba bba abbabba ... • Automates finis • Langages évolués (Statecharts, Esterel, SCADE) circuits électroniques systèmes embarqués, réseaux interfaces homme-machine analyse des langues, du génome, ... Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 34 La carte des systèmes d’états finis théorie des langages automates circuits électroniques états / transitions grammaires logiques temporelles automates langages réguliers Lex, Yacc Esterel Statecharts Pnueli JosephAmir Sifakis langages → automates langages → circuits optimisation booléenne modelchecking Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 35 La carte des systèmes d’états finis théorie des langages automates circuits électroniques états / transitions grammaires logiques temporelles automates langages réguliers Lex, Yacc Esterel Statecharts Dominique Perrin langages → automates langages → circuits optimisation booléenne modelchecking Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 36 Pourquoi le parallélisme • Communication entre machines distantes – unité centrale et périphériques (PC → imprimante) – émetteurs et receveurs multiples : réseaux • Partage de ressources – PC: plusieurs tâches partagent le CPU, les disques, etc. – stockage d’information dans les grands réseaux. • Amélioration de performances – machines parallèles, grilles, nuages – circuits : caches, spéculation, multicœurs, SoCs, etc. Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 37 Pourquoi le parallélisme • Contrôle d’objets avec parallélisme physique – avion : ~10 gouvernes, 2 réacteurs, 3 trains, etc. • Contrôle de grands systèmes – contrôle aérien – signalisation ferroviaire, aiguillages – contrôle de la circulation en ville • Redondance pour la sécurité et la disponibilité communication, coopération, compétition sécurité des données et communications Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 38 Interblocage (deadlock) Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 39 Famine (starvation) Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 40 Le ski au 20 e siècle 12:57 13:03 13:06 13:00 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 41 Le ski au 20 e siècle, avec protocole 13:06 12:57 13:03 13:00 Le drapeau ajoute le lien de causalité manquant Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 42 Le ski au 21 e siècle 13:06 12:57 13:03 13:00 On peut même prévenir d’avance qu’on sera en retard ! Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 43 Processus et communication P Q R S • Réseaux de processus statiques ou dynamiques • Trois types de communication – asynchrone : temps quelconque – synchrone : temps conceptuellement nul – vibratoire : temps non nul prévisible Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 44 Parallélismes synchrone et vibratoire Synchrone Musiciens et spectateurs négligent la vitesse du son Vibratoire Mais les acousticiens règlent sa propagation Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 45 Applications : embarqué et circuits Nicolas Halbwachs SCADE modèle / langage Lustre Jean Vuillemin circuits électroniques nombres 2-adiques Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 46 Mémoire partagée P Q R S Mémoire Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 47 P Q P Q Q P P P P Q Brisure de causalité Michel Raynal Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 48 Rendezvous = information partagée P Q • P and Q sont asynchrone, mais communiquent de façon localement synchrone • A ce moment, chacun sait ce que sait l’autre • Les rendezvous sont ordonnancés de manière non-déterministe Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 49 CSP = séquentiel + rendez-vous P Q R S Bien contrôlable, mais souvent trop lourd Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 50 Communication par files d’attente P Q • Découplage de l’émetteur et du récepteur – plus de parallélisme – mais introduction de latence imprévisible – et comportement total plus complexe • Applications – transmission dans les réseaux – traitement du signal – interfaces homme / machine, Web Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 51 Réseaux de Kahn P R Q • nœuds déterministes, files non bornées • ordonnancement non-déterministe arbitraire • Mais résultat déterministe ! Magnifique sémantique mathématique Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 52 Réseaux graphiques Réseaux de Petri Réseaux d’automates Source Univ. Stuttgart Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 53 Le -calcul de Milner : chimie + calcul Annuaire rep<[email protected]> [email protected]<Bonjour> [email protected]<[email protected]> adr<Alice> [email protected] Cedric Fournet [email protected]<“vous habitez chez vos parents?”> [email protected] Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 54 D’un ordinateur, on ne sort jamais que ce qu’on y a mis Homo bureaucratus D’Internet, je sors ce que le reste du monde y a mis Homo Internetus Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 55 55 Communautés, pair-à-pair et réseaux virtuels Anne-Marie Kermarrec Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 56 Calcul diffus : alerte aux pucerons ! Manuel Serrano • infestation massive par pucerons enfouis partout • qui peuvent communiquer entre eux • Comment les programmer et les coordonner ? Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 57 Comment calcule notre cerveau ? • De nombreux principes de calcul parallèle – – – – trains de spikes (vibratoires) évaluations probabilistes discussions asynchrones synchronisation d’horloges • Un mélange synchrone / asynchrone – conscient séquentiel, inconscient parallèle • Une robustesse fondamentale – apprentissage (semi-) spontané – beaucoup de pièces en panne – plasticité cérébrale Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 58 Sophie Denève Yves Frégnac Neurosciences computationnelles => nouveaux principes de calcul informatique => commande d’actions par l’activité cérébrale => couplages circuits / neurones Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 59 Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 60 Conclusion • Le 20e siècle a été celui de l’énergie et du moteur • Le 21e sera celui de l’information et du calcul – qu’il faut donc étudier à fond • L’épidémie numériques gagne les sciences – – – – mathématiques numériques G. Gonthier, E. Ghys, … Physique numérique, cf L.I. Antoine Georges, 2009 Bioinformatique, informatique médicale … Faire ce qu’ on veut en étant aussi bête qu’un ordinateur demande beaucoup d’intelligence Collège de France, G. Berry, 19/11/2009 61 Ravi Sethi Remerciements spéciaux
