Une droite sur un polyèdre

Géométries non planes
Sylvestre GALLOT et Bernard GENEVES
IREM de Grenoble
Institut Fourier-Mathématiques pures
& Equipe IAM-Imag

La géométrie après Euclide
• La géométrie Euclidienne est une construction logique et déductive qui s’appuie
sur des propriétés primitives, les axiomes.
• En modifiant un axiome qui posait question (le célèbre « axiome d’Euclide »),
Lobatchevski, Bólyai et Gauss ont pu reconstruire d’autres géométries
logiquement cohérentes.
•La sphère, le cube, les polyèdres fournissent des exemples concrets, sur lesquels
il est possible de définir une distance et de développer une géométrie qui n’obéit
plus à certains des axiomes d’Euclide.
•Commençons par le cas de la sphère, qui nous est peut-être le plus naturel, car
quiconque a pris un avion s’est posé la question de la ligne « droite » ou du plus
court chemin… Dans une géométrie comme celle de la sphère, que sont les
droites ? Les axiomes d’Euclide sont-ils satisfaits ?

Le cas de la sphère
•Il existe une représentation plane classique de la « sphère » terrestre (si
on admet cette approximation pour la terre), celle des cartographes ;
elle consiste à représenter chaque morceau de la sphère sur un morceau
de plan.
•Y a-t-il quelque espoir de construire des cartes qui soient « fidèles »,
c’est-à-dire qui conservent les droites, les angles, et (à l’échelle près)
les distances ?
•Commençons par regarder les cartographies les plus simples, comme
la projection cylindrique, dont la célèbre projection de Mercator est
une variante un peu plus sophistiquée.

La cartographie cylindrique entraîne-t-elle
des distorsions ?
•En agissant sur le point
m, on déplace la portion
de la sphère (en rouge) et
(par conséquent) sa
projection sur le cylindre
(en bleu).
• Selon l’endroit, observez-
vous des distorsions entre
la portion rouge de la
sphère et sa
représentation
cartographique en bleu ?
(Cette portion bleue du
cylindre peut facilement
être développée sur un
plan).

La cartographie cylindrique entraîne bien des
distorsions
•Cliquer sur la figure pour lancer le
déplacement automatique.
•Au cours de ce déplacement, la
figure bleue ne change pas,
alors que les dimensions et
angles de la figure rouge
varient. La projection
cylindrique entraîne donc des
distorsions (c'est à dire des
modifications des distances, des
longueurs des courbes et des
angles)